где 
— это волновой вектор.
Уравнения Максвелла с использованием дифференциальных форм
В вакууме ε и μ — константы. Для записи уравнений Максвелла проще использовать язык дифференциальных геометрии и форм. Электромагнитное поле — это 2-форма F в четырёхмерном многообразии пространства-времени. Уравнения Максвелла сожмутся до второй формулы Бианчи
,
где d — это ковариантная производная — дифференциальный оператор действующий на формы и уравнения источников
,
где (dual) Hodge star оператор * — это линейное преобразование из пространства 2-формы в дуальное пространство 4-2=2 форм в метрике пространства Минковского и системе СГС, где 1 / 4πε0 = 1. 3-форма J называется «электрический ток» или токовая 3-форма, удовлетворяющая уравнению непрерывности
.
Внешняя ковариантная производная определена на любых многообразиях. Это формальное описание электромагнетизма подходит для четырёхмерных многообразий с метрикой Лоренца, что эквивалентно криволинейному пространству-времени Общей теории относительности.
В линейной макроскопической теории влияние материи на электромагнитное поле описывается через более общее линейное преобразования пространства 2-форм.
Это называется линейное приближение или материальные уравнения. Это преобразование совместимо с (dual) Hodge преобразованием. Уравнения Максвелла с учётом среды такие:
,
где ток J удовлетворяет уравнению непрерывности dJ= 0. Где поле — это внешнее дифференцирование (или линейная комбинация) базисных форм 
,
.
для материальной среды
,
причём коэффициенты поля антисимметричны относительно индексов, а материальные коэффициенты антисимметричны относительно перестановок пар. Тогда (dual) Hodge преобразование примет следующий вид
только для инвариантного тензора данного типа с определённой метрикой.
Ф
Функциональный ряд
Функциональная последовательность
Пусть задана последовательность комплекснозначных фунций на множестве 
включенном в d-мерное евклидово пространство 
.
Поточечная сходимость
Числовая последовательность 
сходится 
.
Равномерная сходимость
Существует функция 
такая, что: 
Факт равномерной сходимости последовательности 
к функции 
записывается: 
Критерий Коши равномерной сходимости
Функциональный ряд
— n-ная частичная сумма.
Признак Вейерштрасса
Ряд 
сходится абсолютно и равномерно, если выполнены условия:
1. Числовой ряд 
сходится.
2. 
Признак Дирихле
Ряд 
сходится равномерно, если выполнены следующие условия:
1. Последовательность действительнозначных функций 
монотонна 
и 
2. Частичные суммы 
ряда 
равномерно ограничены.
Признак Абеля
Ряд 
сходится равномерно, если выполнены следующие условия:
1. Последовательность действительнозначных функций 
равномерно ограничена и монотонна 
.
2. Ряд 
равномерно сходится.
Функция Грина
В математике функция Грина используется для решения неоднородных дифференциальных уравнений с граничными условиями. Функция Грина линейного оператора L, действующего на обобщённые функции над многообразием Mв точке x0, является решением уравнения (Lf)(x) = δ(x − x0), где δ— дельта-функция Дирака. Если ядро оператора Lнетривиально, тогда функция Грина не единственна. Однако на практике симметрии, граничные условия и дополнительные критерии позволяют выделить единственную функцию Грина. Также следует помнить, что функция Грина не обычная функция, а обобщённая функция.
Функцию Грина можно представить как обратный оператор к L.
Функции Грина полезны в электростатике — для решения уравнения Пуассона; в теории конденсированных сред — где они позволяют разрешить уравнение диффузии (и совпадающее с ним уравнение теплопроводности); в квантовой механике — где функция Грина гамильтониана является одной из ключевых концепций и имеет отношение к плотности состояний. Функции Грина, используемые в этих областях, очень похожи, поскольку математическая структура уравнения диффузии и уравнения Шрёдингера подобны. Все области матфизики и теорфизики, где крайне полезны функции Грина, пожалуй трудно даже перечислить. Они помогают находить стационарные и нестационарные решения, в том числе при разнообразных граничных условиях итд.
Функция Грина названа в честь английского математика Джорджа Грина (англ. GeorgeGreen), который первым развил эту теорию в 1830-х гг.
Свёртка с функцией Грина даёт решение неоднородного интегро-дифференциального уравнения, более известного как задача Штурма—Лиувилля. Пусть g— функция Грина линейного оператора L, тогда решение fнеоднородного уравнения Lf = hзадаётся так:
.
Ключевым здесь можно считать разложение hпо базису из дельта-функций Дирака.
Первоначально функцию Грина использовали для решения неоднородных краевых задач. В физике элементарных частиц функции Грина используются как пропагаторы в диаграммах Фейнмана (и выражение «функция Грина» обозначают корреляционную функцию в квантовой теории поля). Функция Грина широко применяется в приложениях теории рассеяния к физике твёрдого тела (рентгенография, расчёты электронных спектров металлических материалов).
Х
Ц
Ч
Численное интегрирование
Численное интегрирование(историческое название: квадратура) — вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое), основанное на том, что величина интеграла численно равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, графиком интегрируемой функции и отрезками прямых 
и 
, где 
и 
— пределы интегрирования (см. рисунок).
Необходимость применения численного интегрирования чаще всего может быть вызвана отсутствием у первообразной функции представления в элементарных функциях и, следовательно, невозможностью аналитического вычисления значения определённого интеграла по формуле Ньютона-Лейбница. Также возможна ситуация, когда вид первообразной настолько сложен, что быстрее вычислить значение интеграла численным методом.
Одномерный случай
Основная идея большинства методов численного интегрирования состоит в замене подынтегральной функции на более простую, интеграл от которой легко вычисляется аналитически. При этом для оценки значения интеграла получаются формулы вида
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 |
