, Мошников и химия материалов оптоэлектроники и наноэлектроники: Практикум. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ "ЛЭТИ", 2007. 68 с (стр. 9 )

;

;  у3 = 0;

=.

Задача 5.29. Закон Гука в тензорном виде может быть записан следующим образом:

уij = cijkl еkl или еij = sijkl уkl, 

где cijkl – коэффициенты упругой жесткости (модули упругости), sijkl – коэффициенты упругой податливости.

Для кристаллов кубической сингонии найти выражения для коэффициентов s11, s12, s44  для GaAs.

Ответ:  ; ;

.

Примечание. Эти соотношения можно записать в более компактной форме:

;  ; .

Задача 5.30. Объяснить физический смысл коэффициентов упругой жесткости с11, с12 и с44 для кристаллов кубической сингонии.

Решение. Физическая сущность коэффициента с44 очевидна. Этот коэффициент является мерой сопротивления деформации, вызывающей скалывающие напряжения, приложенные в плоскости (100) в направлении [010].

Коэффициенты с11, с12 не имеют прямой физической интерпретации, однако их линейные комбинации имеют простое объяснение:

, ,

где К – объемная упругость или сопротивление сжатию (мера сопротивления деформации, вызываемой гидростатическим давлением); G – мера сопротивления деформации в плоскости (100) в  направлении [110].

Задача 5.31. В научно-технической справочной литературе основными физическими величинами, характеризующими упругие механические свойства конструкционных материалов, являются модуль нормальной упругости Е и коэффициент Пуассона н.

Модуль упругости  (модуль Юнга) Е – коэффициент пропорциональности между нормальным напряжением и относительным удлинением.

Коэффициент Пуассона н – абсолютное значение отношения поперечной  деформации к продольной.

Рассмотреть случай однородной деформации изотропного (поликристаллического) стержня  вдоль оси z при простом растяжении (сжатии). Определить выражения для Е и н через коэффициенты упругой жесткости сmn (через коэффициенты К и G) для кристаллов кубической сингонии.

Решение. По условию испытания упругих свойств материала силы действуют равномерно на всю поверхность торцов стержня. Сила, действующая на единицу площади поверхности: у ≡ у33 = у3. По определению еij = sijkl уkl, и тогда, в соответствии с решением задачи 5.30 получим:

;

Отметим, что с11 – с12 = 2G; с11 + 2с1 = 3К. Тогда

; ;

.

По определению модуль Юнга (или модуль нормальной упругости Е) − величина, обратная коэффициенту, связывающему у33 и е33:

.

Коэффициент Пуассона (отношение поперечного сжатия е11 к продольному растяжению е33)

.

Задача 5.32. Схема эксперимента  по условию задачи 5.31 позволяет легко определить модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона н, а затем найти значения  G и К и  вычислить с11 и с12. На практике металловеды широко используют оценочные соотношения ; .

Используя решение задачи 5.31 вывести уравнения, определяющие значения G и К через модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона н. Показать, что выражения, применяемые в металловедении при оценке G  и К через модуль Юнга Е, теоретически обоснованы для значения  коэффициента Пуассона н = 0,33. (Значения коэффициента Пуассона н близки к 0,33 для большинства металлических материалов, но не для всех.)

Ответ: ; .

Задача 5.33. В задаче 5.26 проведен анализ упругодеформированного состояния эпитаксиального слоя в приближении отсутствия пластической деформации. В реальных системах может происходить частичная пластическая деформация. Спланировать эксперимент по оценке напряженного состояния в гетероструктуре.

Ответ. Экспериментально определяется рассогласование параметров решетки подложки и слоя в направлении, перпендикулярном гетерогранице . С использованием выражений, полученных при решении задачи 5.26, оцениваются значения f0, у1, е3, е1.

Примечание. По сравнению остаточной упругой деформации с полной упругой деформацией может быть оценена величина пластической деформации.

Задача 5.34. Что можно сказать о физическом состоянии кристалла, если матрица тензора напряжений уij имеет следующий вид:

– р	0	0
0	– р	0
0	0	– р

Как изменится ширина запрещенной зоны полупроводников А3В5 и твердых растворов на их основе? Как изменится ширина запрещенной зоны полупроводников А4В6 (халькогенидов свинца, халькогенидов олова)? Получить количественные оценки для конкретных материалов, заданных преподавателем.

Указания. Случай, когда уij = – рдij, соответствует всестороннему сжатию или растяжению (гидростатическое давление). Поэтому при расчетах ширины запрещенной зоны следует воспользоваться значениями коэффициентов , приведенными в табл. П 3 Приложения. Обратить внимание на аномальные значения для халькогенидов свинца.

Задача 5.35. В полупроводниках А3В5 потолок валентной зоны находится в (∙) Г зоны Бриллюена (см. рис. 5.1). В (∙) Г происходит вырождение. Как изменится энергетическая зонная структура при упругой деформации? Предложить план эксперимента по анализу упругодеформированного состояния с использованием возникающего эффекта.

Ответ. В (∙) Г снимается вырождение. В зависимости от характера деформации  зона легких дырок находится выше (при сжатии)  или ниже (при растяжении) зоны тяжелых дырок. При люминесценции наблюдается переходы из зоны проводимости в две подзоны: легких и тяжелых дырок. Излучение в подзону легких дырок поляризовано параллельно оси деформации, а в подзону тяжелых дырок – перпендикулярно оси деформации. Таким образом, можно раздельно оценивать энергетические зазоры между зоной проводимости и валентными зонами легких и тяжелых дырок и диагностировать характер деформации.

Контрольный вопрос

5.4. Число независимых компонент тензора упругой жесткости для кристаллов кубической сингонии равно 3: с11, с12, с44. Можно ли сократить число независимых компонент, используя дополнительные свойства кристаллов конкретного материала?

Ответ. С математической точки зрения, если возможно ввести дополнительное условие, связывающее 2 любых коэффициента упругой жесткости, то число независимых коэффициентов сmn будет уменьшено на 1.

Для кристаллов, в которых силы взаимодействия между атомами центральны, т. е. действуют по направлению линии, связывающей центры атомов, и все атомы являются центрами симметрии структуры,  дополнительные соотношения (соотношения Коши) имеют вид:

с23 = с44	с31 = с55	с13 = с66
с14 = с56	с25 = с46	с36 = с45

Для кристаллов кубической сингонии дополнительное соотношение сводится к одному: с12 = с44.

Для идеальных ионных кристаллов кубической сингонии остаются 2 независимых коэффициента с11 и с12. Однако соотношение хорошо удовлетворяется и для материалов А3В5.

Расчеты упругодеформированного состояния эпитаксиальных слоев, приведенные ранее, выполнены в приближении сплошного напряженного эпитаксиального слоя, выращенного на монолитной подложке. При этом причиной возникновения напряжений является химическое рассогласование (различие параметров решеток сопрягающихся материалов). Это основная причина, которую необходимо учитывать при расчете гетероструктур на основе многокомпонентных материалов, но не единственная. Для изопериодных разрезов (при равенстве параметров решеток подложки и растущего слоя) наиболее значительным фактором становится различие коэффициентов термического расширения сопрягающихся материалов. Этот фактор может быть значимым и при малых значениях рассогласования параметров решеток. Расчет зависимости коэффициентов термического расширения для различных твердых растворов б(х, у) проводится, как правило, в линейном приближении.