Оглавление (стр. 11 )

Например, одной из проблемной задач может служить следующая: известно, что среди 40 ученых имеются 10 математиков. Среди всех ученых случайным образом выбрали первую пятерку, найдите вероятность, что в этой пятерке присутствуют ровно 2 математика.

Чтобы решить данную задачу, необходимы знания в области комбинаторики и теории вероятности.

При использовании практико-ориентированных задач достигается следующая цель: ученикам наглядно демонстрируются проблемные ситуации, что вызывает у них заинтересованность в изучении математики.

Рационально использовать задачи, в которых предлагается получить самостоятельно недостающие данные. Например, для школьников такими данными могут служить результаты контрольных или самостоятельных работ. Учащиеся самостоятельно получают данные при решении задач, таким образом, создаются условия для развития профессиональных умений проводить опросы, работать со справочной литературой и так далее. А так же, решая такие задачи, учащиеся  видят связь изучаемого ими материала с практикой.

Среди способов самостоятельного получения исходной информации выделяют следующие:

Использование опубликованной информации (справочная литература, журналы, интернет и т. д.). Решение данных задач развивает у учеников умение работать со специальной литературой. Также можно предлагать задачи связанные с динамическим прогнозированием: учащимся нужно взять опубликованные сведения о развитии некоторого явления (спортивного результата, роста детей, количество детей занимающихся в секциях), на их основе построить математическую модель развития этого явления во времени, спрогнозировать уровень развития на текущий период и сравнить с реальным значением. Самостоятельное получение данных в результате эксперимента.

Предлагаемые задачи подходят для классной и для домашней работы, так как сбор данных не отнимает много времени и не отвлекает от решения задачи.

Учителю необходимо самостоятельно составлять задачи, так как нет специальной литературы, в которой они бы содержались.

2.5.  Методика преподавания математической статистики в средней школе

Математическая статистика – это раздел математики, в котором изучаются методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений массовых случайных явлений для выявления существующих закономерностей [15]. Необходимо подробно остановиться на изучении статистических характеристик и их практического применения. Рассмотреть понятия, заключающиесущность выборочного метода в статистике (выборка, варианта и пр.). Также нужноуделить внимание способам их графического представления.

В практике статистических наблюдений различают два вида:

сплошное (изучаются все объекты); выборочное (не сплошное, когда изучается часть объектов).

Примером сплошного наблюдения является опрос школы, охватывающее всех учащихся. Выборочными наблюдениями является, например, проводимые социологические исследования в отдельном классе и тому подобное.

Вся подлежащая изучению совокупность объектов называется генеральной совокупностью. Часть объектов, которая отобрана для непосредственного изучения из генеральной совокупности, называется выборочной совокупностью или выборкой.

Числа объектов в генеральной или выборочной совокупности называют их объемами. Генеральная совокупность может иметь конечный и бесконечный объем.

Суть выборочного метода состоит в том, чтобы по некоторой части генеральной совокупности (по выборке) выносить предложение о ее свойствах в целом. Обычно ограничиваются 5-10% всей изучаемой совокупности.

Затем следует рассматривать выборочный метод и выделить его преимущества:

экономия затраты ресурсов; единственно возможный в случае бесконечной генеральной совокупности или в случае, когда исследовании связано с уничтожением наблюдаемых объектов; возможность углубленного исследования за счет расширения программы исследования при тех же затратах; снижение ошибок регистрации; неизбежные ошибки, возникающие в связи с изучением части объектов, могут быть заранее оценены и посредством правильной организации выборки сведены к незначимым величинам.

Использование сплошного наблюдения часто приводит к уменьшению точности наблюдения, а это у же вызывает неустранимые ошибки, и может привести к снижению точности сплошного наблюдения в сравнении с выборочным. Выборка должна быть отобрана случайным образом, для того чтобы по ее данным можно было судить о генеральной совокупности. Отбор на практике выполняется с помощью жеребьевки или с помощью случайных чисел.

Основной недостаток выборочного метода – ошибки исследования, называемые ошибками репрезентативности.

Выборка называется репрезентативной (представительной), если она достаточно хорошо воспроизводит генеральную совокупность. Виды выборок:

случайная выборка (случайный выбор элементов без расчленения на части или группы); механическая выборка (элементы отбираются через определенный интервал); типическая выборка (выбор случайным образом элементов из типических групп, на которые по некоторому признаку разбивается генеральная совокупность); серийная выборка (случайным образом отбираются целые группы совокупности, а сами серии подвергаются сплошному наблюдению). Способы образования выборки: повторный выбор – каждый элемент, случайно отобранный и обследованный, возвращается в общую совокупность и может быть повторно отобран. бесповторный отбор – когда обратный элемент не возвращается в общую совокупность.

Далее учащимся можно дать таблицу (табл.11), в которых указываются основные характеристики генеральной совокупности и выборки.

Таблица 11.

Наименование характеристики	Генеральная совокупность	Выборка
Математическое ожидание
Дисперсия
Доля

Здесь хi – значение признака; N и n – объемы генеральной и выборочной совокупностей; Ni и ni – число элементов генеральной и выборочной совокупностей со значением признака хi; M и m – число элементов генеральной и выборочной совокупностей, обладающих данным признаком.

На примере можно показать, как вычисляются введенные характеристики. Генеральная совокупность задана таблицей распределения (табл.12). Найти дисперсию.

Таблица 12.

Xi	2	4	5	6
Ni	8	9	10	3

Важнейшей задачей выборочного метода является оценка параметров генеральной совокупности по данным выборки.

Далее введем понятие вариационного ряда. Для этого рассмотрим пример. Необходимо изучить изменение результатов учеников, занимающихся по прыжкам в длину, по сравнению с предыдущим годом. Получены следующие данные результатов в процентах к предыдущему году: 97,8; 97,10; 101,17;…;142,3;141,02.(всего 100 значений.).

Различные значения признака (случайной величины Х) называется вариантами (обозначаем их через х).

В первую очередь необходимо упорядочить данные. Расположение вариантов в порядке возрастания (убывания), т. е. ранжирование вариантов ряда.

Следующим этапом нужно производить группировку, то есть разобиение на отдельные интервалы. Число интервалов не следует брать большим. Числа показывающие, сколько раз встречаются варианты из данного интервала, называются частотами (ni), а отношение их к общему числу наблюдений частостями. Составляем таблицу (табл.13)

Таблицу 13.

N	Результаты в процентах к предыдущему году х	Частота (количество учеников) ni	Частость	Накопленная частота niнак	Накопленная частость
1	94,0-100	3	0,03	3	0,03
2	100,0-106,0	7	0,07	10	0,10
3	106,0-112,0	11	0,11	21	0,21
…	…	…	…	…	…
8	136,0-142,0	2	0,02	100	1,00
100	1,00

Вариационным рядом называется ранжированный в порядке возрастания или убывания ряд вариантов с соответствующими им частотами (частостями). Накопленная частота niнак показывает, сколько наблюдалось вариантов со значениями признака меньших х. Накопленная частость – отношение накопленной частоты к общему числу наблюдений: .

Таким образом, полученный вариационный ряд позволяет выявить закономерности.