Оглавление (стр. 7 )

Корреляционной зависимостью от называют функцию .

Уравнение  называют уравнением регрессии  на ,  а ее график – линией регрессии на.

Аналогично определяется условная средняя и корреляционная зависимость от.

Условным средним называется  среднее арифметическое значений , соответствующих .

Корреляционной зависимостью  от называют функцию .

Уравнение  называют уравнением регрессии  на ,  а ее график – линией регрессии на.

Корреляционный анализ рассматривает две задачи.

Первая задача теории корреляции – установить форму корреляционной связи, то есть вид функции регрессии (линейная, квадратичная и так далее)[8].

Вторая задача теории корреляции – оценить силу (тесноту) корреляционной связи. Теснота корреляционной связи (зависимости) на оценивается по величине рассеивания значений вокруг условного среднего. Большое рассеивание свидетельствует о слабой зависимости от, малое рассеивание указывает на наличие сильной зависимости[8].

Пусть имеются две случайные величины, и проводится их измерение.

В результате независимых опытов получены пар чисел ,  , , 

Будем искать линейное выборочное уравнение регрессии на в  виде:

Так как по выборочным данным можно получить только оценки параметров, то оценку коэффициента обозначим через , а оценку — через , то есть  .

Параметры  и находим методом наименьших квадратов по формулам:

,

Аналогично находится выборочное уравнение линейной регрессии на:

,

где

,

.

Чтобы оценить связь (тесноту) между случайными величинами принято использовать выборочную ковариацию и выборочный коэффициент корреляции.

Выборочная ковариация (эмпирический корреляционный момент) записывается в виде:

,

а выборочный коэффициент корреляции имеет вид:

  или  ,

где  ,  .

       Абсолютная величина (модуль) выборочного коэффициента корреляции не превосходит единицы, то есть    или . С возрастанием линейная корреляционная зависимость становится более тесной,  и при переходит в функциональную. Если  , то корреляционная связь испытаний и  отсутствует.

Пример 5. В результате независимых испытаний получены пары значений случайных величин и (таб.12):

Таблица 12.

	10	20	25	28	30
	4	8	7	12	14

В таблице значения расставлены в возрастающем порядке.

Найти выборочное уравнение линейной регрессии и выборочный коэффициент корреляции. Построить прямые регрессии  наи  на

Составим таблицу подсчетов (табл.13):

Таблица 13.

Номер опыта
1	10	4	100	40	16
2	20	8	400	160	64
3	25	7	625	175	49
4	28	12	784	336	144
5	30	14	900	420	196
	113	45	2809	1131	469

Находим  ,. ,  .

,  .