, Мошников и химия материалов оптоэлектроники и наноэлектроники: Практикум. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ "ЛЭТИ", 2007. 68 с (стр. 8 )

Тензор 4-го ранга в общем случае содержит 81 компоненту (34). В силу симметричности тензоров еij и Тij (еij = еji и  уij = уji) число независимых компонент cijkl сокращается до 36. Из термодинамических соображений следует, что если деформирующие силы консервативны, то коэффициенты cijkl симметричны также и относительно перестановки пар индексов: cijkl и cklij (при i, j, k, l = 1, 2, 3).

Задача 5.25. Используя симметричность индексов у упругих постоянных cijkl, представить уравнение уij = cijkl еkl в матричном виде уm = cmnеn. Показать связь между уm и уij; еn и еkl; cmn и cijkl.

Решение. В соответствии с так называемым правилом "девятки" (сумма двух неодинаковых индексов и третьего, их замещающего, должна быть равна 9, т. е. (2 + 3) + 4 = 9; (3 + 1) + 5 = 9;  (1 + 2) + 6 = 9, получим:  у11 → у1; у22 → у2; у33 → у3; у23 = у32 → у4; у13 = у31→ у5; у12 = у21 → у6. Аналогично производится перенумерация компонент деформации еkl. В этом случае матрица упругих постоянных cmn может быть представлена через cmn в виде:

еn   уn
	с1111	с1122	с1133	с1123	с1113	с1112
с 1132	с1131	с1121
	с2211	с2222	с2233	с2223	с2213	с2212
с 2232	с2231	с2221
	с 3311	с3322	с3333	с 3323	с3313	с3312
с 3332	с3331	с3321
	с2311	с2322	с2333	с 2323	с2313	с2312
с 2332	с2331	с2321
с3211	с3222	с3233	с 3223	с3213	с3212
с 3232	с3231	с3221
у5	с 1311	с1322	с1333	с 1323	с1313	с1312
с 1332	с1331	с1321
с3111	с3122	с3133	с 3123	с3113	с3112
с 3132	с3131	с3121
у6	с1211	с1222	с1233	с 1223	с1213	с1212
с 1232	с1231	с1221
с2111	с2122	с2133	с 2123	с2113	с2112
с2132	с2131	с2121

Таким образом, для тензоров 4-го ранга можно сформулировать дополнительные правила:

cmn = cijkl, если m и n равны 1, 2, 3;

cmn = 2cijkl, если m или n равно 4, 5, 6.

Например, с14 = c1123 + c1132 = 2c1123;

cmn = 4 cijkl, если m и n равны 4, 5, 6.

Например, с45 = c2313 + c2331 + c3213 + c3231 = 4c2313.

Необходимо подчеркнуть, что упругие постоянные cmn не являются тензором. Эти компоненты не преобразуются как компоненты тензора, при их преобразовании необходимо возвращаться к четырехиндексным обозначениям.

В тензоре упругости только для класса кристаллов, отвечающего триклинной сингонии, существует 21 независимая компонента для упругих постоянных. Для всех остальных классов часть коэффициентов обращается в нуль вследствие свойств симметрии кристалла. В кубической сингонии всего 9 компонент упругих постоянных отличны от нуля, из них только 3 являются независимыми: с11 = c22 = c33; с12 = c13 = c23; с44 = c55 = c66.

Справочные данные об  упругих  постоянных  приведены  в табл. П 1, П 3, П 4 Приложения.

Для расчета коэффициентов упругости в многокомпонентных твердых растворах используют методы линейной интерполяции. Для твердых растворов AxByC1–x–yD такая интерполяция для коэффициента упругости имеет вид cmn(х, у) = хcmn(AD) + ycmn(BD) + (1 – x – y) cmn(CD); для твердых растворов AхB1–хCуD1–y линейная  интерполяция  может  быть записана так: cmn(х, у) =

= ху cmn(AС) + х(1 – y)cmn(АD) + (1 – x)уcmn(ВС) + (1 – x)(1 – y)cmn(ВD).

В общем случае cmn зависит от температуры, но, как правило, в интервале  от 300 до 1000 К изменения значений cmn не превышают 10 %, поэтому в оценочных расчетах их не учитывают.

Если  толщина подложки H много больше толщины эпитаксиального слоя h (Н >> h), то деформация в слое становится однородной и изгибом структуры и деформацией подложки можно пренебречь. В плоскости гетерограницы нормальные напряжения и деформации одинаковы (е1 = е2 и у1 = у2), а касательные напряжения отсутствуют (у4 = у5 = у6 = 0). По направлению нормали к плоскости роста напряжение у3 = 0, т. е. эпитаксиальный слой не нагружен, однако деформация е3 отлична от нуля.

Значения напряжений и деформаций, возникающих на гетерогранице при когерентном сопряжении двух решеток, зависят от их кристаллографической ориентации.

Если эпитаксия проводится на плоскость (100), то химически обусловленное несоответствие периодов решетки f0, определяющее деформации в плоскости гетерограницы е1 и  е2, можно рассчитать по следующему выражению:

f0  = = – е1,

где a0 – параметр кристаллической решетки эпитаксиального слоя твердого раствора, as – параметр кристаллической решетки подложки.

Задача 5.26. Определить упругие напряжения у1 и у2 в плоскости гетерограницы "подложка – эпитаксиальный слой", если параметр решетки подложки as, а равновесное значение параметра решетки эпитаксиального слоя a0. Найти значения деформаций е1, е2, е3, а также рассогласование параметров решетки в направлении, перпендикулярном гетерогранице . Считать, что подложка и эпитаксиальный слой относятся к кубической сингонии, рост осуществляется по плоскости (100).

Решение. Из условия задачи следует, что у1 = у2 и у3 = 0. Аналогично у4 = у5 = у6 = 0 и е4 = е5 = е6 = 0.

Найдем значения деформаций е1 и е2. По определению химически обусловленное рассогласование периодов решетки f0 определяется следующим образом: f0 =  = – е1 = – е2. Запишем выражение для расчета  напряжения  в направлении, перпендикулярном гетерогранице:

у3 = c31е1 + c32е2 + c33е3 + c34е4 + c35е5 + c36е6 = c12е1 + c12е1 + c11е3  = 0. Отсюда

е3 = = . Тогда напряжения в плоскости гетерограницы

у1 = у2 = c11е1 + c12е2 + c13е3 = c11е1 + c12е2 = =

= .

Рассогласование параметра решетки в направлении, перпендикулярном гетерогранице :

.

Примечание. Обратить внимание на значения cmn в табл. П 1: c12 ≈ c44;

c11 ≈ 2 c12, т. е. ≈ 2 f0.

Задача 5.27. Рассчитать плотность упругой энергии (упругая энергия единицы объема) деформированного слоя твердого раствора по условию задачи 5.26.

Решение. По определению

==

.

Задача 5.28. Рассчитать упругодеформированное состояние гетероструктуры, если подложка и эпитаксиальный слой относятся к кубической сингонии, рост осуществляется по плоскости  (111).

Решение. При ориентации подложки и слоя в плоскости (111) расчетные соотношения принимают следующий вид:

f0 = = –е1;  е1= е2 ≠ е3

; ;