Исследование процессов тепловлагообмена вблизи заглубленного в грунт трубопровода (стр. 10 )

, 

Процесс уточнения оценок может быть продолжен. Например, оценки   находятся по формулам типа (2.22), если в правой части  использовать вместо   и так далее.

2.2.1. Доказательство сходимости метода

Докажем, что оператор, преобразующий нижнюю и верхнюю границы в уточненные , является оператором сжатия в пространстве с метрикой:

при , где – достаточно малый интервал времени. Для этого должно выполняться неравенство:

или

,  где 0<α<1.         (2.23)

Согласно формулам (2.22) имеем:

Обозначим через значения , при которых функция

достигает максимума в области :

Случаи, когда или , не рассматриваются, так как тогда и продолжать итерации не имеет смысла, учитывая (2.23).

Во всех остальных случаях выполняется неравенство:

Обозначим интегралы в правой части неравенства, соответственно, и . Обе функции непрерывны в области и

и         (2.24)

Разделим обе части неравенства на и умножим правую его часть на :

Очевидно, что

  и  ,

где

.

Вследствие дифференцируемости и (2.24), для любого существует такое , что при выполняется неравенство (2.23). Таким образом, итерационная процедура сходится равномерно при .

Итак, доказано, что существует такое конечное , что при при четном выполняется система неравенств:

причем, .

Для того чтобы обеспечить сходимость итерационной процедуры на любом временном интервале, можно, следуя работе [7], использовать в качестве оценок функции , определяемые следующим образом:

при каждом определяется из уравнения

Тогда при четном j уже для любых значений времени получим:

,

и 

Все выше сказанное относится к монотонным задачам.

Методика перехода к немонотонным задачам, то есть к случаю, когда – произвольная функция с ограниченной вариацией, подробно изложена в п. 2.1.3.

Функция разлагается на сумму двух монотонных знакопостоянных функций:

  .

Искомая функция представляется как сумма двух функций , являющихся решениями задач вида (2.5), (2.6) с и в качестве граничных условий. Затем при построении оценок каждый раз строится комбинация оценок .