Исследование процессов тепловлагообмена вблизи заглубленного в грунт трубопровода (стр. 7 )

Эти и другие исследования позволяют выделить основные факторы, влияющие на процесс пучения при отсутствии внешних нагрузок: минеральный состав и физико-механические свойства грунтов; влажность грунтов до и после промерзания; скорость и глубина промерзания.

Выявлены основные механизмы переноса влаги в жидкой фазе: термокапиллярный (в меньшей степени);  термодиффузия (основной механизм); термоосмос (в засоленных грунтах).

И всего сказанного для нас важны три основные вывода: образование шлиров происходит целиком в мерзлой зоне, не на самой границе промерзания; процесс формирования криогенной структуры продолжается по всей мерзлой зоне длительное время после ее промерзания; образование шлиров происходит в температурных условиях, близких к стационарным.

В заключение данной главы отметим, что в результате многих аналитических и экспериментальных исследований, были получены расчетные формулы и разработаны методики теплового расчета различных типов грунтов в различных областях.  Однако, несмотря на очевидную практическую значимость, некоторые аспекты исследований тепловых процессов вокруг подземных низкотемпературных трубопроводов еще недостаточно изучены и требуют научного и практического объяснения.

Глава II

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ  ДЛЯ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ОРЕОЛОВ ПРОМЕРЗАНИЯ–ОТТАИВАНИЯ ВБЛИЗИ ТРУБОПРОВОДОВ

Обзор методов решения задач нелинейного теплообмена в грунтах сделан в главе I. Многообразие задач является причиной того, что невозможно для их решения использовать один метод или фиксированный набор методов.

Известные точные решения для уравнения теплопроводности относятся главным образом к плоским областям [42]. В тех случаях, когда существует точное решение в области с осевой или центральной симметрией, оно обычно крайне неудобно для практического применения. Это связано со свойствами цилиндрических и сферических специальных функций.

Для нелинейных задач точных решений получено мало, а приближенные также удобны только в плоских областях. Например, с функциями Грина, на которых основаны многие приближенные методы, работать в цилиндрической области очень трудно.

Для численных методов нет подобных ограничений, но численные методы далеко не универсальны. Важный круг задач, в которых нужно выявить качественные особенности решения, плохо поддаётся численному анализу.

После того как в [46] были доказаны теоремы сравнения для уравнений параболического типа. Появилось несколько работ, использующих эти теоремы для построения приближенных решений нелинейных задач теплопроводности [62]. Но еще значительно раньше фактически на том же принципе построено решение задачи с нелинейным граничным условием [70], которое занимает особое место среди приближенных методов решения уравнения теплопроводности. Были построены итерационные процедуры в виде последовательности функций, мажорирующих искомое решение поочерёдно сверху и снизу. Такие функции Чаплыгин называл «границами»; он использовал их для решения обыкновенных дифференциальных уравнений [77]. Решается обычно нелинейная задача, а мажоранты (их называют границами или оценками) находятся в явном аналитическом виде, как решения линейных задач. Таким образом, это один из методов линеаризации. Аналитическое выражение, являющееся оценкой, не просто позволяет найти приближенное численное значение температуры. Оно является моделью процесса теплообмена, несколько отличающегося от исследуемого в количественном отношении, но сохраняющего его характерные качественные особенности.

Метод построения сужающегося семейства оценок разработан и теоретически обоснован и ([28], [2], [1]) для широкого класса нелинейных немонотонных задач. Класс задач, традиционно решаемых оценочными методами, был существенно расширен. Однако и здесь речь идёт только о плоских задачах.

Теоремы сравнения [46] назвал теоремами монотонности, так как монотонность – естественное условие их применения. В работе Даниэляна [25] построены границы (оценки) решения монотонной задачи с немонотонными коэффициентами. В [1] рассматриваются задачи с немонотонными граничными условиями, вследствие чего немонотонной является сама искомая функция.

В данной главе излагается метод решения задач теплообмена, к которым приводит исследование соответствующих процессов в грунтах, заключающийся в построении сужающегося семейства оценок неизвестной функции сверху и снизу, основанный также на применении дифференциальных и интегральных неравенств. Автором приводится математический приём, позволяющий все результаты работ ([28], [2], [1])  применить к областям с осевой и центральной симметрией. При этом не вносится дополнительная неконтролируемая погрешность, как в методе работы [5], и не возникает дополнительных вычислительных трудностей.

Здесь доказана сходимость предлагаемой итерационной процедуры для области с осевой симметрией в конкретном пространстве функций (п. 2.1.4), а также построен численный метод ее реализации (п. 2.1.5).

Приближенное решение задачи теплообмена в грунтах методом построения сужающейся системы оценок
Постановка задачи

Запишем решаемую задачу в общем виде  для одномерной полуограниченной (плоской, осесимметричной и центральносимметричной) области:

       (2.1)

 

при следующих начальных и граничных условиях:

       (2.2)

  ,

где – соответственно, температура, теплоёмкость, коэффициент теплопроводности, время; – дифференцируемая функция с ограниченной вариацией; x – пространственная координата; – граница области.

соответствует плоской, осесимметричной и центральносимметричной областям.

Функция   может иметь различный вид. В задаче о теплообмене во влажных дисперсных или пористых материалах [29]

,        (2.3)

где – скрытая теплота фазового перехода воды, – содержание незамёрзшей воды.

В задаче Стефана [2] эта функция имеет особенность типа дельта-функции  Дирака при (– температура фазового перехода).

Стандартными подстановками Кирхгофа и Голанта уравнение (2.1) приводится к виду:

,        (2.4)

 

где – оператор Лапласа, – некоторые функции от . Поэтому для простоты изложения в дальнейшем полагаем в (2.1)

.

Заменой искомой функции легко добиться также, чтобы начальное условие было нулевым. Будем считать, что все эти преобразования уже проведены. Чтобы не вводить новые переменные, положим в (2.2) и получим для области :

         (2.5)

где – температуропроводность грунта,

граничные условия имеют вид:

         (2.6)