Исследование процессов тепловлагообмена вблизи заглубленного в грунт трубопровода (стр. 15 )

Предположим, что значение известно и,  следовательно,

Тогда в мерзлой зоне:

.                 (3.16)

Так как  экспериментально определяемая функция, то – известная функция. При подстановке в уравнение (3.9)  снижается его порядок. Вместо параболического уравнения, так же как и в [3],  получаем гиперболическое уравнение первого порядка.

В математической физике подобный подход не нов. Модель Рапопорта-Лиса, описывающая двухфазную фильтрацию с учетом капиллярных эффектов, построена на базе параболического уравнения. Если капиллярным давлением пренебречь, то это уравнение вырождается в гиперболическое. Это и есть классическая модель Баклея-Леверетта (Басниев).

Из (3.5) следует, что величины и  связаны взаимно-однозначным соответствием. При найденном из (3.15) поле температур величина  определена в каждой точке. Тогда условия (3.5) и (3.6) дают взаимно-однозначное соответствие между и . Все это позволяет исключить из уравнения одну из переменных и построить уравнение либо относительно переменной , либо относительно переменной , которое будет справедливо только в мерзлой зоне.

В первом случае формально лед движется сквозь пористую среду. И здесь мы встречаемся с теми же трудностями, что и в теории модель Баклея-Леверетта. А именно, поскольку решение получающегося уравнения может иметь разрывы (т. е. речь может идти только об обобщенном решении), то в областях разрыва среды условия сохранения массы, заложенные в уравнении, автоматически не выполняются (уравнение в этих областях не работает). Поэтому необходимо специально учитывать эти условия на границах разрывов.

Если же уравнение решается относительно , то этих трудностей удается избежать. Среда (т. е. лед) в этом случае не имеет разрывов вследствие  (3.4). Интересно, что при этом получается как раз то, о чем с других позиций, говорит [60]: движение частиц сквозь лед, самоочищение льда.

Итак, имеем уравнение:

                (3.17)

где

 

при начальных условиях:

                (3.18)

Здесь – граница талой зоны, т. е. нулевая изотерма, полученная из решения задачи (3.16) (Рис. 3.1). Талую зону мы исключаем из рассмотрения, а на ее границе назначаем условия:

                (3.19)

В результате решения задачи (3.17)–(3.19) могут получиться области, где , т. е. прослои чистого льда. Один из таких прослоев в режиме одностороннего промерзания образуется на внутренней поверхности образца . В связи с этим граничное условие здесь можно задать только на *
(Рис. 3.1):

.        

Значение получается в процессе решения.

Так как непосредственное интегрирование  уравнения (3.17) затруднено, то полученная задача решается методом характеристик [57], т. е. вместо (3.17) записывается система обыкновенных  дифференциальных уравнений:

                (3.20)

где – начальные координаты характеристик.

Пересечению характеристик соответствует наложение слоев грунта друг на друга, чем вызвано резкое увеличение плотности, резкое увеличение коэффициента влагопроводности и образование шлира. На практике плотность грунта не должна превышать .

3.2.Численный анализ построенной модели

Уравнение (3.15) для одномерной стационарной задачи в цилиндрической системе координат запишется следующим образом:

Его решение имеет вид [41]:

.                 (3.21)

Зависимость количества незамерзшей воды от температуры определяется, как в работе [3]

,                 (3.22)

где – коэффициент формы кривой незамерзшей влаги.

Согласно теоретическим и экспериментальным исследованиям, прослои чистого льда образуются при отрицательной, близкой к стационарной, температуре, поэтому и мы производим  все расчеты только в мерзлой зоне. Формулы для функций   получаются дифференцированием, согласно выражениям (3.16), (3.21) и (3.22):

. 

В работе [4] показано, что коэффициент влагопроводности, рассчитанный по итогам экспериментов для однородного грунта, зависит главным образом, от плотности грунта, т. е. . 

После соответствующих преобразований и   система  (3.20) принимает следующий вид:

За начальный момент времени принимается  , поэтому в качестве нулевых характеристик приняты:

Система решалась численно методом Эйлера [52] на персональном компьютере.

В качестве расчетных параметров для данной модели были взяты следующие значения:

Кроме того, было принято условие, что при   влагообмен прекращается, т. е. .