Исследование процессов тепловлагообмена вблизи заглубленного в грунт трубопровода (стр. 8 )

Уравнения (2.5) имеют такой же вид, как и уравнения (2.4), к которым приводится (2.1). Получаемые в результате преобразований условия аналогичны (2.6). Поэтому вместо задачи (2.1), (2.2), не нарушая общности, в дальнейшем рассматриваем задачу (2.5), (2.6).

Функция должна быть неубывающей. Производная , экспериментально определяемая зависимость, может быть как непрерывной, унимодальной функцией от , так и имеющей особенность дельта-функции. Решение считаем непрерывным при .

Не вдаваясь в сравнительное обсуждение различных численных методов решения этой задачи, следует отметить лишь, что единого универсального метода пока нет, поэтому всякий новый метод имеет право на детальную проработку.

Теоретическое обоснование метода решения нелинейных немонотонных задач на плоскости дается в статье [1]. Ниже приводятся аналогичные доказательства для области с осевой симметрией.

Обоснование метода построения сужающейся системы оценок для областей с осевой симметрией

Для области с осевой симметрией задача о теплообмене с фазовым переходом во влажных дисперсных или пористых материалах, согласно (2.5)–(2.6), имеет следующий вид:

       (2.7)

,

.

       

Если – непрерывная функция, то  – ограниченная функция и вместо (2.7), можно записать:

или

,

где  .

Так как и , то и немонотонный коэффициент, кроме того, немонотонной является функция , вследствие чего немонотонна и искомая функция .

Предложение 1.

Если заданы функции являющиеся решениями следующих задач:

       

причем  , то при неубывающей и положительной:

,

а при – невозрастающей и отрицательной:

.

Доказательство:

Доказательство проводится на основе теоремы сравнения [46]

Обозначим  ,

тогда

Определим знак разности:

.

а) Если – неубывающая и положительная, то частная производная

(так как по условию ).

Но , значит, выполняется неравенство

.

Тогда по теореме сравнения .

б) Если невозрастающая и отрицательная функция, то (так как )

.

Следовательно, .

Тогда по теореме сравнения получаем:

.

Доказательство закончено.

2.1.3. Методика определения границ решения исходной задачи с
немонотонными граничными условиями

Используя доказанное выше предложение, найдем границы решения задачи вида:

        (2.8)

       

Для построения искомого решения граничную функцию F(τ) представим в виде:

        (2.9)

где – неубывающая положительная функция, – невозрастающая отрицательная функция.

Докажем, что

,

если удовлетворяют уравнениям:

        (2.10а)

       

        (2.10б)

Обозначим , тогда из (2.10) для получаем:

Так как исходная задача теплопроводности предположительно однозначно определяется коэффициентами и краевыми условиями (доказательство этого выходит за рамки данной работы), то

Следовательно, , причем из (2.10) вытекает, что

.