Исследование процессов тепловлагообмена вблизи заглубленного в грунт трубопровода (стр. 6 )

Задача Стефана

Наиболее полной математической моделью процессов промерзание и оттаивания влажных горных пород в рамках модели сплошной среды является задача Стефана. Отличной особенностью задачи Стефана, относящей ее к числу сложнейших нелинейных задач математической физики, является наличие подвижных границ раздела зон с различным агрегатным состоянием (фронтов), закон перемещения которых заранее неизвестен. [54]

Известно, что в грубодисперсных породах часть влаги (свободная влага) кристаллизуется при некоторой фиксированной температуре. При этом образуется фронт промерзания. В каждой из двух зон – мерзлой и талой – температурное поле подчиняется уравнению теплопроводности, причем соответствующие теплофизические характеристики (теплопроводность, температуропроводность, влажность и плотность скелета) постоянны и заданы. При переходе через фронт характеристики изменяются скачкообразно. Уравнение формально не теряет силу и в этом случае, только в выражении для эффективной теплоемкости появляется дельта-функция [71].

В статье [44] дан краткий обзор аналитических методов решения краевых задач нестационарного переноса в области с движущимися границами. Рассмотрены случаи, когда движение границ задано, и более сложные, когда это движение находится из дополнительных условий задачи (задачи Стефана прямые и обратные и более общие для уравнений параболического типа со свободной границей). Сформулирован ряд проблемных вопросов аналитической теории теплопроводности в области нецилиндрического вида.

Классическая постановка задачи о фазовом переходе (задачи о промерзании) приводится, например, в книге , [71]. 

Вопрос о существовании и единственности такой задачи решается в математической литературе, а в практических расчетах используют численные и приближенные методы.

Для реальных грунтов теплофизические параметры зависят от температуры и уравнения теплопроводности в задаче Стефана становятся нелинейными, поэтому аналитическое решение возможно только приближенно при некоторых допущениях.

Применение численных методов для задачи Стефана имеет свои особенности, обусловленные тем, что на границе фазового перехода возникает особенность, которую можно описать дельта-функцией. Широко распространенный метод академика [67], заключающийся в замене дельта-функции на дельта-образную функцию, т. е. в «размазывании» фронта, снимает многие проблемы, так как решается просто нелинейное уравнение теплопроводности, фронт как таковой из рассмотрения выпадает. При таком подходе результатом расчетов является поле температур, по которому не всегда удается идентифицировать положение границ фазового перехода. Нулевая изотерма не является при «размазанном»  фронте специфической линией, на которой выделяется скрытая теплота перехода. Определение положения фронта возможно лишь с довольно большой погрешностью, хотя погрешность определения температуры, как правило, мала. Между тем расчет поля температур, например, в задачах строительства в северных условиях, производится главным образом для установления динамики фазовых превращений. Сама по себе температура имеет меньшее значение. 

Работы ([2], [5]) позволили расширить сферу приложения этого метода на задачу Стефана, в них предложен эффективный численный алгоритм получения функций, являющихся оценками. Решение задачи определения фронта фазового перехода можно также получить с помощью метода построения сужающейся системы оценок. Для задач промерзания-протаивания в области с плоскопараллельной симметрией эта методика подробно изложена в обзорной работе [1].

Решение большинства многомерных и нелинейных задач типа Стефана возможно только при использовании численных методов решения и вычислительной техники. Одним из распространенных и эффективных способов численного решения краевых задач является метод конечных разностей. Он применим для широкого класса теплофизических задач как линейных, так и нелинейных уравнений в частных производных с различными граничными и начальными условиями. Разработано много разносных схем для решения задач  типа Стефана, которые можно разделить на две группы: с явным выделением фронта и сквозного счета.[64]

Методы с явным выделением фронта ([21, [22]) основаны на подборе параметров расчетной пространственно-временной сетки, на которой аппроксимируется исходная задача таким образом, что положение фронта всегда совпадает с положением одного из узлов. На этом узле решения «сшиваются» для талой и мерзлой зон. Использование этих методов затруднено при немонотонном распространении фронтов.

Методы сквозного счета [22, 47] основаны на введении эффективной теплоемкости, учитывающей изменение внутренней энергии при фазовом переходе; при этом можно рассматривать одно общее уравнение теплопроводности для всей изучаемой области.

В различных типах горных пород фазовых переходы влаги происходят существенно различным образом. Так, в грубодисперсных породах характерно то, что фазовые переходы влаги происходят практически полностью при температуре промерзания (оттаивания), т. е. на фронте промерзания (оттаивания). Поэтому, если говорить о грунтах, то для крупного песка или для чистого льда –  главное, знать положение фронта перехода, на котором их свойства резко меняются. 

В тонкодисперсных породах в связи со значительным количеством связной воды существенное значение имеют фазовые переходы незамерзшей воды, развивающиеся внутри промерзшей зоны. Физические свойства в этих грунтах являются гладкими функциями от температуры и, благодаря наличию незамерзшей воды, резкого фронта перехода просто не существует. В этом случае целесообразно применить метод со сглаживанием фронта, что и сделано автором в гл. IV при расчете температурного поля вокруг холодного газопровода.

Для вычислений использовался универсальный, продольно-поперечный сеточный метод, пригодный для решения уравнения теплопроводности с переменными и даже разрывными коэффициентами в произвольной области любого числа измерений.

В связи с выше сказанным, все приближенные методы решения задачи Стефана можно разделить на фронтовые и со сглаживанием фронта. Применение того или иного метода зависит от того, что является главным в полученном результате: положение фронта фазового перехода (в задачах сезонного промерзания-протаивания фронтов может быть несколько) или значение температуры в каждой точке области решения. Погрешность метода также будет либо погрешностью в определении положения фронта, либо погрешностью определения температуры. Поэтому разработано большое количество методов решения задачи Стефана.

Методы изучения процессов влагопереноса в мерзлых грунтах

Рассмотрение современных методов изучения процессов влагопереноса проводят раздельно для процесса влагопереноса в талых и мерзлых грунтах и для процесса миграции влаги  и сегрегационного (шлирового) льдовыделения при промерзании дисперсных пород.

При исследовании процесса влагопереноса в дисперсных грунтах основное внимание обычно уделяется плотности потока влаги в жидком и парообразном состоянии, который определяется влагопроводными свойствами вещества и градиентом термодинамического потенциала. Отсюда понятно, что методика исследования процесса влагопереноса основываются на использовании комплекса методов по изучению всех параметров миграции влаги.

[34] считает, что в целом все методы влагопереноса в дисперсных материалах могут быть разбиты на три группы: методы стационарного, квазистационарного и нестационарного влагообмена.

Методы стационарного влагопереноса считаются наиболее надежными и принимаются в качестве эталонных. Квазистационарные методы определения влагообменных параметров в мерзлых почвах основаны на том, что процесс нестационарного влагопереноса условно разбивается на достаточно малые временные интервалы, в пределах которых с определенной погрешностью процесс влагообмена принимается стационарным. Точность квазистационарных методов возрастает по мере сокращения временных интервалов, однако в целом оказывается ниже, чем в стационарных. Нестационарные методы определения массообменных характеристик грунтов, основанные на использовании аналитически найденного решения уравнения влагопереноса, являются по существу грубо приближенными.

Причем отмечается, что методика изучения влагопереноса в талых и промерзающих грунтах разработана детальнее, чем методика изучения миграции влаги в мерзлых породах и формирования текстур и шлирового льдовыделения при промерзании дисперсных пород.

Работы экспериментального характера по пучению проводятся у нас и за рубежом. Они позволили выявить основные закономерности этого явления. Экспериментальные исследования пучения описано в работе [83]. При высоком содержании льда влагоперенос осуществляется по тонким пленкам. Для близких к нулю температур водопроницаемым является и сам лед, так как в нем образуются жидкие границы между кристаллами, выполняющими роль микроскопических каналов для потока воды. Исследуется вторичное пучение и вызываемое им давление.

Эксперименты , Мандарова [78] по изучению процесса образования шлиров в процессе и после промерзания показали следующее. Прожилки, линзочки и прослои льда образуются не сразу с началом промерзания, а когда скорость промерзания уменьшилась до определенных значений (квазистационарность температурного поля). Они формировались не на границе промерзания, а на расстоянии 1–5 мм от нее. Эти прослои в дальнейшем увеличивались по толщине и протяженности. Образовывались также прослои льда и вдали от границы, но размеры их не были значительными.

Эксперименты, описанные в работе [82], показывают, что добавление песка к глине или глины к песку в определенных небольших пропорциях заметно усиливает пучение.

Теоретическое обоснование развития шлиров при вторичном пучении в тонкодисперсных материалах, поры которых заполнены влагой и не содержат воздуха, при отсутствии внешних механических нагрузок, было опубликовано в ряде работ ([3], [4]) на примере процесса одностороннего промерзания плоского образца для случая, когда температурные условия близки к стационарным. В данной работе показано, что эту методику  можно применить и к явлению вторичного морозного пучения вокруг холодного трубопровода. Причем результаты расчетов разработанной модели сопоставлялись с известными экспериментальными данными.