Методическая разработка элективного курса (стр. 10 )

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1.Выберите 7 строк произвольного текста. Проведя подсчет букв, найдите относительную частоту появления букв: а) а б) е в) ю

2.Какова вероятность того, что при бросании игрального кубика выпадает:

а) 1 очко б) более 3 очков?

3. Ученик записал в тетради произвольное двухзначное число. Какова вероятностьтого, что сумма цифр этого числа окажется равной 6?

4. В ящике находится 10 деталей, одна из которых нестандартная. Наугад берут 2 детали. Какова вероятность того, что обе детали окажутся стандартными?

Сложение и умножение вероятностей

Рассмотрим пример. Пусть в коробке находится 19 шаров:10 белых, 4 красных и 5 зеленых. Из коробки наугад вынимают один шар. Рассмотрим такие события.

Событие А – шар оказался красным;

Событие В – шар оказался зеленым;

Событие С – шар оказался цветным(то есть красным или зеленым);

События А и В являются несовместимыми, так как наступление одного из них исключает наступление другого. Событие С означает наступление одного из событий: А или В.

Выясним, как вероятность события С связана с вероятностями событий Аи В. Найдем вероятности событий А, В и С. Для каждого из проведенных испытаний(извлечение из коробки одного шара) равновозможными являются 19 исходов. Из них события А благоприятными являются 4 исхода, для события В – 5 исходов, для события С – 9 исходов. Отсюда:

Р(А)=4/19; Р(В)= 5/19; Р(С)=9/19

Мы видим, Р(С)= Р(А) + Р(В)

Вообще можно доказать, что справедливо следующее утведждение: если событие5 С означает, что наступает одно из двух несовместимых событий А или В, вероятность события С равна сумме вероятностей событий А и В.

Задача 1

На карточках написаны натуральные числа от 1 до 10 включительно, после чего карточки перевернули и перемешали. Затем наугад открыли одну карточку. Какова вероятность того, что на ней будет написано простое число или число, большее 7?

Пусть событие А означает, что на каточке написано простое число, а событие В означает число, большее 7. Для события А благоприятными являются 4 исхода 10 равновозможных(появление одного из чисел 2,3,5,7), то есть вероятность события А равна 0,4. Для события В благоприятными являются 3 исхода из 10 равновозможных(появление чисел 8,9,10), то есть вероятность события В равна 0,3.

Нас интересует событие С, когда на карточке написано простое число или число, большее 7.Событие С наступает тогда, когда наступает одно из событий А или В. Очевидно, что эти события являются несовместимыми. Значит, вероятность события С рпвна сумме вероятностей событий А и В, то есть:

Р(С)= Р(А) + Р(В)=0,4+0,3=0,7.

Проверим это. Для этого

заполните таблицу в соответствии с образцом.

	Формула	Действия
В2	=ЦЕЛОЕ(СЛЧИС()*10+1)	Копировать вниз 97 строки
С2	=ЕСЛИ(B2=C$1;1;0)	Копировать вниз 97 строки
D2	=ЕСЛИ(B2=D$1;1;0)	Копировать вниз 97 строки
E2	=ЕСЛИ(B2=Е$1;1;0	Копировать вниз 97 строки
F2	=ЕСЛИ(B2= F$1;1;0)	Копировать вниз 97 строки
G2	=ЕСЛИ(B2>7;1;0)	Копировать вниз 97 строки
Н2	=СУММ(C2:G2)	Копировать вниз 97 строки
Н98	=СЧЁТЕСЛИ(H2:H97;">0")
Н99	Н98/97

Полученные результаты ниже:

	В	С	D	E	F	G	Н
1		2	3	5	7	>7
2	5	0	0	1	0	0	1
3	3	0	1	0	0	0	1
8	6	0	0	0	0	0	0
	…
96	6	0	0	0	0	0	0
97	8	0	0	0	0	1	1
98							63
99							0,649485

При решении некоторых задач бывает удобно воспользоваться свойством вероятностей противоположных событий.

Разъясним смысл понятия «противоположные события» на примере бросания игрального кубика. Пусть событие А означает, что выпало 6 очков, а событие В - что не выпало 6 очков. Всякое наступление события А означает ненаступление события В, а ненаступление события А - наступление события В. В таких случаях говорят, что А и В – противоположные события.

Найдем вероятности событий А и В.

Для события А благоприятным является один исход из шести равновозможных исходов, а для события В – пять исходов из шести. Значит:

Р(А)=1/6; Р(В)=5/6;

Нетрудно заметить, что Р(А) + Р(В)=1

Итак, сумма вероятностей противоположных событий равна 1.

Действительно, пусть проводится некоторое испытание и рассматриваются два события: событие А и противоположное ему событие, которое принято обозначать Ā или А.

События А и Ā – несовместимые события. Событие, означающее наступление хотя бы одного из них, то есть А или Ā, является достоверным событием. Отсюда следует, что сумма вероятностей двух противоположных событий равна 1.

Задача 2

Бросают два игральных кубика. Какова вероятность того, что сумма очков, выпавших на двух кубиках, меньше 11.

Общее число равновозможных исходов этого испытания равно 36.

Пусть событие А означает, что сумма очков, выпавших на двух кубиках, меньше 11. Так как благоприятными для события А является большее число исходов, то удобно сначала найти вероятность противоположного события Ā, которое означает, что сумма выпавших очков больше или равна 11.

Благоприятными для события Ā. Являются три исхода:

(5,6),(6,5),(6,6). Поэтому Р(Ā)=3/36=1/12.

Так как события А и Ā являются противоположными, то Р(А) + Р(Ā )=1

Отсюда то Р(А)= 1- Р(Ā )=1-1/12=11/12

Проверим это на компьютере. Для этого

заполните таблицу в соответствии с образцом.

	В	С	D
1	=ЦЕЛОЕ(СЛЧИС()*6+1)	=ЦЕЛОЕ(СЛЧИС()*6+1)	=СУММ(B1:C1)
2	КОПИРОВАТЬ ВНИЗ	КОПИРОВАТЬ ВНИЗ	КОПИРОВАТЬ ВНИЗ
3	КОПИРОВАТЬ ВНИЗ	КОПИРОВАТЬ ВНИЗ	КОПИРОВАТЬ ВНИЗ
4	КОПИРОВАТЬ ВНИЗ	КОПИРОВАТЬ ВНИЗ	КОПИРОВАТЬ ВНИЗ
5	КОПИРОВАТЬ ВНИЗ	КОПИРОВАТЬ ВНИЗ	КОПИРОВАТЬ ВНИЗ
6	КОПИРОВАТЬ ВНИЗ	КОПИРОВАТЬ ВНИЗ	КОПИРОВАТЬ ВНИЗ
7	КОПИРОВАТЬ ВНИЗ	КОПИРОВАТЬ ВНИЗ	КОПИРОВАТЬ ВНИЗ
…	КОПИРОВАТЬ ВНИЗ	КОПИРОВАТЬ ВНИЗ	КОПИРОВАТЬ ВНИЗ
98			=СЧЁТЕСЛИ(D1:D97;"<11")
99			=D98/97

Полученные результаты ниже: