Теория механизмов и машин (стр. 2 )

5. По числу подвижностей в относительном движении звеньев.

Подробнее рассмотрим классификацию кинематических пар по числу условий связи и числу подвижностей в относительном движении звеньев. Возможные соединения звеньев в кинематические пары весьма разнообразны, в связи, с чем ограничивается подвижность звеньев в той или иной степени.

Всякое тело, свободно движущееся в пространстве, обладает шестью степенями свободы, т. е. движение может быть представлено как вращение вокруг трех осей и поступательное движение вдоль этих же осей.

Если звено не входит в кинематическую пару, т. е. не связано с другим звеном, то у него нет никаких ограничений движению: S = 0, где S – число условий связи.

Если наложить 6 связей, то звенья теряют относительную подвижность и получается жесткое соединение, т. е. кинематической пары не станет (нет относительного движения звеньев): S = 6.

Следовательно, число условий связи, наложенных на относительное движение звеньев, находится в пределах:

1 ≤S ≤5.

Неравенство справедливо для звена, входящего в кинематическую пару.

Поскольку число связей меняется от 1 до 5, существует 5 классов кинематических пар. В зависимости от вида элементов, по которым соприкасаются кинематические пары, различают высшие и низшие кинематические пары. К высшим относятся пары, звенья в которых соприкасаются по линиям или в точке. К низшим относятся пары, у которых звенья соприкасаются по поверхностям.

Все пары 5-го класса – низшие (поступательная, вращательная, винтовая). Пары 4-го класса бывают как высшими, так и низшими. Например, зубчатое зацепление, кулачок с толкателем представляют собой высшие пары (звенья соприкасаются в точке), а цилиндрическая пара – 4-го класса, но это уже пара низшая, т. к. контакт между звеньями проходит по поверхности.

К низшим парам кроме уже упомянутых относятся также сферический шарнир – пара 3-го класса, сферический шарнир с пальцем – пара 4-го класса, плоскостная пара – пара 3-го класса.

1.6 Кинематическая цепь. Структурная формула кинематической цепи

Кинематическая цепь – это система звеньев, образующих между собой кинематические пары. Кинематические цепи различают по следующим признакам:

а) замкнутые и незамкнутые;

б) простые и сложные;

в) плоские и пространственные.

В замкнутой цепи каждое звено входит не менее чем в две кинематические пары; в незамкнутой есть звенья, входящие только в одну кинематическую пару.

В простой цепи каждое звено входит не более чем в две кинематические пары; в сложной цепи есть звенья, входящие более чем в две кинематические пары.

В плоской цепи все звенья перемещаются в одной плоскости либо в параллельных плоскостях; в пространственной – звенья движутся в разных, непараллельных плоскостях.

Структурная формула кинематической цепи связывает число степеней свободы (т. е. число независимых движений) с числом и видом кинематических пар в данной кинематической цепи.

Пусть в механизме имеется k звеньев (включая стойку). Каждое звено до соединения его с другим звеном имеет в пространстве 6 степеней свободы кинематической цепи равно 6k.

Соединение звеньев в кинематические пары накладывает определенное число связей, которые надо исключить из общего числа степеней свободы.

Учитывая, что каждая пара 5-г класса накладывает 5 связей, пара 4-го класса – 4 связи и т. д., число степеней свободы кинематической цепи Н в общем случае определяется соотношением:

H = 6k – 5P5 – 4P4 – 3P3 – 2P2 – P1,

(1.1)

Где P5, P4, P3, P2, P1 – число кинематических пар 5-го, 4-го…1-го класса.

Если рассматривать движение механизма относительно стойки (неподвижного звена), то из общего количества звеньев надо вычесть это звено:

n = k – 1,

(1.2)

где n – число подвижных звеньев в кинематической цепи.

Степень подвижности механизма (W) относительно стойки определяется по формуле:

W = 6n – 5P5 – 4P4 – 3P3 – 2P2 – P1.

(1.3)

Полученная формула называется структурной формулой кинематической цепи и носит имя . Формулу (3) можно представить и в более компактном виде:

  5

W = 6n – У iPi

  i = 1

(1.4)

2.3. Структурная формула плоских механизмов

Все механизмы классифицируются по семействам. Класс семейства определяется числом общих связей, наложенных на механизм. Если наложить на механизм одну общую связь, то получим механизм 1-го семейства, и формула  (3) примет вид:

W = 5n – 4P5 – 3P4 – 2P3 – P2.

(1.5)

Аналогично, если наложить 2 общих связи:

W = 4n – 3P5 – 2P4 – P3.

(1.6)

Если наложить 3 общих связи, получим механизм 3-го семейства – плоский механизм. Из определения плоских механизмов следует, что у них из шести независимых движений возможны только три: поступательное вдоль осей X и Y, а так же вращение относительно оси Z.

Структурная формула кинематической цепи в этом случае принимает вид:

W = 3n – 2P5 – P4.

(1.7)

и называется формулой Чебышева для плоских механизмов.

2.4. Избыточные связи и лишние степени свободы

Избыточные связи в механизмах – явление нежелательное, т. к. при этом возникает статическая неопределимость системы, а также возрастают требования к точности изготовления деталей, что необходимо для осуществления сборки механизма без деформации звеньев [1].

Однако в целом ряде случаев приходится сознательно проектировать и изготавливать механизмы с избыточными связями для обеспечения нужной прочности и жесткости системы. Например, в шарнирном четырехзвеннике звено 4, присоединенное к механизму кинематическими парами E и F, обусловливает избыточную связь. Степень подвижности механизма:

W = 3n – 2P5 – P4 = 3 х 4 – 2 х 6 = 0

В действительности степень подвижности будет равна

W = 3n – 2P5 = 3 х 3 – 2 х 4 = 1

Поэтому, прежде чем определить степень подвижности механизма, следует убрать избыточные связи. Относительное движение звеньев при этом не меняется.

На рис. 15 представлен пример двух схем кулачкового механизма. Схема а изображает механизм без лишних степеней свободы:

W = 3n – 2P5 – P4 = 3 х 2 – 2 х 2 = 1.

Схема б изображает тот же механизм, но на конце толкателя 2 установлен ролик 3, который не влияет на относительное движение звеньев и служит лишь для уменьшения трения. Степень подвижности такого механизма:

W = 3n – 2P5 – P4 = 3 х 3 – 2 х 3 – 1 = 2

Ведущее звено в этом механизме одно (кулачок 1), значит, степень подвижности должна быть равна 1. Поэтому, прежде чем определить степень подвижности, необходимо убрать лишнюю степень свободы, т. е. ролик и вращательную пару, соединяющую его с толкателем. Тогда степень подвижности механизма: W = 1.

2.5 Задачи структурного анализа. Принцип Ассура

При структурном анализе необходимо решить следующие задачи:

Определить степень подвижности механизма (число степеней свободы). Выделить структурные группы (группы Ассура). Выделить механизм I класса.

Число степеней свободы равно числу обобщенных координат, характеризующих положение кинематической цепи относительно стойки. Таково же, как правило, и число входных звеньев.

Входное звено, соединенное в кинематическую пару со стойкой, называется механизмом I класса. Механизм I класса имеет одну степень свободы (W = 1).

Если присоединить к входному звену кинематическую цепь, то получится структурная схема механизма. При этом степень подвижности не должна измениться.

Принцип образования механизмов, впервые сформулированный , заключается в следующем. Схема любого механизма может быть составлена последовательным присоединением к начальному звену групп звеньев с нулевой степенью подвижности.

Для плоского механизма, состоящего только из кинематических пар 5-го класса (пары 4-го класса можно заменить на низшие), степень подвижности присоединенных групп определяется по формуле Чебышева:

W = 3n – 2P5 = 0.

(2.1)

Таким образом, сколько бы групп не присоединяли к механизму I класса, степень подвижности остается равной 1.

2.6 Группы Ассура, их классификация

Группой Ассура называется незамкнутая кинематическая цепь с нулевой степенью подвижности.

Поскольку n и P5 могут быть только целыми числами, из равенства (2.1) получаются следующие сочетания:

а) n = 2, P5 = 3;

б) n = 4, P5 = 6;

в) n = 6, P5 = 9 и т. д.

Практически в механизмах, используемых в машиностроении, встречаются первые два сочетания (рис. 17).

Класс группы Ассура определяется наивысшим числом кинематических пар, входящих в замкнутый контур. Порядок структурной группы определяется числом элементов звеньев, которыми она присоединяется к механизму; при этом нельзя присоединять группу к одному звену. Пунктирной линией показаны звенья, к которым группа присоединяется. Этими звеньями являются начальное звено, или звенья других групп, или стойка.

Группа, имеющая два звена и три кинематические пары 5-го класса, называется группой II класса 2-го порядка, или двухповодковой группой. Второе возможное сочетание числа подвижных звеньев и кинематических пар образует группу III класса 3-го порядка, или трехповодковую.

Класс механизма определяется наивысшим классом структурной группы, входящей в состав данного механизма.

Если в состав механизма наряду с низшими кинематическими парами входят также и высшие пары, то их необходимо заменить на низшие, после чего определить класс и порядок структурных групп.

Самая простая структурная группа (n = 2; P5 = 3),  состоящая из двух звеньев и трех кинематических пар, имеет 5 видов в зависимости от сочетания вращательных и поступательных пар:

группа 1-го вида – все пары вращательные; группа 2-го вида – на конце одного из звеньев поступательная пара; группа 3-го вида – в середине поступательная пара; группа 4-го вида – на конце обоих звеньев поступательные пары; группа 5-го вида – в середине и на конце одного из звеньев поступательная пара.

Структурный анализ механизма следует проводить путем расчленения его на структурные группы в порядке, обратном образованию механизма, т. е. выделять группы начинают с наиболее удаленной (последней в порядке присоединения их к механизму I класса).