Методическая разработка элективного курса (стр. 6 )

Ячейка Формула

I3 =МЕДИАНА(G6:H6), скопируйте ее для всего столбца

С6 =CP3HAЧ(A2:F4)

Выделите диапазон J3: J 7

J3 =ЧACTOTA(A3:F5; I3: I5)

К3 = I 3* J3

J8 =СУММ(J3: J7)

К8 =CУMM(К3: К8)

С9 = К8/ J8

ДИСПЕРСИЯ

Часто в жизни приходится обрабатывать данные наблюдений. При­чем наблюдать можно что угодно. Например, каждый день вы ходите в школу и обратно. Сколько шагов вы делаете, преодолевая это расстояние? Если в течение нескольких дней вы из любопытства проведете подсчеты, то наверняка у вас полу­чатся близкие друг к другу, но всё же разные числа. Никому, конечно, и в голову не придет, что меняется расстояние между школой и домом. Ясно, что на количество шагов влияют различные внешние факторы: скажем, в школу вы шли быстро, что­бы не опоздать, и ваш шаг был шире, а по дороге домой вы шли не спеша, с одно­классницей, и ваш шаг был короче. Можно сказать, что количество шагов от дома до школы — величина случайная.

Проведя 20 наблюдений, вы получите 20 значений случайной величины.

Пусть при таком измерении некий школьник Иванов получил следующую после­довательность чисел:

372, 376, 374, 375, 373, 3, 374, 377, 375, 376, 373, 375, 374, 373, 3, 373, 374, 376.

Их удобнее расположить в виде линейной таблицы. Какое же количество шагов естественно взять в качестве расстояния от школы до дома? Каждому ясно — сред­нее арифметическое. В данном случае это 374.

Выясним, какие значения получил Иванов. Пусть это набор чисел от А до В. У другого ученика, естественно, будет другой набор, но тоже в каком-то промежут­ке. Возьмем данные, полученные четырьмя учениками и занесем их в таблицу.

Это будет двумерный массив размером 4 х 20 (у каждого из 4 учеников 20 наблюде­ний). Распечатаем полученную таблицу и найдем среднее арифметическое для каж­дой строки.

Конечно, среднее арифметическое уберегает нас от ошибочных выводов. Но как же достаточно точно определить расстояние, проведя то или иное количество наблюдений?

Математики для этой цели ввели специальную величину и назвали ее диспер­сией (от лат. dispersio — рассеяние, т. е. разброс данных). Обозначим значения случайной величины через А,, А2, AN, а среднее арифметическое этих значе­ний — через М.

Дисперсия — это среднее арифметическое квадратов разностей между значе­ниями случайной величины и ее средним значением. В наших обозначениях:

D= ((A1-M)2+(A2-M)2+…(AN-M)2)/N

Из этой формулы видно, что чем меньше дисперсия, тем меньше отличаются результаты наблюдении от своего среднего значения и тем ближе среднее значение к истинному. В частности, если дисперсия равна нулю, то все числа А. совпадают между собой (и со своим средним значением).

Вновь вернемся к наблюдениям Иванова.

Конечно, среднее значение (374) числа шагов от дома до школы характеризует не только расстояние, но и длину человеческого шага: у разных людей длина шага разная. Куда больше можно узнать о человеке, его характере, темпераменте и неко­торых наклонностях, имея всю последовательность наблюдений.

Например, рассматривая приведенную выше последовательность, можно пред­положить, что значение 364 получилось в тот день, когда Иванов опаздывал в шко­лу. Вообще же характер у него довольно ровный, темперамент скорее флегматич­ный — лишь один раз (получив, наверное, двойку) он шел заметно медленнее, чем обычно, сделав 380 шагов. Подумайте, что еще можно сказать об Иванове.

Допустим, что Иванов сагитировал нескольких своих товарищей провести тот же эксперимент. Через 10 дней каждый из них, в том числе и Иванов, представили по 20 результатов наблюдений, не указав своих фамилий.

Можно ли узнать, какие из результатов принадлежат Иванову, а какие нет? Да, можно.

Математики установили, что для этого, как правило, достаточно сравнить дис­персии и средние значения.

Дисперсия и среднее значение так же индивидуальны, как отпечатки пальцев.

Если наблюдения делал один и тот же человек, то дисперсии и средние значения во всех этих наблюдениях будут близки, если разные люди, то далеки. Осталось выяснить: какие значения считать близкими, а какие далекими.

На этот вопрос ответ дает специальный раздел математики — статистика. Оказывает­ся, достоверность ответа зависит от числа наблюдений. Если число наблюдений от 25 до 50, то дисперсии можно считать далекими, когда отношение большей дис­персии к меньшей больше 2. Чтобы говорить о близости средних значений двух последовательностей результатов, надо найти модуль разности средних и разделить его на квадратный корень из суммы дисперсий. Если полученное число больше 0,6, то средние значения считаются далекими. В том случае, когда близки и дисперсии, и средние значения, можно сделать вывод, что наблюдения почти наверняка про­водились одним и тем же человеком.

У любознательных учеников возникает вопрос: откуда эти числа (2 и 0,6) взя­лись? Отвечаем: из специальных таблиц, которые были составлены математиками. Их можно найти в любом справочнике по математической статистике.

Метод сравнения средних значений и дисперсий используется в самых разных отраслях человеческой деятельности. В медицине — для установления диагноза, в литературоведении — для определения автора произведения (когда авторство яв­ляется спорным), в криминалистике — для розыска преступников.

Практическая работа в электронных таблицах Excel

Задача 1

Составьте математическую модель, алгоритм и программу решения следующей задачи.

Известны данные о продолжительности горения (в часах) электрических ламп, изготовленных на двух заводах.

Лампы 1-го завода: 1600, 1510, 1610, 1650, 1530, 1688, 1570, 1600, 1700, 1720, 1680, 1800, 1780, 1690, 1710, Г530, 1720, 1750, 1810,

Лампы 2-го завода: 1580, 1460, 1640, 1550, 1600, 1620, 1780, 1640, 1750, 1820, 1860, 1740, 1750, 1730, 1590, 1610, 1700, J580, 1670.

Можно ли утверждать, что на заводах поддерживаются оди­наковые технологические условия производства?

Для решения задачи введите формулы в расчетные ячейки:

Ячейка Формула

A25 =СРЗНАЧ(A6:A24)

B26 =СРЗНАЧ(B6:B24)

A26 =ДИСПР(A6:A24)

B26 =ДИСПР(B6:B24)

A27 =ЕСЛИ(A26/B26>1;A26/B26;B26/A26)

A29 =ABS(B25 - A25)/КОРЕНЬ(B26+A26

	А	В	С
1	ЗАДАЧА. Практическая работа.
2	Известны данные о продолжительности горения электрических ламп, изготовленных на двух заводах. Можно ли утверждать, что на заводах поддерживаются одинаковые технологические условия производства?
3
4
5	1 завод	2 завод
6	1600	1580	Продолжительность горения электрических ламп
7	1510	1460
8	1610	1640
9	1650	1550
10	1530	1600
11	1688	1620
12	1570	1780
13	1600	1640
14	1700	1750
15	1720	1820
16	1680	1860
17	1800	1740
18	1780	1750
19	1690	1730
20	1710	1590
21	1630	1610
22	1720	1700
23	1750	1580
	1810	1670
	1670,947368	1666,842105	Среднее значение
	7047,734072	9821,606648	Дисперсия
	1,		Отношение дисперсий
	дисперсии близки
	0,		Отношение средних
	средние близки

Вывод: Можно утверждать, что на заводах поддерживаются одинаковые технологические условия.

Задача2.

Органами милиции задержан грузовик с помидорами, похищенными на овощ­ной базе. В городе всего четыре базы, каждая из них получает помидоры из своего сельскохозяйственного района. Определите, с какой базы были вывезены помидо­ры. Расследование осложняется тем, что помидоры на всех базах одного сорта.

Решение.

Воспользуемся методом сравнения средних значений и дисперсий.

В каждом сельскохозяйственном районе свои условия произрастания помидо­ров, поэтому помидоры разных районов отличаются, например, удельным весом (диаметром, весом и др.). Выберем по 20—25 помидоров (реально, конечно, больше) на каждой овощной базе и из грузовика. У нас получится 5 последовательностей — по одной для каждой базы (всего 4) и еще одна для грузовика, с которой мы и будем сравнивать первые четыре. Это наши исходные данные. Результатом является но­мер овощной базы, где совершено хищение.

Чтобы добиться результата, нужно, как уже сказано выше, вычислить средние значения и дисперсии всех пяти последовательностей и провести сравнение.

Пусть вес одного помидора на соответствующих базах и в грузовике изменяется в следующих пределах (в г): 1-я база: (70, 100); 2-я база: (80, 90); 3-я база: (75, 95); 4-я база: (90, 120); грузовик: (80, 90).

Технология работы.

Запустите табличный процессор Excel.

Заполните таблицу в соответствии с образцом:

	A	B	C	D	E	F
1		1 база	2 база	3 база	4 база	Грузовик
2	Вес помидоров	Формула 1	Формула 2	Формула 3	Формула 4	Формула 5
3		Копирование вниз	Копирование вниз	Копирование вниз	Копирование вниз	Копирование вниз
…
31
32	Средние значения	Формула 6	Копирование вправо	Копирование вправо	Копирование вправо	Копирование вправо
33	Дисперсия	Формула 7	Копирование вправо	Копирование вправо	Копирование вправо	Копирование вправо
34	Промежуточ-ные вычисления	Формула 8	Копирование вправо	Копирование вправо	Копирование вправо	Копирование вправо
35		Формула 9	Копирование вправо	Копирование вправо	Копирование вправо	Копирование вправо
36	Близость дисперсий	Формула 10	Копирование вправо	Копирование вправо	Копирование вправо	Копирование вправо
37	Близость средних значений	Формула 11	Копирование вправо	Копирование вправо	Копирование вправо	Копирование вправо
38	Вывод

В2 =СЛЧИС()*(100—70)+70 (1)