Философские этюды (стр. 9 )

Отношения между восемью базисными единицами оформляется в виде таблицы Кэли (Таблица 1).

	e	i	j	k	h	ih	jh	kh
e	e	i	j	k	h	ih	jh	kh
i	i	–e	k	–j	ih	–h	–kh	jh
j	j	–k	–e	i	jh	kh	–h	–ih
k	k	j	–i	–e	kh	–jh	ih	–h
h	h	–ih	–jh	–kh	–e	i	j	k
ih	ih	h	–kh	jh	–i	–e	–k	j
jh	jh	kh	h	–ih	–j	k	–e	–i
kh	kh	–jh	ih	h	–k	–j	i	–e

Таблица 1. Аксиоматика алгебры Кэли.

В общем случае в этой таблице содержится 64 постулата. А если исключить простой случай с действительной единицей е, то 49 постулатов не тривиального характера. Эта таблица также содержит в себе в качестве составной части таблицу для кватернионных единиц .

3. Преодоление мнимости: представление системными векторами

3.1. Нельзя сказать, чтобы нелепость мнимых чисел ускользала от пытливого взгляда математиков. А если в наше время споры поутихли то не потому, что в понимании мнимых чисел достигнут прогресс, а потому, что математики просто смирились с недопониманием их сущности и манипулируют ими чисто формально, если не сказать, эклектично. В своё время, преодолевая «мнимость» математики, вслед за Л. Эйлером, стали рассматривать комплексные числа как упорядоченные пары действительных чисел: и . А далее для них аксиоматически задаются операции «сложения» и «умножения»:

; .

Затем определяются: «двумерный нуль» ; «двумерная действительная единица» и «двумерная мнимая единица» . В итоге получается запись комплексного числа в виде двучлена: . Что же касается общеупотребительных записей и , то первая из них вообще не верна, поскольку 1 есть одномерное действительное число. А вторая запись, есть не что иное, как удобная на практике вульгаризация строгой записи что-то вроде профессионального жаргонизма. Но в теории и она неверна, поскольку непозволительно «оголяет» действительную часть комплексного числа. А, употребляя знак взамен обычного «плюса», спросим у читателя: как он собирается складывать количество «действительности» с количеством «мнимости» ? Разнородные предметы (например, сапоги и конфеты) не слагаемы! Слагаемы только количества, т. е. абстракты от качества (например, сапоги и конфеты, как предметы). Но в смысле количества, число разнородных чисел в комплексном числе всегда постоянно и равно 2. Поэтому у нас знак не есть знак сложения, а есть знак системного соединения действительной части комплексного числа с его мнимой частью. Однако так корректно осуществлять переход от представления комплексного числа в виде упорядоченной пары действительных чисел к традиционной записи, не принято даже в приличных учебниках. Вот пример одной такой милой нелепости:

«Выбранная нами ось абсцисс, т. е. множество точек , ничем не отличается по своим свойствам от вещественной прямой, и мы полагаем . Нуль и единица поля становятся при этом обычными вещественными числами. Для точки на оси ординат вводится по традиции обозначение i «мнимой единицы», являющейся корнем уравнения : Произвольное комплексное число запишется теперь в привычном виде , » [1].

В данном рассуждении больше всего поражает не столько то, что пишутся совершенно не корректные (не лепые!) равенства, а сделанное заключение: «ничем не отличается по своим свойствам». Всмотримся пристальнее в аксиомы сложения и умножения для числовых пар, которые выступают в роли «комплексных чисел». Сложение явно не замысловато и осуществляется в согласии с простым принципом «первый с первым, второй со вторым». Иначе обстоит дело с умножением – оно замысловато и, значит, умно. Умножаясь, числовые пары вступают в перекрёстные отношения (Рис. 1) и таким способом демонстрируют свою системную организацию. Соединение – это целостная система, в которой каждый элемент в зависимости от своего места в числовой паре выполняет свою, ему одному присущую функцию. Поэтому, числа , взятые сами по себе и эти же числа, включённые в данные числовые пары – это разные по умности числа. Поэтому выражения, типа , = 0, не только нелепы с формальной стороны, но и нелепы, прежде всего, в смысловом отношении, так как демонстрируют не понимание сути вещей. И это здесь главное! В самом деле, популярно объясняя философию чисел «на пальцах», разве два в постели и два врозь, «ничем не отличаются»? Разве четыре в танке и они же в казарме, точно те же четыре?

Рис. 1. Диаграмма умножения комплексных чисел.

Рассматривая комплексные числа как упорядоченные числовые пары, взятые в определённом отношении, мы избавляемся от «мнимости», а если быть точнее, от математической нелепости, типа «корня из минус-единицы», но при этом у нас остаётся сомнительность. Действительно, ну кто нам сможет вразумительно объяснить замысловатость умножения этих пар? Ведь принцип умножения лишь постулируется, но никак не разъясняется, а потому и не понимается. И кстати, об умножении. Если исходить из исходного смысла этого понятия, то умножают друг друга только действительные числа. Можно умножать 3 посредством 2 и будет 6, а можно умножать 2 посредством 3 и вновь получится 6. Таким образом, действительные числа демонстрируют свою истинную коммутативность. А что значит, умножить действительное число на число мнимое? Ясно же, что в формальных выражениях действительные числа и мнимая единица в смысловом отношении входят совершенно по-разному. Можно умножать (масштабировать!) мнимую единицу посредством действительного числа, но можно ли умножать действительное число посредством мнимого? Конечно, нет! Поэтому коммутативность произведения действительного числа на мнимое число есть лишь формальная, внешняя (как правила приличия) коммутативность. Внутренне же, по глубинной сути своей, это умножение принципиально не коммутативно. И эта неявная (ещё не видимая!) в комплексных числах «не коммутативная суть» проявляется в кватернионах. Затем, став явной, она приводит к не ассоциативности умножения в алгебре Кели.

Итак, в таком «простом и ясном» комплексном числе насчитывается три качественно различных умножений и три качественно различных сложений:

;

Поэтому, стремясь к математической безупречности, уравнение следует «расщеплять» на два уравнения: 1) ; 2) . Первое уравнение вообще не имеет решений, а второе уравнение имеет два решения: . Соответственно , а и без нелепости ! Это наконец-то надо понять, что под корнем стоит не арифметическая одномерная единица, взятая с минусом, но «двумерная системная единица». И умножение комплексных чисел не есть умножение количества, а есть их системное взаимодействие.

3.2. Следующие по порядку – кватернионы. Кватернион, это упорядоченная пара комплексных чисел:. И как видим, это одновременно дважды упорядоченная по месту в кортеже четвёрка действительных чисел. А число Кэли это уже трижды упорядоченная по месту в кортеже восьмёрка действительных чисел: Но действительные числа сами упорядочены в отношении «больше – меньше», т. е. по количеству. Следовательно, в общем случае, кватернионы это трижды упорядоченные четвёрки, а числа Кэли – четырежды упорядоченные восьмёрки действительных чисел. Поэтому комплексные числа, кватернионы и числа Кэли не есть просто числа, а есть системные числа с различными рангами системности. Примем системный ранг действительного числа, взятого «само по себе» за 1. Тогда системный ранг комплексного числа равен 2; кватернионов – 3; а системный ранг чисел Кэли равен 4. Поэтому в дальнейшем мы не будем употреблять название «число Кэли» – оно неверно и ложно ориентирует нашу интуицию, но будем говорить и писать так: «системное число Кэли» или просто «системное число». Править комплексные числа нет нужды, поскольку латинское complexus означает «связь», «сочетание», т. е. системность. Нет необходимости переименовывать и кватернионы, поскольку это имя собственное, происходящее от латинского слова quaterni («по четыре»). Надо только помнить, что кватернион это системное число третьего ранга. Попутно, поскольку в системных числах собственно никакой «мнимости» мы не находим, а видим структуру и организацию, то избавимся и от «мнимости». Будем говорить, и писать здесь: «системные единицы ». Системные единицы и арифметическая единица 1 качественно отличны, иначе говоря, они разно качественны. В самом же деле, нельзя одной мерой мерить и количество и организацию!

3.3. С понятием «системное число» органично будет связать понятие «системный вектор». Действительно, вектор в обычном понимании – это упорядоченный посредством натурального ряда , набор действительных чисел:. С другой стороны вектор – это матрица-строка (или матрица-столбец) размера . Поэтому идея представлений комплексных чисел распространяется и на векторные представления. Обычным векторам, вне зависимости от их длины мы приписываем ранг системности, равный 1. А далее по иерархии. Комплексное число это системный вектор 2 ранга. Причём, ранг здесь повышается исключительно за счёт применения особого, перекрёстного умножения. В кватернионе ранг повышается до 3 уже в основном за счёт наведения «нового порядка»: . Здесь «точка с запятой» имеет принципиальное значение. Ещё одна процедура наведения порядка среди восьмёрки действительных чисел, приводит нас к системному числу Кэли, как к системному вектору 4 ранга: . Кроме того, в системном числе Кэли, процедура умножения, как ниже будет показано, «доводится до совершенства».

Сложение для кватернионов, как и для комплексных чисел, определяется просто: Но умножение ещё на одну ступень умнее будет: . Черта над буквой, как и принято, обозначает сопряжение: если то .

Далее: , , ,

Здесь знак означает взаимно-однозначное соответствие.

Проверка: .

.

Акцент:

Арифметическое пространство кватернионов принципиально отличается от обычного арифметического пространства – оно не «пусто» и не «инертно», но системно и функционально организовано!

Дабы не создавать обилием новых знаков лишнего психического напряжения мы не будем без нужды употреблять знак , обходясь привычными «плюсами» и «минусами» для обозначения процедуры соединения. Но именно соединения, а не сложения! Повторим, складываются лишь количества предметов, порождая соответствующую упорядоченность «по количеству». В комплексных числах разнородные элементы системно соединяются, не порождая количественного порядка. Поэтому тот факт, что комплексные числа являют собой не упорядоченное множество, есть лишь отражение их системности. Также без явной на то необходимости мы не будем употреблять символ системного умножения , обходясь привычной «точкой» или слитной записью сомножителей.

3.4. Для системных чисел Кэли сложение (но мыслим, соединение!) определяется по-прежнему просто: Но умножение будет ещё умнее, в сравнении с комплексными числами и кватернионами. Сравните градацию сложности:

;

;

Заключение I. Комплексные и гиперкомплексные числа представимы системными векторами. Главный недостаток такого представления, особенно для алгебры Кэли, состоит в том, что простые постулаты, обычно задаваемые таблицами умножения (от 2 до 64), заменяются одним универсальным постулатом умножения, организационная сложность которого растёт с ростом размерности алгебры. Соответственно, через такое представление мы по существу не приближаемся к пониманию внутренней организации системных чисел. Кроме того, векторные представления, в случае многомерных пространств технически обременительны. Этот аппаратный недостаток векторных представлений является серьёзным тормозом на пути их применения в математических исследованиях.