Исследование процессов тепловлагообмена вблизи заглубленного в грунт трубопровода (стр. 9 )

Границы и найдем из уравнений:

        (2.11)        

где   – наименьшее и наибольшее значения

Из предложения 1 имеем .

Учитывая (2.9), находим границы :

,

.

Решения задач (2.11) легко находятся в аналитическом виде [71].

Используя  , строим оценки , такие, что   и так далее.

2.2. Итерационная процедура построения интегральной системы оценок искомого решения

В силу доказательства, приведенного выше, предполагаем сначала, что в задаче (2.5)–(2.6) – монотонная функция с ограниченной вариацией.

Далее идет построение оценок решения этой задачи по методике [1]. Принимая для определённости вид по формуле (2.3), из (2.5)
получаем:

        (2.12), 

        (2.13), 

        (2.14).

Решение уравнения (2.12)  с условиями (2.6) можно представить в интегральном виде с помощью функции Грина (как сумма решений однородного уравнения с условиями (2.6) и задачи (2.12) с нулевыми начальным и граничным условиями). Чтобы избавится от производной под знаком интеграла, используем формулу интегрирования по частям и после несложных преобразований имеем:

,         (2.15)

где 

– функция Грина для уравнения (2.12),

,

– решение уравнения

удовлетворяющее условиям вида (2.6). Оно выписывается с помощью интеграла Дюгамеля в замкнутом виде.

Идея предлагаемого в данной работе метода состоит в том, чтобы получить интегральное представление задач (2.13), (2.6) и (2.14), (2.6) с использованием функции Грина для уравнения (2.12). Это возможно, если в качестве функции источника в уравнениях (2.13), (2.14) рассматривать функции:

  и  .

От производной под знаком интеграла также освобождаемся интегрированием по частям и получаем после преобразования:

        (2.16)

                  (2.17) 

где имеют тот же смысл, что и формуле (2.15), 

.

Обозначим и получаем интегральные уравнения:

                        (2.18)

Отметим, что не зависит от искомых функций . В качестве первых оценок функций можно принять значения

                  (2.19)

Откуда следует, что

.

Для получения уточненных оценок  определим функции следующим образом

              (2.20)

Аналогично определим функции

              (2.21)

Очевидно, что

Тогда для уточненных оценок получаем выражения:

       (2.22)

где  .

Легко показать, что вследствие монотонности функции выполняются следующие неравенства: