Программа дисциплины Компьютерные технологии в научных исследованиях для направления подготовки 222900 - «Нанотехнологии и микросистемная техника», Магистерские специализации «Инженерно - физические технологии в наноиндустрии» (стр. 8 )

4с Если fh > fr > fg, то меняем обозначения xr, xh(и соответствующие значения функции) местами и идём на шаг 5.

4d Если fr > fh, то просто идём на следующий шаг 5.

В результате (возможно, после переобозначения) fr > fh > fg > fl.

5. Сжатие. Строим точку xs = βxh + (1 − β)xcи вычисляем в ней значение fs.

6 Если fs < fh, то заменяем точку xhна xsи идём на шаг 8.

7 Если fs > fh, то первоначальные точки оказались самыми маленькими. Делаем глобальное сжатие симплекса — гомотетию к точке с наименьшим значением x0:

для всех требуемых точек xi.

8 Последний шаг — проверка сходимости. Может выполняться по-разному, например, оценкой дисперсии набора точек. Суть проверки заключается в том, чтобы проверить взаимную близость полученных вершин симплекса, что предполагает и близость их к искомому минимуму. Если требуемая точность ещё не достигнута, можно продолжить итерации с шага 1.

Методы Рунге — Кутты— важное семейство численных алгоритмов решения (систем) обыкновенных дифференциальных уравнений. Данные итеративные методы явного и неявного приближенного вычисления были разработаны около 1900 года немецкими математиками К. Рунге и .

Классический метод Рунге — Кутты 4 порядка

Метод Рунге — Кутты 4 порядка столь широко распространен, что его часто называют просто метод Рунге — Кутты.

Рассмотрим задачу Коши . Тогда значение в следующей точке вычисляется по формуле:

где

— величина шага сетки по .

Этот метод имеет 4 порядок, т. е. ошибка на каждом шаге составляет O(h5), а суммарная ошибка на конечном интервале интегрирования O(h4).

Прямые методы Рунге — Кутты

Семейство прямых методов Рунге — Кутты является обобщением метода Рунге — Кутты 4 порядка. Оно задается формулами

где

Конкретный метод определяется числом sи коэффициентами bi, aijи ci. Эти коэффициенты часто упорядочивают в таблицу

Для коэффициентов метода Рунге — Кутты должны быть выполнены условия для . Если мы хотим, чтобы метод имел порядок p, то следует так же обеспечить условие , где — приближение полученное по методу Рунге — Кутты. После многократного дифференцирования это условие преобразуется в систему полиномиальных уравнений на коэффициенты метода.

Н

О

П

Преобразование Лоренца, используемое в частности в специальной теории относительности, — преобразование, которому подвергаются события галилеевыми координаты (x, y, z, t) каждого события при переходе от одной инерциальной системы отсчёта (ИСО) — к другой. Аналогично через преобразования Лоренца преобразуются координаты любого 4-вектора.

С математической точки зрения преобразования Лоренца - это преобразования, сохраняющие неизменной метрику Минковского, то есть, в частности, последняя сохраняет при них простейший вид при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой (другими словами преобразования лоренца - это аналог ортогональных преобразований, осуществляющих переход от одного ортонормированного базиса к другому, для метрики Минковского). В математике или теоретической физике преобразования Лоренца могут относиться к любой размерности пространства.

Принцип наименьшего действия, точнее, принцип экстремального действия — способ получения уравнений движения физической системы при помощи поиска экстремального — обычно, в связи со сложившейся традицией определения знака действия, наименьшего — значения специального функционала - действия. Принцип наименьшего действия — наиболее важный среди семейства экстремальных принципов; не все физические системы имеют уравнения движения, которые можно получить из этого принципа, однако все фундаментальные взаимодействия ему подчиняются, в связи с чем этот принцип является одним из ключевых положений современной физики. Получаемые уравнения движения имеют название уравнений Эйлера — Лагранжа.

Первая формулировка принципа дана П. Мопертюи (P. Maupertuis(фр.)) в 1744 году. Из данного принципа он вывел законы отражения и преломления света.

Напомним вначале, на примере физической системы с одной степенью свободы, что действие, о котором тут идёт речь, это функционал, то есть правило, которое каждой функции q(t)сопоставляет некоторое число. Действие имеет вид: , где есть лагранжиан системы, зависящий от обобщённой координаты q, её первой производной по времени , а также, возможно, и явным образом от времени t. Если система имеет большее число степеней свободы n, то лагранжиан зависит от большего числа обобщённых координат и их первых производных по времени. Таким образом, действие является функционалом, зависящим от траектории тела.

Принцип наименьшего действия даёт ответ на вопрос, как будет двигаться тело:

между двумя заданными точками тело движется так, чтобы экстремизировать (минимизировать) действие.

Это значит, что если задан лагранжиан системы, то мы с помощью вариационного исчисления можем установить, как именно будет двигаться тело, сначала получив уравнения движения — уравнения Эйлера — Лагранжа, а затем решив их.

Программное обеспечение(произношение обеспече́ние не рекомендуется)[1] — наряду с аппаратными средствами, важнейшая составляющая информационных технологий, включающая компьютерные программы и данные, предназначенные для решения определённого круга задач и хранящиеся на машинных носителях. Программное обеспечение представляет собой либо данные для использования в других программах, либо алгоритм, реализованный в виде последовательности инструкций для процессора.

В компьютерном жаргоне часто используется слово «софт» от английского software, которое, в этом смысле впервые применил в статье American Mathematical Monthly математик из Принстонского университета Джон Тьюки (John W. Tukey) в 1958 г. В области вычислительной техники и программирования программное обеспечение — это совокупность всей информации, данных и программ, которые обрабатываются компьютерными системами.

Р

Разностная схема— разностный метод приближенного решения какого-либо дифференциального уравнения в частных производных или применения дифференциального оператора. Разностные схемы применяются к функциям, заданным на какой-либо сетке.

Разностная схема, как правило, использует уравнения, связывающие несколько соседних точек результата и исходных данных (результата на предыдущих шагах в случае дифференциального уравнения). Решение этих уравнений позволяет найти приближенное решение.

Аппроксимация

Для того чтобы уравнения были как-то связаны с приближаемым дифференциальным оператором нужно, чтобы уравнения удовлетворяли многочленам. Если уравнения выполняются для всех многочленов степени не выше r с точностью до O(hr) (буквой h принято обозначать шаг сетки), то говорят, что разностная схема имеет r-тый порядок аппроксимации.

Устойчивость

Условия аппроксимации не достаточно для того, чтобы результат разностной схемы приближался к точному ответу при h→0. В случае схем, коэффициенты которых не зависят от решения дифференциального уравнения, нужно выполнение условия устойчивости. Такие схемы можно представить как некоторый линейный оператор, который преобразует значения функции в момент t в значения функции в момент t+h. Условие устойчивости требует, чтобы собственные числа (вообще говоря комплексные) этого оператора не превосходили по модулю 1+ch, где с — некоторая константа, при h→0. Если это условие не выполнено, то погрешности схемы быстро возрастают и результат тем хуже, чем меньше шаг. Если выполнены как условие аппроксимации, так и условие устойчивости, то результат разностной схемы стремится к решению дифференциального уравнения.

Условие Куранта — скорость распространения возмущений в разностной задаче не должна быть меньше, чем в дифференциальной. Если это условие не выполнено, то результат разностной схемы может не стремится к решению дифференциального уравнения. В случае схем, коэффициенты которых не зависят от решения дифференциального уравнения, условие Куранта следует из устойчивости.

Для гиперболических систем уравнений это условие часто имеет вид