Методическая разработка элективного курса (стр. 11 )

	В	С	D
1	3	1	4
2	5	5	10
3	6	3	9
7	1	4	5
…
98			90
99			0,927835

Рассмотрим теперь, как можно вычислить вероятность события, состоящего в совместном появлении двух независимых событий.

Два события называются независимыми, если наступление одного из них не зависит от наступления или ненаступления другого.

Приведем пример.

Пусть в одном из двух ящиков находится 15 деталей, из которых 2 нестандартные, а в другом - 20 деталей, из которых 3 нестандартные. Из каждого ящика наугад вынимают по одной детали. Какова вероятность того, что обе детали окажутся нестандартными?

Рассмотрим такие события:

А – из первого ящика вынимают нестандартную деталь;

В – из ящика вынимают нестандартную деталь;

Для события А благоприятными являются 2 исхода из 15, а для события В благоприятными являются 3 исхода из 20. Значит, Р(А)=2/158, Р(В)= 3/20.

Очевидно, что события А и В являются независимыми. Рассмотрим событие, состоящее в совместном появлении событий А и В. Обозначим его буквой С.

Общее число равновозможных исходов испытания, в которых событие С наступает или не наступает, равно 15×20.

Действительно, каждому из 15 извлечений из первого ящика соответствует 20 возможных извлечения деталей из второго ящика.

Благоприятными для события С являются те исходы, при которых обе вынутые детали являются нестандартными. Каждому из двух возможных извлечений нестандартной детали из первого ящика, то есть число исходов, благоприятных для события С, равно 2˙3. Следовательно, Р(С)= =˙, то есть Р(С)=Р(А) ˙Р(В).

Вообще, можно доказать, что справедливо следующее утверждение: если событие С означает совместное наступление двух независимых событий А и В, то вероятность события С равна произведению вероятностей событий А и В.

Задача 3

В непрозрачном пакете лежат девять жетонов с номерами 1,2,3,…9. Из пакета наугад вынимают один жетон, записывают его номер, а жетон возвращают в пакет. Затем опять вынимают жетон и записывают его номер. Какова вероятность того, что оба раза будут вынуты жетоны, номера которых являются простыми числами?

Пусть событие А состоит в том, что первый раз вынут жетон, номер которого является простым числом, а событие В – в том, что во второй раз вынут жетон, номер которого является простым числом, а событие В – в том, что во второй раз вынут жетон, номер которого является простым числом. Тогда Р(А)=; Р(В)=, так как из чисел 1,2,3…9 четыре числа являются простыми числами.

Событие В не зависит от события А, так как на повторное извлечение жетонов не влияет то, какой жетон был вынут в первый раз(извлеченный в первый раз жетон был возвращен в пакет)

Значит, Р(С)=Р(А) ˙Р(В), то то есть Р(С)= ˙=0,2.

Проверим это на компьютере. Для этого

заполните таблицу в соответствии с образцом.

	B	C	D	E	F	G	H	I
1	ФОРМ1	ФОРМ2	ФОРМ3	ФОРМ4	ФОРМ5	ФОРМ6	ФОРМ11	ФОРМ13
2	копировать вниз	копировать вниз	ФОРМ7	ФОРМ8	ФОРМ9	ФОРМ10	ФОРМ12	копировать вниз
3			копировать вниз	копировать вниз	копировать вниз	копировать вниз	копировать вниз
4
…
97
98								ФОРМ14
99								ФОРМ15

	Формула
В1	=ЦЕЛОЕ(СЛЧИС()*9+1)	1
С1	=ЦЕЛОЕ(СЛЧИС()*9+1)	2
D2	=ЕСЛИ($B2=D$1;1;0)	3
E2	=ЕСЛИ($B2=Е$1;1;0)	4
F2	=ЕСЛИ($B2= F$1;1;0)	5
G2	=ЕСЛИ($B2=G$1;1;0)	6
D3	=ЕСЛИ($C2=D$1;1;0)	7
E3	=ЕСЛИ($C2=Е$1;1;0)	8
F3	=ЕСЛИ($C2= F$1;1;0)	9
G3	=ЕСЛИ($C2=G$1;1;0)	10
Н2	=СУММ(D2:G2)	11
Н3	=СУММ(D3:G3)	12
I2	=H2+H3	13
Н98	=СЧЁТЕСЛИ(I2:I97;"=2")	14
Н99	I98/97	15

Полученные результаты ниже:

	B	C	D	E	F	G	H	I
1	2	3	0	0	0	0	0	1
2	3	6	0	1	0	0	1	1
3	4	6	0	0	0	0	0	0
4	5	9	0	0	0	0	0	0
5	3	8	0	0	0	0	0	0
…
96	1	6	0	0	0	0	0	0
97	9	7	0	0	0	0	0	0
98								17
99								0,173469

Заметим, что если бы после первого извлечения жетон не возвращался обратно, то события А и В были бы зависимыми, так как вероятность события В зависела бы от того, вынут ли в первом случае жетон, номер которого является простым числом, или нет.