Философские этюды (стр. 10 )

4. Представления комплексных чисел и кватернионов матрицами

4.1. Введём в оборот все единичные диагональные квадратные матрицы второго порядка:

Условимся, для лаконичности записи и для лучшей обозримости, и там, где это не приводит к путанице вместо нулей оставлять пустые места:

Составим таблицу умножения для данных единичных матриц:

	E	I	S	R
E	E	I	S	R
I	I	– E	R	– S
S	S	– R	E	– I
R	R	S	I	E

Таблица 2. Таблица произведений элементарных матричных единиц

Остановимся вначале на первых двух матрицах. Имея , строим хорошо известные матричные представления комплексных чисел:

;

Получилась матрица той же внутренней организации, что имеются у матриц А и В! И здесь надо заострить внимание читателя на ведущей тонкости перехода от векторного представления комплексных чисел к матричному. Там мы брали готовый вектор, т. е. упорядоченную пару чисел, а затем постулировали системное умножение. Здесь же мы в некотором смысле поступаем наоборот: постулируем особую внутреннюю организацию матриц (системное отношение между её элементами), а умножение берём готовое «от матриц».

Если то ей сопряжёна матрица Ясно, что сопряжённая матрица может быть получена транспонированием исходной: .

4.2. Переходим к кватернионам. Их лучше всего выразить, если воспользоваться аппаратом тензорного произведения матриц.

Напомним, что в общем виде

Теперь рассмотрим все тензорные произведения единичных матриц E, I, S, R. Но прежде условимся вместо традиционной записи применять более компактную и удобную для изложения нашей темы запись . Итак . Соответственно:

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Естественно, что нас интересуют сейчас, прежде всего, квадраты данных тензорных произведений. Конечно, их можно находить, умножая итоговый матричный результат сам на себя. Однако, имея у себя в перспективе восьмимерные матрицы, работать с которыми не столь доступно, как с четырёхмерными матрицами, мы сразу пойдём более коротким путём. Напомним основные свойства тензорного произведения квадратных матриц:

;

Здесь в выражении применена «разделительная» точка.

Отсюда сразу же получаем искомые квадраты тензорных произведений:

(*), (*), (*), (*), (*), (*), (*), .

Специально обозначим те произведения, которые проявили себя как нужные нам единицы: ; ; ; ; ; ; . Теперь проверим их «на совместимость»: , но . Аналогично проверяется, что: , но ; , но . Таким образом ведут себя по отношению друг к другу совершенно аналогично классическим единицам e, i, j, k. Следовательно, на них может быть построено матричное представление кватернионов:

Это и есть известное матричное представление кватерниона, хотя и полученное не совсем традиционным путём. Обратим внимание на развёрнутую матрицу данного представления. В ней верхняя строка написана в алфавитном порядке. Такое представление мы будем считать каноническим. Так вот, чтобы его получить, необходимо было среди системных единиц RI, IE, SI перед тем, как назвать их по имени, выделить «приму-единицу». Так что обозначение не случайно, но преднамеренно. А из этого факта вытекает любопытное следствие: системные единицы не только различают друг друга, но и выделяют среди себя ещё и приму-единицу (можно также сказать, «лидер единицу»), от которой зависит алфавитный порядок в верхней строке развёрнутой матрицы представления. Выделение примы-единицы позволяет воспроизводить порядок действительных коэффициентов, имеющийся в записи кватерниона в форме многочлена (линейная форма) или в форме системного вектора.

Теперь и читатель, рассматривая матричные представления этих единиц, никак не усомнится в том, что они действительно разные и на каждой из них можно построить матричные представления комплексных чисел, отличающиеся друг от друга своей внутренней организацией:

Найдём произведение двух произвольных матричных представлений кватернионов:

В итоге получился результат той же внутренней организации, что и у сомножителей, т. е. матричное представление кватерниона.

Попутно: .

Единичные матрицы строят между собой отношения аналогично привычным , , : и т. д. Поэтому естественной будет наша попытка и на них построить представление кватерниона:

Здесь мы воспользовались замечательным свойством единичной матрицы S выступать в качестве своеобразного «зеркала» для других матриц. Возьмём произвольную матрицу . Тогда .

Здесь стрелками отмечены оси симметрии, условно, «вращения».

Соответственно

Полезные соотношения: Учитывая все эти свойства единичноё матрицы S, назовём её «элементарным оператором зеркальной симметрии» или, если говорить кратко, двумерным «зеркалом». А для матрицы R замечательно вот что:

То есть, R выступает в качестве «элементарного оператора знаковой симметрии», а если поставить смысловой акцент чуть иначе, то «двумерного знакового инвертора» или просто двумерного «инвертора». Естественно теперь «за компанию» назвать Е «оператором тождественности». В таком случае есть не что иное, как композиция инвертора и зеркала. Причём далеко не всё равно, в каком порядке применять инвертор и зеркало. Вот здесь-то и становится понятным, где «зарыта» не коммутативность!

Но вернёмся к новому представлению кватерниона. Автору не удалось установить, известно ли оно уже математикам. Вполне возможно, здесь о нём говорится впервые. И новое представление ничем не хуже предыдущего. Действительно:

Вновь, у нас получился результат той же внутренней организации, что и у сомножителей, т. е. матричное представление кватерниона.

Попутно:

На инородных единицах , , может быть построены три разновидности комплексных чисел:

Заключение II. Комплексные числа имеют единственное двумерное представление и шесть четырёхмерных представлений. Кватернионы имеют два четырёхмерных представления, отличающиеся друг от друга своей внутренней организацией. Шесть четырёхмерных представлений комплексных чисел являются подалгебрами двух алгебр кватернионов.

4.3. Подойдём к теме с общих позиций. Пусть имеется в целом случайная последовательность тензорных произведений, состоящих из n элементарных единиц, но такая, что число I в ней нечётно: . Вполне очевидно, что обычный матричный квадрат данной последовательности равен отрицательной n-мерной единице (). Следовательно, есть n-мерная системная единица. И на ней можно построить n-мерное представление комплексного числа: . Если и две другие системные единицы, притом связанные отношением (не коммутативность возникает автоматически), то на этих единицах можно построить n-мерный кватернион: . Как видим и представлений комплексных чисел и представлений кватернионов, можно построить бесконечное множество. При этом все они будут индивидуальны, т. е. отличаться друг от друга своей внутренней организацией. И в связи с чем, необходимо будет сделать следующее принципиальное соображение относительно «многомерности». Обычно многомерность представляется как бы вширь. Однако многомерность системных единиц направлена не вширь, но в глубь. Этот момент надо обязательно схватить интуицией, иначе говоря, прочувствовать глубину надо. Поэтому тензорное произведение элементарных единиц мы будем называть «корнем» системной единицы, а их число n – длиной корня. Это же число характеризует организационную глубину системной единицы.

5. Системное умножение матриц и решение проблемы

матричного представления алгебры Кэли

5.1. Определение I. Возьмём три двумерные матрицы, с произвольными объектами в качестве элементов: .

Обычное умножение между ними есть установление известного отношения между строками первой матрицы и столбцами второй матрицы, о котором говорят, как о «скалярном умножении элементов»: и т. д. Сейчас мы устанавливаем ещё и следующие дополнительные отношения между столбцами первой матрицы и строками второй матрицы. Эти отношения задаются диаграммами «коммутации», изображёнными на Рис. 2.

A) Б)

«Вращение» против часовой стрелки «Вращение» по часовой стрелки

Рис. 2. Диаграммы коммутации для умножения двумерных матриц.

Смысл этих диаграмм в следующем. Если при обычном умножении матриц порядок умножения элементов (слева на право) производится в согласии с данными диаграммами, то этот порядок сохраняется. Если же элементы умножаются противно направлению стрелок, то они переставляются. Такое умножение мы и называем «системным». Смысловые оттенки данного понятия: коммутирующее умножение, умножение с учётом внутреннего «вращения» (спина). Из всех, приходящих на ум названий, к практическому применению взят тот, который легче произносится. Хотя, строго говоря, всякое умножение несёт в себе момент системности. Но поскольку этот простой термин ещё не занят, то и решено употреблять его, делая акцент на организационную сторону процедуры.

Результат системного умножения будет таков:

Наблюдаем: системно перемножая матрицы, нам нет необходимости всякий раз обращаться к диаграммам коммутации, поскольку в процессе такого умножения проявилось простое формальное правило, позволяющее это делать «сразу»:

Видим, что если базовое умножение элементов матрицы коммутативно и ассоциативно, то системное умножение никак не проявляет себя. Действительно, ещё со школы мы уяснили, что «от перестановки сомножителей произведение не меняется». Поэтому нам и удаётся построить матричное представление комплексных чисел на поле действительных чисел, используя умножение «от матриц». Аналогично, поскольку произведение самих комплексных чисел также коммутативно и ассоциативно, нам удаётся свести представление кватернионов к представлению комплексных чисел, вновь применяя обычное матричное умножение. Но произведение кватернионов уже не коммутативно! Поэтому обычное умножение сказывается на кватернионах, самым определённым образом приводит к не ассоциативности умножения матриц, элементами которых являются кватернионы. А обычное умножение, соответственно, не выводит на алгебру Кэли.

Ниже нам потребуются следующие свойства кватернионов: Первые два свойства вполне очевидны, поэтому уделим внимание только третьему. Пусть . Тогда:

;

Теперь рассмотрим два матричных выражения, структурно подобных представлению кватернионов, но составленных из самих кватернионов и вначале обычно, а затем системно, перемножим их:

Сопоставляя результаты, видим: а) стандартное умножение в силу не коммутативности умножения кватернионов не сохраняет организацию сомножителей; б) системное умножение, напротив, эту организацию сохраняет; более того, верхняя строка получившейся в результате системного умножения матрицы в точности воспроизводит аксиому умножения для системных чисел Кэли. А это значит, что с помощью обычного умножения матриц можно получить восьмимерные, системные единицы и на их основе восьмимерные кватернионы, но только не системные числа Кэли. Определённо говоря, обычное умножение в организационном отношении не дотягивает до них. В связи с чем, трудно удержаться от улыбки: видели, видели математики, и не раз, перед собою матричные представления системных чисел Кэли, вот только опознать их, умножая, не могли! Системное умножение матриц «лукаво прячется» от наших глаз. С одной стороны, оно необычайно просто (как и полагается быть фундаментальной вещи), но с другой стороны, оно весьма и весьма не очевидно.

5.2. Распишем получившееся представление системного числа Кэли подробнее:

Приравнивая по очереди все переменные 0, а одну 1 мы получаем 8-ми мерные представления для системных единиц алгебры Кэли:

;

Замечание. Системное умножение автоматически справляется с ассоциативностью, а потому непременно «таскать на хвосте» (ять) уже излишне. Новые буквы решено читать со старорусской особенностью: «и-с», «жи-с», «ка-с».