Философские этюды (стр. 11 )

Взаимные свойства единиц алгебры Кэли, как следствия системного умножения.

Но напомним, что в этой таблице, если не брать во внимание умножение на действительную единицу, содержится по существу 49 постулатов не тривиального характера. Мы же с введением системного умножения ограничились двумя постулатами, притом, связанными между собой симметрией. Все взаимные, достаточно запутанные и, скажем прямо, не вполне «вразумительные» отношения между системными единицами здесь получаются как естественные следствия этого сдвоенного постулата, что напрямую говорит о его фундаментальности. Такое не может быть ни случайным, ни надуманно-искусственным! А, кроме того, эти диаграммы коммутации, будучи «закрученными» в полярных направлениях заключают в себе определённую внутреннюю динамику и эстетику системного числа.

Итак:

И одновременно:

;

А также: .

Поскольку системное число X и составляющие его кватернионы A и В являются восьмимерными матрицами, то условимся обозначать кватернионы начальными буквами латинского алфавита, а для обозначения системных чисел в целом брать буквы с его конца.

Рис. 2

«Кружево» отношений между системными единицами.

Единицы I, J, K (вместе с Е) образуют кватернионную группу, относительно системного умножения. Однако производные от них и h единицы , , сами такой группы не образуют. Но, взятые попарно, эти единицы совместно с одним из представителей первого типа единиц, кватернионные группы уже создают: , , . Очень уж любопытное «кружево» отношений получается (Рис. 2)!

5.3. Однако кроме общеизвестного представления кватернионов, и на котором мы только что построили матричное представление системных чисел Кэли, нами обнаружено ещё одно представление: . Естественно желание и на нём построить представление системного числа Кели.

Очевидно: = Е = EEE. Далее:

(!)

Разберём несколько примеров системного умножения единиц второй разновидности.

Вот так, двигаясь, шаг за шагом, мы и придём к Таблице 1.Б., которая совершенно аналогична (с точностью «до волны») таблице 1.А. Однако глазами то мы хорошо видим, что это только внешнее сходство, за которым следует внутреннее различие. Но не всё здесь различно. Просто замечательно, что вот h оказывается для двух представлений общей единицей. А само представление второго вида базируется на следующих четырёх фундаментальных единицах: . Всего же фундаментальных единиц у нас шесть: . Соответственно, у нас два рода матричных представлений системных чисел Кэли. А значит, и две внутренне различные алгебры Кэли (Рис. 3).

				h
	–E		–		–h	–
	–	–E				–h	–
		–	–E		–		–h
h	–	–	–	–E
	h	–		–	–E	–
		h	–	–		–E	–
	–		h	–	–		–E

Таблица 1. Б.

Второе представление алгебры Кэли.

Рис. 3. Взаимодействие двух матричных моделей алгебры Кели.

Заключение IV. Матричные представления (модели) алгебры Кэли существуют. Они реализуется на впервые здесь определённом для двумерных квадратных матриц системном умножении. Притом, реализуется в двух вариантах, имеющих две общие опорные единицы: Е и .

Решение проблемы матричного представления алгебры Кэли и открытие кватернионов второго рода, позволяет наконец-то однозначно идентифицировать системные числа Кэли во множестве численных восьмимерных матриц. Так из двух, взятыми для примера, матриц, одна матрица является системным числом первого рода, а вторая матрица является системным числом второго рода:

6. Построение перспективы

Итак, взяв за основу обычное умножение матриц, мы доопределили его посредством диаграмм коммутации до системного умножения матриц. Затем применили его к двухмерным квадратным матрицам строго определённой организации:

.

Первая матрица составлена из кватернионов I рода, вторая из кватернионов II рода:

В результате у нас получилось два матричных представления алгебры Кэли:

и т. д.

Но предостережём читателя от желания, возвести простое формальное правило в ранг аксиомы системного умножения, взамен внешне простых, но сложных в смысловом отношении диаграмм коммутации. Эта «простота» выхолащивает суть системного умножения, делая его эклектичным. А потому не стимулирует математическую, физическую и философскую интуиции.

Системное умножение является «общим» по отношению к известному умножению матриц, поскольку «не реагирует» на действительные и комплексные числа, которые подчиняются законам ассоциативности и коммутативности. Соответственно в этих первых по иерархии случаях системное умножение даёт тот же результат, что и обычное умножение. Но на кватернионах, когда они являются элементами двумерных матриц, пути умножений расходятся, так как !

Открытые матричные представления системных чисел Кэли позволяют по любому представлению, действуя «автоматически», восстанавливать другие представления. Следовательно, в данном случае мы имеем дело не с обычными изоморфизмами между различными математическими объектами, но с аспектами одного и того же математического объекта. Причём, матричный аспект для системных чисел является ведущим, поскольку наиболее полно выражает идею их организации: алгебраический аспект матричный аспект векторный аспект. Своё лидерство матричный аспект доказывает хотя бы тем, что алгебраический аспект вообще «ничего не знает» о разделении кватернионов на два рода, а векторный аспект их «путает», т. е. не воспринимает однозначно.

Попутно мы избавились и от всякой мнимости, понимая под i – «системный корень из многомерной единицы», начиная со значения . А в результате приобрели вполне оригинальную точку зрения на смысл комплексных чисел вообще. Основополагающим в этой точке зрения является то, что системная («мнимая») единица представляется единицей организации, а не количества и порядка. Не понимание этого приводит к возникновению искусственных «проблем». Одна из таких «проблем» есть результат использования одних и тех же букв для обозначения единиц разного системного ранга (соответственно, разной «глубины»):

;

;

.

Отсюда непроизвольно создаётся ложное и вредное представление о том, что, например, единица i, входящая в состав комплексного числа, кватерниона и числа Кэли – это одна и та же единица, а единицы j и k – общие для кватернионов и октав. Что же касается записи , то её вообще следует отнести к разряду «изысканной лжи». Конечно, стремясь к простоте аналитики, порой без профессиональных «вульгаризмов» и «жаргонизмов» не обойтись, однако их надо специально оговаривать. Математически же грамотно каждый аспект записывается так.

Алгебраический аспект:

;

;

.

Матричный аспект:

;

и ;

;

.

Векторный аспект:

;

;

.

При этом во втором и третьем случаях получаются избыточные по организации комплексные числа и избыточные по организации кватернионы.

Замечание. Здесь системные векторы дополнительно отмечены «двухсторонней стрелкой». Тем самым отмечается наличие прямых и перекрёстных связей, что и означает системность. Системные векторы следует отличать от обычных векторов:

;

;

.

Итак, у нас получился математический объект, качественно отличающийся от классической алгебры Кэли – его смысловой потенциал неизмеримо выше! Поэтому предлагается отделить его от «классики» и специально обозначить так: «Алгебра системных чисел». Алгебры действительных чисел, комплексных чисел и кватернионов являются подалгебрами этой обобщённой алгебры. Но и одновременно первая алгебра является совершенно самостоятельной алгеброй, определённой на поле действительных чисел.

Что же касается перспектив, то «забегая вперёд» скажем, что алгебра системных чисел имеет не только чисто математический интерес. С нею в бытие человечества входит новое мировоззрение (новая философия) и, соответственно, новая физика – совместная физика явного (действительного) и неявного (инородного). Поэтому, алгебра системных чисел заслуживает пристального внимания и со стороны физиков-теоретиков, поскольку предоставляет в их распоряжение математический аппарат для построения новейших моделей физического мира. А если учесть, что представления системных чисел осуществляются 8-ми мерными матрицами, с помощью которых решать прикладные задачи, можно лишь опираясь на компьютерные модели, то одновременно ставится масштабная задача и для специалистов в области программирования. Соответственно в данной работе особое внимание отводится разработке сквозного и удобного символизма, а техника преобразований преподносится в ясных для алгоритмизации подробностях и без всяких «жаргонизмов» и «вульгаризмов», поскольку машина не понимает и не принимает «математический юмор». А само изложение темы, дабы не тонуть в математических частностях, ведётся в жанре «конструктивизма».

* * *

Итак, в данном философско-математическом этюде объявляется о двух математических открытиях:

– открытие кватернионов второго рода;

– открытие системного умножения матриц.

Попробуем дать оценку
этих открытий.

Прежде обратим внимание на то, что сразу бросается в глаза – оба открытия вызывающе просты. Их суть доступна пониманию даже способному к математике старшекласснику, не говоря уже о студенте мехмата или физмата. Такая простота – большая редкость в современной «хоженой перехоженной» математике. Поэтому вполне вероятно, что данные открытия окажутся самыми простыми математическими открытиями из тех, что уже сделаны и будут сделаны в XXI веке. Однако совсем не исключено и другое – эта «простота» превзойдёт по своей значимости, по последствия для цивилизации все остальные «изощрённые» математические открытия, многие из которых окажутся следствием от «простоты». Воистину перед нами sancta simplicitas (лат. святая простота)! Чтоб не быть голословными, широкими мазками набросаем эскиз перспективы. А начнём с того, что ещё раз «пробежим глазами» последовательность «переодеваний» системного числа Кэли:

♂)

♀)

.

Конечно, на символы ♂ и ♀ читатель уже обратил внимание. Этими символами решено покончить с «бесстрастностью» в названиях двух родов кватернионов и соответствующим им системных чисел Кэли. Именно, чтобы вполне задействовать нашу интуицию, решено разделить их на мужской и женский рода: – андрокватернионы; – гинекватернионы. Это если брать греческие корни. А если брать латинские, то разнородные кватернионы можно было бы называть так: маскулинумы (masculinum – мужской род) и фемининумы (femininum – женский род). Впрочем, кому как нравится. Поводом к такому «смелому поступку» послужила та особенность кватернионов второго рода (соответственно, системных чисел Кели), что в них «всё так же», как и у кватернионов первого рода, но местами всё-таки – «наоборот»! Здесь мы усмотрели «женскую логику». А вместе с нею предвидим «незабываемые коллизии» в отношениях между системными числами различных родов.