Методическая разработка элективного курса (стр. 13 )

1. Бросание монеты

У вас есть 10 монет. Вы хотите увеличить свой капитал в 2 раза, испытав заодно и свою судьбу. Суть игры проста. Играя с маклером, вы делаете ставку и бросаете монету. Если выпадает орел, маклер выдает вам сумму вышей ставки, в противном случае вы ему отдаете эту сумму. Ставка может быть любой: от 1 до 10 монет. Удвоение начального капитала или банкротство приводит к незамедлительному прекращению этого сеанса игры и расчету. Постройте компьютерную модель ситуации.

2. Игра в кости

Два игрока бросают по две игровые кости. Сумма очков, выпавших на двух игровых костях, накапливается. Игра прекращается, когда один из игроков достигает суммы 101. Постройте компьютерную модель ситуации.

3. Лотерея «Спортлото»

Смоделируйте серию игр в 5 из 36. Изберите следующую тактику игры:

- зачеркивать в билетах одну и ту же комбинацию из «счастливых билетов»

- бросать кубик и из количества точек на верхней грани составлять набор чисел.

4. Очередь

За два часа обеденного перерыва 40 человек встали в очередь за билетами. Кассирша обслуживает одного клиента в среднем одну минуту. Каждый клиент «мучает»

вопросами кассиршу до пяти минут(случайным образом). Построить модель ситуации и исследовать ее. Ответьте на вопросы:

- Хватит ли на обслуживание всех клиентов 2 часов?

- Если не хватит, то сколько будет обслужено?

-Как влияет время расспросов на время обслуживания очереди?

5. Нерадивый ученик

Мальчик учит стихотворение из 40 строк. Чтобы запомнить первую строку, ему понадобится 1 минута. На каждую следующую строку он тратит до 10%(случайным образом) времени больше. Стихотворение держится в памяти нерадивого ученика не более трех часов, а до школы бежать 15 минут. Как организовать заучивание стихотворения?

6. Буратино и папа Карло

У папы Карло было накоплено 20 золотых к тому времени, когда Буратино поступил н работу в кукольный театр Карабаса Барабаса. Ежедневно Буратино приносил зарплату 5 золотых, а папа Карло тратил от 30 до 50%(случайным образом) имеющегося на начало недели богатства. Постройте модель изменения капитала в течении нескольких недель. Ответьте на вопросы.

- Как изменится капитал, если увеличить(уменьшить) начальный капитал?

- Как изменится капитал, если увеличить зарплату Буратино?

-Как изменится капитал, если увеличить(уменьшить) процент еженедельной траты капитала?

7. Аквариум

Мальчик решил почистить аквариум. Начал с переселения рыб в банку. Всего рыбок 40 штук. Первую рыбку он поймал за 5 секунд. И еще 2 секунды он потратил на перекладывание ее в банку. Но чем меньше становилось в воде рыбок, тем труднее было их поймать. На каждую следующую рыбку он затратил времени больше до 5%(случайным образом). Сколько минут он затратил на переселение рыбок?

Моделирование биологических процессов

Осведомленность о фазе ритма, дает возможность человеку
корректировать свое поведение, причем успех таких
действий просто феноменален.

( Уэст Питер)

Описание задачи

Существует гипотеза, что жизнь человека подчиняется трем циклическим процессам, называемым биоритмами. Эти циклы описывают три стороны самочувствия человека: физическую, эмоциональную и интеллектуальную. Биоритмы характеризуют подъемы и спады нашего состояния. Считается, что «взлетам» графика, представляющего собой синусоидальную зависимость, соответствуют более благоприятные дни. Дни, в которые график переходит через ось абсцисс, считаются неблагоприятными.

Не все считают эту теорию строго научной, но многие верят в нее. Более того, в некоторых странах мира в критические дни, когда ось абсцисс пересекают одновременно две или тир кривые, людям профессий с повышенным уровнем риска (летчикам, каскадерам и т. п.) предоставляются выходные дни.

Создание теории существования биоритмов приходится на начало XX века, когда два абсолютно независимых исследователя пришли к одним и тем же выводам в отношении физического и психологического циклов. Это были Герман Свобода (Вена) и Вильгельм Флисс (Берлин). Сообразить на троих предложил (Инсбрук). В дальнейшем он же обнаружил и четвёртый цикл – интуитивный (37 дней), однако в связи со сложностью его применения великой популярности он так и не получил.

За точку отсчета всех трех биоритмов берется день рождения человека. Момент рождения для человека очень труден, ведь все три биоритма в этот день пересекают ось абсцисс. С точки зрения биологии это достаточно правдоподобно, ведь ребенок, появляясь на свет, меняет водную среду обитания на воздушную. Происходит глобальная перестройка всего организма.

Физический биоритм характеризует внутренний настрой человека, т. е. его физическое самочувствие. Периодичность его составляет 23 дня.
Эмоциональный биоритм характеризует внутренний настрой человека, его способность эмоционального восприятия окружающего. Продолжительность периода эмоционального цикла равна 28 дням.

Третий биоритм характеризует мыслительные способности, интеллектуальное состояние человека. Цикличность его – 33 дня.
Предлагается осуществить моделирование биоритмов для конкретного человека и для двух друзей, от 1 текущей даты (дня отсчета) на месяц вперед с целью дальнейшего анализа модели

За точку отсчета всех трех биоритмов берется день рождения человека. Момент рождения человека очень труден, ведь все три биоритма в этот день пересекают ось абцисс.

Задача 1

Осуществите моделирование биоритмов для конкретного человека от указанной даты на месяц вперед с целью анализа модели.

Постройте диаграмму биоритмов и ответьте на вопросы:

- Какие дни наиболее подходят для похода в театр, цирк(хорошее эмоциональное состояние)?

-Какие дни неблагоприятны для сдачи зачета по физкультуре(плохое физическое состояние)?

-В какие дни ответы на уроках будут наиболее удачными(хорошее интеллектуальное состояние)?

Для этого:

- Запустите табличный процессор Excel/

- Заполните таблицу в соответствии с образцом:

	A	B	C	D
1
2
3	Исходные данные
4	Дата рождения
5	Дата отсчета
6	Длительность прогноза
7	Результаты
8	Порядковый номер дня	Физическое	Эмоциональное	Интеллектуальное
9	=$B$5	=SIN(2*ПИ()*А9-=$B$4)/23	=SIN(2*ПИ()*А9-=$B$4)/28	=SIN(2*ПИ()*А9-=$B$4)/33
10	=A9+1	Копируем формулу	Копируем формулу	Копируем формулу
	Копируем формулу

- Постройте диаграмму.

- По диаграмме определите дни, в которых значения того или иного биоритма равны нулю.

- Определите неблагоприятные дни для конкретного человека.

- Постройте диаграмму биоритмов двух человек и определите их совместимость.

Задача 2

Изменение численности биологического вида

Одноклеточная амеба каждые три часа делится на две клетки. Постройте модель изменения количества клеток через 3,6,9,12… часов.

Математическая модель изменения численности амеб:

Чi+1= Чi*КР

	A	B	C	D
1
2
3	Исходные данные
4	Период	3
5	Коэффициент Рождаемости КР	2
6	Начальная численность Ч0	1
7	Результаты
8	Время отсчета	Количество клеток
9	0	=$B$5
10	=А9+$B$4	=В9*$B$5

Рассмотрите некоторую систему, в которой численность особей зависит только от естественной рождаемости и смертности.

Тогда математическая модель процесса изменения численности будет представлена следующими уравнениями:

- рост численности с учетом рождаемости Чi+1= Чi*КР

- рост численности с учетом смертности Чi+1= Чi - Чi *КС;

- общее изменение численности Чi+1= Чi *(1+КР-КС);

Смоделируйте данную ситуацию.

Задача 2

Рассчитайте, какова будет численность оленей через 1, 3, 5 и 10 лет при полном отсутствии хищников. Отобразите изменения численности оленей в течение данного периода времени графически.

В первую строку таблицы будем вносить константы, входящие в условие задания: в ячейку А1 внесем начальную численность оленей, в ячейку В1 — ежегодное увеличение популяции оленей, в ячейку С1 — начальную численность волков, в ячейку D1 — количество оленей, поедаемых одним волком в год, в ячейку El — годовой прирост численности волков, ячейку F1 оставим для подбора начальной численности пум в задаче 5, в ячейку G1 внесем количество оленей, поедаемых одной пумой в год, в ячейку HI — годовой прирост популяции пумы

Решение будем записывать в ячейки, расположен­ные ниже. В экологии "начальным" годом принято считать "нулевой" год, поэтому годы интересующего нас периода мы пронумеруем от 0 до 10. Тогда ответ на вопрос о численности оленей, скажем, через 5 лет окажется в ячейке, расположенной напротив года под номером 5

 Формулы и комментарии к решению

1. Численность оленей будем вычислять в ячейках В5:В15. Присваиваем ячейке В5 значение $А$1, где $А$1 — абсолютный адрес ячейки А1, в которую мы занесли начальную численность популяции оленей. Поскольку по условию начальная численность оленей одинакова во всех пяти задачах, можно скопировать содержимое ячейки В5 в ячейки С5 : F5.

2. Записываем в ячейку В6 формулу для вычисления численности оленей в каждом следующем году:

=В5+В5*$В$1, где $В$1 — абсолютный адрес ячейки В1, в которую мы занесли число, характеризующее рост популяции оленей.

3. Выделяем ячейку В 6 и копируем формулу в ячейки В 7 : В15 включительно

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1.  Кроличья семья

Самка кролика каждые два месяца приносит в среднем 10 крольчат. Провести расчет пополнения кроличьей семьи молодняком в течение года.

2.  Выращивание зерна

Из 1 зерна пшеницы вырастает колос, содержащий в среднем 25 семян. Вес одного зернышка 0,1 г.

У Робинзона Крузо, попавшего на необитаемый остров, чудом сохранилось 10 зерен. Он бережно посадил их, а когда собрал урожай, то вновь посадил их, а когда собрал урожай, то вновь посадил все до единого зернышка.

В условиях жаркого тропического климата на острове можно снимать 4 урожая в год. Для того, чтобы обеспечить себя хлебом до следующего урожая, надо иметь 45 кг зерна(по 0,5 кг на каждый день)

После какого урожая Робинзон первый раз смог побаловать себя вкусными хлебными лепешками? Сколько килограмм семян надо сажать, чтобы получить урожай, достаточный и для прокорма до следующего урожая, и для посадки?

Решение прикладных(экономических ) задач в Excel

В данном разделе вы убедитесь, что Excel позволяет не только производить расчеты, но и решать сложные задачи в различных сферах деятельности, такие как решение уравнений, задачи оптимизации, прогнозирования. Решение этих задач может быть существенно облегчено с помощью инструмента Поиск решения.

Формулировка таких задач может представлять собой систему уравнений с несколькими неизвестными и набор ограничений на решения. Поэтому решение задачи необходимо начинать с построения соответствующей модели.

Если настройка Поиск решения не была установлена при первоначальной установке Excel, то следует запустить процесс установки повторно и выбрать только эту настройку.

Для того чтобы настройка Поиск решения загружалась сразу при запуске Excel:

- выберите команду Сервис, Настройки;

- в диалоговом окне Настройки в списке настроек установите флажок напротив настройки Поиск решения. Если в списке нет элемента Поиск решения, то нажмите кнопку Обзор, что бы самостоятельно найти файл Solver. xla

Виды математических моделей

При решении оптимизационных задач с помощью настройки Поиск решения необходимо различать линейные и нелинейные подели. Под линейными понимаются модели, в которых связь ме - аду входными значениями переменных и результирующими зна­ниями описывается линейными функциями. Например:

Y = A-Xi+B-X2+C-Xj + ...

В этом выражении А, В, С - константы, Х|, Хг, Хз - перемен­ив, Y - результат.

Если выражение для целевой величины и выражение для ограничений являются линейными, то можно применять быстрые и надежные методы поиска решения. Для использования именно ли­синых методов следует установить параметр Линейная модель в окне Параметры поиска решения. Если этот параметр не устано - ить, то даже для линейной задачи будут использоваться общие, более медленные методы.

Ограничения в задачах.

Под ограничениями понимаются соотношения типа 11>=В1, А2 = В2, АЗ > 0.

По крайней мере одна из ячеек в соотношении, определяю - <ем ограничение, должна зависеть от переменных задачи, в про­гоном случае это ограничение не может влиять на процесс решения. Часто ограничения записываются сразу для групп ячеек, например: А1: А10 <= В1: В10 или А1: Е1 >= 0 .

Правильная формулировка ограничений является наиболее ответственной частью при формировании модели для поиска решения.

В одних случаях ограничения просты и очевидны, например граничения на количество сырья. Другие ограничения менее оче - вдны и могут быть указаны неверно или, хуже того, оказаться допущенными.

Решение уравнений.

Часто при решении практических задач возникают ситуации, когда необходимо достичь какой-то конкретной цели. Например, необходимо, чтобы себестоимость продукции составляла 20 у. е.

Специфика таких задач состоит в том, что в вашем распоря­жении есть математическая модель исследуемого процесса, напри­мер закон ценообразования, но вы не знаете, при каком значении входящего в нее параметра можно достичь поставленной цели.

Решение таких задач можно искать методом перебора, одна­ко на это уходит много времени (в лучшем случае).

Можно предложить другие способы решения. В Excel они реализованы как поиск значения параметра формулы, удовлетво­ряющего ее конкретному значению.

Эту процедуру используют для поиска такого значения ячей­ки, при котором значение другой ячейки, вычисляемое по формуле, заранее задано. В формуле должна быть ссылка на ячейку, значе­ние которой ищут. Ограничения на искомое значение ячейки не налагают.