Исследование процессов тепловлагообмена вблизи заглубленного в грунт трубопровода (стр. 14 )

если ,  то

Следует обратить внимание на условия при . После достижения суммарной влажностью определенного уровня    дальнейшее ее возрастание становится невозможным из-за разрыва пленок, окружающих зерна скелета, по которым движется незамерзшая влага.

Значение определяется из равенства:

        (3.12)

где есть проекция вектора  на ось , единственная координата вектора. Остается найти выражение для . Согласно определению скорости,

.         (3.13)

Проекция плотности потока влаги на ось определяется как количество воды, просачивающейся в единицу времени через единицу площади поверхности грунта, 

        (3.14)

где – объем воды; – плотность воды; – площадь поверхности  цилиндра радиуса r, через которую просачивается влага (рис. 3.2).

Рис. 3.2

Изменение объема грунта вокруг холодной трубы при сегрегационном
льдовыделении

Известно, что

,

где – длина образца.

Тогда из (3.14) можно определить объем просочившейся воды по формуле:

.

С другой стороны, прирост объема образца в результате разбухания
(Рис. 3.2) определяется формулой: 

,

где. – площадь основания кольца толщиной  , которая определяется следующим образом:

.

Так как изменение объема вызвано только притоком влаги и согласно [3] пустот в грунте нет, то и имеем:

  или  .

Разделив обе части равенства на , следующее получим выражение:

.

Перейдем к пределу при , тогда, учитывая (3.13) и непрерывность функции , окончательно получаем  формулу для определения скорости  движения частиц грунта:

.

Таким образом, оказалось, что скорость частиц имеет  ту же зависимость, что и работа [4]. Это объясняется направлением движения частиц вдоль радиуса трубы.

Процессы переноса массы и энергии, описываемые уравнениями (3.9) и  (3.10) протекают с существенно разными скоростями. Коэффициент влагопроводности в промерзающем грунте, по крайней мере, на порядок меньше, чем коэффициент температуропроводности. Поэтому следует ожидать,  что миграция влаги, вызывающая сегрегацию льда, протекает в температурных условиях, близких к стационарным. И действительно, в экспериментах [35] прослои льда формировались за 10–14 суток, а время выхода на стационарный режим в похожих условиях, согласно работе [4], составляет . Таким образом, ошибка в определении момента времени перехода на стационарный режим , при котором осуществляется переход от одной системы уравнений к другой, не может оказать влияния на результаты расчета.

Однако в задаче (3.9)–(3.11) стационарный температурный режим невозможен даже в пределе, так как продолжающаяся миграция влаги вызывает увеличение . Поэтому можно говорить лишь о квазистационарном  изменении поля температур при  .

С учетом сказанного, при    температуру грунта рассматриваемого образца можно найти как решение следующей задачи:

                (3.15)

Значение определяется из выражения (3.12).

С изменением величины при неизменных граничных условиях меняется положение границ фазового перехода (рис. 3.1). Здесь следует особо оговорить, что рассматриваемая модель является по сути кинематической, как и модель в работе [3]. В ней не учитываются силы и производимая ими работа. Деформация образца вызвана только притоком влаги. С притоком влаги растет суммарная влажность и уменьшается плотность скелета грунта, как это видно из формул (3.1)–(3.5). Причиной миграции влаги является перепад температур и изменение величины  вдоль координаты . Перепад температур обусловлен наличием холодной трубы, являющейся теоретически стоком тепла бесконечной мощности. В связи с этим энергию фазового перехода можно не учитывать в расчетах и в качестве границы принять положение нулевой изотермы, полученной из решения задачи (3.15). Отметим, что при фиксированном задача о фазовом переходе в области (задача Стефана) в пределе при переходит в задачу (3.15).