Программа дисциплины Компьютерные технологии в научных исследованиях для направления подготовки 222900 - «Нанотехнологии и микросистемная техника», Магистерские специализации «Инженерно - физические технологии в наноиндустрии» (стр. 6 )

где функция Kназывается ядром уравнения, а оператор A, определяемый как

, называется оператором (или интегралом) Фредгольма.

Одним из основополагающих результатов является факт, что ядро K есть компактный оператор, известный иначе как оператор Фредгольма. Компактность может быть показана с помощью равномерной непрерывности. Как к оператору, к ядру может быть приложена спектральная теория, изучающая спектр собственных значений.

Уравнение первого рода

Неоднородное уравнение Фредгольма первого рода имеет вид:

а задача состоит в том, что при заданной непрерывной функции ядра K(t, s) и функции g(t) найти функцию f(s).

Если ядро является функцией разности своих аргументов, то есть K(t, s) = K(t − s), и пределы интегрирования , тогда правая часть уравнения может быть переписана в виде свёртки функций K and f, а, следовательно, решение даётся формулой

где и — прямое и обратное преобразования Фурье соответственно.

Уравнение второго рода

Неоднородное уравнение Фредгольма второго рода выглядит так:

Задача состоит в том, чтобы имея ядро K(t, s) и функцию f(t), найти функцию φ(t). При этом существование решения и его множественность зависит от числа λ, называемого собственным числом. Стандартный подход решения использует понятие резольвенты; записанное в виде ряда решение известно как ряд Лиувилля-Неймана.

.

Интегралы движения

В механике величина, сохраняющаяся при движениии называется интегралом движения. Она налагает некоторое ограничение на движение. Однако, это «математическое» ограничение — естественное следствие уравнений движения, а не «физического» ограничения (которое требовало бы присутствия дополнительных ограничивающих сил). Основные примеры включают энергию, импульс, угловой момент и вектор Лапласа — Рунге — Ленца (для сил, убывающих пропорционально расстоянию).

Применение

Интегралы движения полезны потому, что некоторые свойства этого движения можно узнать даже без интегрирования уравнений движения. В наиболее успешных случаях траектории движения представляют собой пересечение изоповерхностей соответствующих интегралов движения. Например, построение Poinsot показывает, что без крутящего момента вращение твердого тела представляет собой пересечение сферы (сохранение полного углового момента) и эллипсоида (сохранение энергии), траекторию, которую трудно вывести и визуализировать. Поэтому, нахождение интегралов движения — важная цель в механике.

К

Коммутатором операторови в алгебре называется оператор . В общем случае он не равен нулю. Понятие коммутатора распространяется также на произвольные ассоциативные алгебры (не обязательно операторные).

Если коммутатор двух операторов равен нулю, то они называются коммутирующими, иначе — некоммутирующими.

Компью́терная програ́мма — последовательность формализованных инструкций, предназначенная для исполнения устройством управления вычислительной машины. Чаще всего образ программы оформляется в виде отдельного файла (исполняемого модуля) или группы файлов. Из упомянутого образа, находящегося, как правило, на диске, исполняемая программа в оперативной памяти может быть построена программным загрузчиком. Инструкции программы записываются при помощи машинного кода или специальных языков программирования. В зависимости от контекста рассматриваемый термин может относится к исходным текстам при помощи которых записывается программа или к исполняемому машинному коду программы.

В системном программировании существует более формальное определение программы как размещенных в оперативной памяти компьютера ресурсов и машинных кодов, исполняемых процессором для достижения некоторой цели. Здесь подчеркиваются две особенности: обязательное присутствие программы в памяти и наличие процеccа её исполнения процессором.

Процесс составления компьютерных программ носит название — программирование, а людей, занимающихся этим видом деятельности называют программистами.

Запись программ при помощи языков программирования, удобна для понимания и редактирования человеком. Этому, в частности, помогает использование комментариев, допускаемое в синтаксисе большинства языков. Для выполнения на компьютере, готовая программа преобразуется (компилируется) в исполняемый машинный код (чаще всего — двоичный).

Современные языки программирования позволяют обходиться без предварительной компиляции программы и переводить её в инструкции машинного кода непосредственно во время исполнения. Это процесс называется интерпретацией и позволяет добиться переносимости программ между различными аппаратными и программными платформами, а также избежать не всегда нужного хранения исполняемых файлов.

Некомпилируемые программы, интерпретацию которых выполняет операционная система компьютера или специальные программы-интерпретаторы, называются скриптами или «сценариями».

Большинство компьютерных программ состоят из списка инструкций, точно описывающих заложенный алгоритм; подобные программы называются «императивными» (см. также Императивное программирование). Альтернативным вариантом является описание в программе исходных и требуемых характеристик обрабатываемых данных и предоставление выбора исполняемого алгоритма компьютеру или другой выполняемой программе. Такой подход именуют декларативным программированием, а соответствующие программы — «декларативными программами».

Большинство пользователей компьютеров используют программы, предназначенные для выполнения конкретных прикладных задач, таких как подготовка и оформление документов, математические вычисления, обработка изображений и т. п. Соответствующие программные средства называют прикладными программами или прикладным программным обеспечением. Поддержку базовой функциональности компьютеров берёт на себя системное программное обеспечение, наиболее важной составляющей которого является операционная система компьютера.

Кубический сплайн

Пусть некоторая функция f(x) задана на отрезке [a, b], разбитом на части [xi − 1,xi]. Кубическим сплайном называется функция S(x), которая:

· На каждом отрезке является полиномом третьей степени

· Имеет непрерывную вторую производную

· В точках xiвыполняется равенство S(xi) = f(xi)

· S''(a) = S''(b) = 0

Видно, что S(x) интерполирует функцию f.

Построение

Обозначим: hi = xi − xi − 1

Запишем для удобства Si(x)в виде:

тогда

Для выполнения условия непрерывности

Отсюда получаем формулы для вычисления коэффициентов сплайна:

Если учесть, что c0 = cn = 0, то вычисление с можно провести с помощью метода прогонки для трехдиагональной матрицы.

Л

Лагранжиан, функция Лагранжа динамической системы, названа в честь Жозефа Луи Лагранжа, является функцией динамических переменных и описывает уравнения движения системы. Уравнения движения в этом подходе получаются из принципа наименьшего действия, записываемого как

где действие — функционал

обозначает множество параметров системы.

Уравнения движения, полученные посредством функциональной производной, идентичны обычным уравнениям Эйлера-Лагранжа. Динамические системы, чьи уравнения движения могут быть получены посредством принципа наименьшего действия для удобно выбранной функции Лагранжа, известны как лагранжевы динамические системы. Примеров лагранжевых динамических систем много, начиная с классической версии Стандартной Модели в физике элементарных частиц и заканчивая уравнениями Ньютона в классической механике. Также к ним относятся чисто математические проблемы, такие как уравнения геодезических и проблема Плато.

LU-разложение— представление матрицы Aв виде LU, где L— нижняя треугольная матрица с единичной диагональю, а U— верхняя треугольная. LU-разложение еще называют LU-факторизацией.

Алгоритм LU-разложения лежит в основе широко распространенного метода решения систем линейных алгебраических уравнений(СЛАУ).

Матрица Lявляется нижнетреугольной с единичной диагональю, поэтому её определитель равен 1. Матрица U— верхнетреугольная матрица, значит ее определитель равен произведению элементов, расположенных на главной диагонали.