Олимпиада по предмету «Иностранный язык» (стр. 27 )

20.3. Решение систем нелинейных уравнений в приложении        Mathcad

Системы нелинейных уравнений могут иметь разнообразный вид. Рассмотрим способ решения системы нелинейных уравнений на примере. Пусть имеется система:

В приложении Mathcad надо записать начальные приближения корней и систему уравнений в блоке given: 

x1 := 1  x2 := 1

  given

5x1 ⋅ x2 + 0.2x2 = – 6

– 6x1 + 4x1⋅x2 = 0.8

При записи системы используется не знак равенства, а знак логического равенства =, который имеется на панели Булево. Затем вводится встроенная функция:  r := find(x1, x2).

Чтобы получить значения корней, надо записать:  r =

20.4. Задание для выполнения на компьютере

1. Составить программу решения системы линейных уравнений по методу Гаусса. Коэффициенты системы даны в таблице.

2. Решить эту же систему с помощью приложений Mathcad и Excel. Результаты сравнить между собой.

3. Решить систему нелинейных уравнений, приведенную выше, в приложении Mathcad.

Таблица

Исходные данные для расчета

№ п/п	а11	а12	а13	а21	а22	а23	а31	а32	а33	b1	b2	b3
1	6	– 3	1	4	8	– 2	7	– 1	9	1.2	1.3	1.4
2	5	– 2	1	1	– 4	– 1	2	– 1	4	1.7	1.6	1.9
3	4	1	– 1	1	– 5	1	2	– 3	6	6.2	2.4	1.8
4	8	2	– 1	1	10	5	2	– 1	– 4	2.3	1.4	1.7
5	5	0.3	0.1	0.2	2	0.8	0.4	0.4	2	7.2	8.3	6.6
6	3	0.6	– 1	0.8	3	1.2	1	0.8	2.6	0.2	– 3	2.7
7	1	0.1	0.1	0.2	1	0.3	0.3	0.4	1	1.5	1.6	1.7
8	4	1.2	1	1.5	2.8	0.7	1	1.5	3.5	7.1	7.7	4.2
9	2.1	– 2	0.3	0.7	1.9	0.6	0.3	0.7	1.5	1.6	0.9	3.5
10	3.1	– 2	0.5	0.8	2.7	– 1	0.5	– 1	2.1	1.3	4	2.3
11	0.1	0.3	0.4	0.2	0.1	0.6	0.4	0.2	0.3	0.7	0.5	0.6
12	4	– 1	2	1	– 5	3	2	1	– 8	1.8	2.5	0.3
13	7.1	– 2	0.7	0.7	3.5	8.4	5.5	5.6	1.3	7.7	0.1	4.5
14	2.5	0.2	0.1	0.1	1	0.4	0.2	0.2	1	3.6	4.2	3.3
15	1.6	0.7	0.2	0.1	– 2	0.5	1	0.2	2.5	1.9	2.6	2.3

21. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И ОПТИМИЗАЦИЯ  ПРОЦЕССОВ

21.1. Модель одномерного объекта

Пусть в результате проведения эксперимента получена табличная зависимость значений выходного параметра процесса y от значений входного параметра x (рис. 21.1).

  x  y

Рис. 21.1. Одномерный объект

Требуется получить эмпирическую формулу, описывающую зависимость y от x. Решение такой задачи состоит из двух этапов.

На первом этапе выбирается общий вид формулы, исходя из теоретических представлений о характере изучаемого процесса. Это может быть, например, полином m-степени:

y = a0 + a1 ⋅ x + a2 ⋅ x2 +…+ am ⋅ xm.

Формула может содержать тригонометрические, экспоненциальные, логарифмические функции и т. п.

На втором этапе определяются значения параметров a0, a1, …, am эмпирической формулы f(x, a0, a1, a2, …, am), которые обеспечивали бы соответствие этой формулы экспериментальным данным.

В соответствии с методом наименьших квадратов параметры a0, a1, …, am выбираются так, чтобы была минимальной сумма квадратов:

Чтобы найти нужные параметры, следует взять частные производные от правой части по a0, a1, …, am и приравнять их к нулю. Полученную систему уравнений можно решить одним из известных методов.

Пример. Пусть требуется определить параметры a0, a1, a2 полинома второй степени:

y = a0 + a1⋅x + a2⋅x2.

Надо взять частные производные от выражения

и приравнять их к нулю:

Отсюда

Решив эту систему линейных урвнений можно определить искомые величины a0, a1, a2.

Рассмотрим алгоритм метода наименьших квадратов для вычисления коэффициентов полинома второй степени:

1. Ввод количества опытов n, значений x1, x2, …, xn, y1, y2, …, yn.

2. Определение коэффициентов системы линейных уравнений:

a1,2 =   a1,3 =   a2,3 =   a3,3 =

b1 = ,  b2 =   b3 =

a1,1 = n, a2,1 = a1,2, a2,2 = a1,3, a3,1 = a1,3, a3,2 = a2,3.

3. Решение системы A ⋅ Z = B, где A – матрица коэффициентов, B – вектор свободных членов системы, Z – вектор, в котором определяются корни  z1 = a0, z2 = a1, z3 = a2.

4. Вывод искомых коэффициентов a0, a1, a2.

5. Определение и вывод разностей  δ1, δ2, …, δn.

21.2. Получение математических моделей в приложениях Mathcad и Excel

В приложении Mathcad можно записать формулы приведенного выше алгоритма и вычислить коэффициенты функциональной зависимости.

Существуют также и встроенные функции для определения математических моделей. Например, пусть имеются значения х и у, полученные в результате проведения опытов. Надо найти математическую модель в виде полинома второй степени:

y = a0 + a1 ⋅ x + a2 ⋅ x2

Можно использовать для решения задачи встроенную функцию linfit. На листе Mathcad тогда нужно записать:

   

А:= linfit(Х, Y, F)

Вычисленные значения a0, a1, a2 будут записаны в векторе А, который появится после ввода текста: A =

Для построения графика теперь можно определить значения:

  i := 0..5  t := 0, 0.01..1  Z(t) := F(t)*A

Здесь Z(t) − искомая математическая модель. Если  построить на одном графике зависимость Z(t) от t и зависимость Yi от Xi, то можно сравнить, насколько хорошо полученный полином описывает данные опытов.

В приложении Excel предоставляется интересная возможность получения математических моделей через построение графиков функций.

Пусть имеются значения x1, x2, …, xn и соответствующие им значения y1, y2, …, yn. Надо для этих данных построить точечный график и выполнить команду Диаграмма/Добавить линию тренда. В появившемся окне на вкладке Тип определить вид математической модели, а на вкладке Параметры отметить флажок Показывать уравнение на диаграмме. После нажатия <ОK> искомое уравнение появится на графике.

21.3. Модель многомерного объекта

Предположим, что технологический процесс можно описать математической моделью вида