Экономико-математические модели (тексты лекций для ОЗО) (стр. 10 )

Особенности функций сбережений и инвестиций в модели Калдора приводят к тому, что их графики могут пересекаться одновременно в трех точках, как это показано на рисунке (6.5). Точки A, B, C представляют различные варианты статического равновесия на определенный момент времени, причем равновесие в точке В неустойчиво, а в точках А и С устойчиво.

I, S S(Y, t)

I (Y, t)

C

B

A

YA YB Y0 YC Y

Рисунок 6.5. Разновидности равновесных состояний на рынке благ
в модели экономических циклов Калдора

В точке В равновесие неустойчиво, так как при YA < Y < YB сбережения превышают инвестиции и на рынке благ образуется избыток, который будет содействовать дальнейшему сокращению производства. Когда YB < Y < YC, из-за превышения объема инвестиций над объемом сбережений возникнет дефицит благ, который стимулирует расширение производства.

В точках A и C равновесие устойчиво, так как отклонение от A или C вправо приводит к избытку благ и сокращению производства, и отклонение влево - к дефициту и расширению производства.

Хотя равновесие в точках A и C устойчиво, оно является равновесием короткого периода. Состояние экономической конъюнктуры в точке A характеризуется малым объемом инвестиций, который недостаточен даже для полного возмещения изношенного капитала. Сокращение действующего капитала через некоторое время увеличит склонность предпринимателей к инвестициям, и спрос на них возрастает, что отразится на рисунке 6.5 сдвигом графика I (Y, t) вверх. В результате равновесие нарушится.

Точка C представляет равновесие при высокой экономической активности. Если оно продлится в течение нескольких периодов, то в результате достижения оптимального объема капитала спрос на инвестиции начнет снижаться, что отобразится на рисунке 6.5 сдвигом графика инвестиций вниз, и экономика выйдет из равновесного состояния.

Отметим, что равновесие короткого периода может быть нарушено и в результате изменения со временем предельной склонности к сбережению.

Рассмотрим теперь процесс изменения экономической конъюнктуры. Пусть в исходном моменте национальный доход равен Y0 (рисунок 6.5). Поскольку в этом случае инвестиции превышают сбережения, на рынке благ образуется дефицит, который стимулирует рост производства. Когда национальный доход возрастет до YC, тогда установится устойчивое равновесие. Если такое состояние конъюнктуры установится надолго, то из-за устойчивого повышения благосостояния домохозяйства увеличат размер сбережений, смещая график S вверх. Одновременно кривая инвестиций вследствие приближения объема капитала к оптимальному размеру начнет сдвигаться вниз. Встречное движение графиков функций сбережений и инвестиций приведет к совмещению точек В и С (рисунок 6.6).

В результате краткосрочное равновесие из устойчивого превратится в неустойчивое. Как только национальный доход станет меньше YВ, С, сбережения будут превышать инвестиции и из-за возникшего избытка на рынке благ производство начнет сокращаться, пока экономика не достигнет нового краткосрочного устойчивого равновесия в точке А. На некоторое время установится устойчивое равновесие при низком уровне экономической активности.

I, S I, S

S

I C S

B, C I

A, B

A

YA YB, C Y YA, B YC Y

При такой экономической конъюнктуре размер сбережений начнет сокращаться, что отразится сдвигом кривой S вниз. Кроме того, если в течение ряда лет объем производства сохранится на низком уровне, то запасы готовой продукции постепенно сократятся. В определенный момент возникнет дефицит благ, и это послужит сигналом к расширению производства и увеличению спроса на инвестиции. Кривая I начнет смещаться вверх. В результате встречного движения кривых S и I точки А и В совместятся (рисунок 6.7).

В точке А, В равновесие неустойчиво. Следовательно, когда при оживлении экономики объем производства будет превышать YA,B, на рынке благ возникнет дефицит, который будет устранен только при объеме национального дохода, равном YС.

Так, пройдя через конъюнктурный цикл, экономика снова на некоторое время стабилизируется в условиях высокой экономической активности. Со временем по названным выше причинам кривая S начнет движение вверх при одновременном смещении кривой I вниз, и это знаменует начало очередного экономического цикла.

6.3. Другие подходы к моделированию экономического цикла

В экономической науке создано множество других экономико-математических моделей, объясняющих причины и механизм циклических колебаний.

Монетарные концепции экономических циклов связывают колебания экономической активности с изменениями в кредитно-денежном секторе.

Основоположником монетарной концепции экономических циклов считается Р. Хаутри. По его представлению, исходным пунктом экономического цикла является рост предложения кредита со стороны банковской системы. Далее следуют снижение ставки процента, рост инвестиций и совокупного спроса; так возникает фаза подъема, которая сопровождается ростом уровня цен. Со временем экономический подъем прекращается под воздействием двух основных факторов: внутреннего и внешнего. Первый сводится к исчерпанию избыточных резервов коммерческих банков; второй — к сокращению валютных резервов страны вследствие увеличения импорта и сокращения экспорта из-за повышения уровня цен. Оба названных фактора создают дефицит на рынке денег, и ставка процента начинает повышаться, а объем инвестиций — снижаться. Ухудшение инвестиционного климата на этой фазе развития цикла связано также с тем, что к концу фазы подъема разрыв между темпами роста уровня цен и ставки номинальной зарплаты сокращается. В результате начинаются обратные процессы: спад производства и занятости, снижение денежной ставки номинальной зарплаты и уровня цен, рост чистого экспорта, увеличение валютных резервов и денежной базы. Тем самым подготавливается основа для очередной кредитной экспансии банковской системы.

Более современная модель монетарного экономического цикла Лайдлера описывает взаимодействие рынков благ и денег в закрытой экономике без экономической активности государства. Основой для формирования экономического цикла в модели Лайдлера служит отклонение темпа роста денежной массы от равновесного, которое нарушает динамическое равновесие в экономике. Это отклонение вызывает реакцию одновременно в монетарном (изменение уровня цен) и реальном (изменение загрузки производственных мощностей) секторах. Перейдет ли после нарушения равновесия экономика к новому равновесному состоянию или нет, зависит от свойств дифференциального уравнения, описывающего динамическое взаимодействие рынков благ и денег.

Особая роль субъективного фактора в периодической смене подъема спадом и спада подъемом раскрывается посредством моделей, имитирующих соперничество между трудом и капиталом за распределение национального дохода. Примером таких моделей является модель Крафта—Вайзе. В этой модели возникновение конъюнктурных колебаний в экономике объясняется изменением стратегии поведения макроэкономических субъектов - предпринимателей и домашних хозяйств. Поскольку при определении вариантов поведения субъекты опираются на свои прогнозы ответных реакций контрагента, то в модели используются элементы теории игр.

Рассмотренные модели были созданы в 1940-х – начале 1970-х гг., когда экономическая конъюнктура характеризовалась достаточной регулярностью и предсказуемостью. Более того, в гг. не наблюдалось сколько-нибудь серьезных экономических спадов. В результате на первый план экономических исследований выдвинулись модели экономического роста. Однако уже в начале 1970-х годов разразилась целая череда экономических и финансовых потрясений, в результате чего стало ясно, что деловые циклы в современной экономике (в отличие от циклов XIX - начала XX вв.) не демонстрируют той регулярности и симметрии, которая необходима для использования детерминистских моделей преимущественно кейнсианского типа, созданных ранее.

В конце XX века в экономической науке возобладал стохастический подход, при котором циклы рассматриваются как следствия последовательно возникающих случайных толчков (шоков, сдвигов), называемых импульсами, на экономическую систему, что и вызывает циклическую модель отклика.

Впервые идея о стохастической, шоковой природе экономического цикла была высказана российским математиком Евгением Евгеньевичем Слуцким, который в 1927 году опубликовал статью "Циклические колебания как результат сложения случайных величин", оставшуюся не замеченной современниками. Слуцкий показал, что проводимое определенным образом сложение случайных величин может порождать четко выраженные циклические колебания.

Сегодняшняя теория циклов отводит случайным факторам развития цикла огромную роль. При этом современная макроэкономическая теория различает постоянно встречающиеся («систематические») шоки, приводящие к поступательному росту экономики, и «преходящие» возмущения, которые по определению порождают стационарные колебания. Особое внимание уделяется механизмам распространения этих возмущений. Возникла теория и целый класс моделей реального делового цикла. Сторонники данной теории полагают, что циклические колебания возникают как результат случайных технологических шоков, а в общем случае – шоков предложения. Теория реальных деловых циклов воспринимает систему как «черный ящик», получающий шоковые импульсы на входе и преобразующий их в деловые циклы на выходе.

Основы теории реального делового цикла были заложены Финном Кюдландом и Альфредом Прескоттом, которые в 2004 году получили Нобелевскую премию за исследования циклических колебаний. Авторы впервые предложили не только теоретическую модель цикла, но и методы, которые позволяют соединить четко сформулированные аналитические гипотезы и рассуждения с конкретными статистическими данными. Более того, в своей модели авторы соединили исследования экономического цикла с исследованиями экономического роста, показав, что два этих явления – две стороны одного и того же процесса динамического развития экономической системы.

Модель Кюдланда-Прескотта базируется на стохастической динамической модели общего равновесия и относится к классу имитационных моделей. В ней подобраны конкретные виды функций полезности, характеризующих предпочтения потребителей, производственных и других функций, а также выбраны те оценки параметров указанных функций, которые, с точки зрения авторов, в наибольшей степени соответствуют исходным предположениям. Иными словами, Кюдланд и Прескотт предложили имитационную модель, в которой на базе реальных статистических данных делается попытка воссоздать, синтезировать фактические колебания американской экономики.

Центральный тезис теории реальных циклов Кюдланда - Прескотта можно сформулировать следующим образом: главным источником колебаний экономической активности служат стохастические технологические шоки, т. е. резкие краткосрочные отклонения от положительного тренда технологического развития, определяющего рост экономики в долгосрочной перспективе. Их действие приводит к тому, что объем производства отклоняется от того уровня, который задан трендом производственной функции. Таким образом, технический прогресс является основным фактором не только долгосрочных изменений в экономике, но и краткосрочных колебаний уровня выпуска в силу того, что технологические изменения неравномерны во времени.

6.4. Основные подходы к моделированию экономического роста. Типы моделей

Под экономическим ростом национального хозяйства подразумевается такое его развитие, при котором увеличивается реальный национальный доход. Мерой экономического роста служит темп прироста реального национального дохода в целом или на душу населения.

Экономический рост называется экстенсивным, если он не меняет среднюю производительность труда в обществе: Yt / Nt = const, или Ỹt = Ñt. Когда рост национального дохода опережает рост числа занятых в производстве (Ỹt > Ñt), имеет место интенсивный рост. Интенсивный рост экономики является основой роста благосостояния населения и условием уменьшения дифференциации в доходах различных социальных слоев.

Рост экономики определяется множеством разнообразных факторов: увеличением количества производственных ресурсов, совершенствованием способов их использования и др. Все это, как правило, требует инвестиций. Поэтому инвестиции выступают в качестве основного регулятора темпов экономического роста. В моделях экономического роста учитываются два последствия осуществления инвестиций: в момент своего осуществления они повышают совокупный спрос, а в последующие периоды увеличивают совокупное предложение вследствие прироста производственных мощностей.

В моделях экономического роста все эндогенные параметры являются функциями времени. Формально это выражается записью вида а(t) или аt. В тех уравнениях, где все параметры относятся к одному и тому же периоду времени, индекс t может быть опущен.

Основной целью построения моделей экономического роста является определение условий, необходимых для равновесного роста. Под равновесным ростом подразумевается такое развитие экономики, при котором увеличивающиеся от периода к периоду объемы совокупного спроса и совокупного предложения всегда равны друг другу.

Важным источником экономического роста является научно-технический прогресс, который прогресс меняет не только результативность общественного производства, но и структуру национального хозяйства, а также функциональное распределение результатов производства. Выявление характера воздействия технического прогресса на рост и распределение национального дохода входит в число основных задач теории экономического роста.

В XX веке наибольшее распространение получили два основных класса моделей экономического роста: посткейнсианские и неоклассические. Эти модели основываются на различных исходных предпосылках и приводят к противоположным выводам относительно устойчивости равновесного роста и факторов, определяющих его темп.

Посткейнсианскими называются те модели роста, в которых кейнсианские предпосылки и методы анализа экономической конъюнктуры в коротком периоде используются для описания экономических процессов в длительном периоде (теория мультипликатора, предположение о негибкости цен).

Характерная особенность посткейнсианских моделей экономического роста состоит в том, что в них технология производства представлена производственной функцией с взаимодополняемыми ресурсами (производственная функция Леонтьева):

Y = min {qN, σK},

где q и σ соответственно средняя производительность труда и капитала. Если qN < σK, то существуют избыточные производственные мощности, а при
qN > σK имеет место скрытая безработица. Оба фактора производства будут использованы полностью только при qN = σK. Отсюда K/N = q/σ – технологически оптимальная капиталовооруженность труда.

Наиболее известными посткейнсианскими моделями экономического роста являются модели Е. Домара и Р. Харрода. Динамическое равновесие (равновесный рост), согласно посткейнсианским моделям, неустойчиво, и поэтому необходимо государственное регулирование экономического роста. Неустойчивость равновесного роста в посткейнсианских моделях вытекает из предпосылок о постоянстве цен и взаимодополняемости факторов производства.

В отличие от посткейнсианских моделей роста в неоклассических моделях используются производственные функции с взаимозаменяемыми ресурсами, принимается предпосылка о господстве совершенной конкуренции на рынке факторов, при которой за счет гибкости цен и эластичности спроса и предложения по ценам на всех рынках устанавливается равновесие. Неоклассические модели доказывают возможность устойчивого роста сбалансированной экономики.

Наиболее распространенной в теоретических и прикладных исследованиях из моделей неоклассического направления является модель Р. Солоу.

Модель роста Р. Солоу заложила основы современной теории экономического роста, которая получила дальнейшее развитие в трудах Р. Лукаса, П. Ромера, Р. Нельсона и С. Уинтера. Р Лукас предложил включить в базовую модель человеческий капитал, накопление которого на основе образования и обучения в процессе деятельности служит источником непрерывного роста. Наиболее полное отражение идеи Лукаса нашли в работах П. Ромера, который также предложил дополнить модель инвестициями в НИОКР.

В 2002 году Р. Нельсоном и С. Уинтером была предложена альтернативная эволюционная теория роста дискретного типа. Её авторы полагают, что правила принятия решений в реальной экономике связаны с поиском инноваций и рассматривают конкуренцию как процесс естественного отбора, далекий от состояния равновесия. Р. Нельсон и С. Уинтер отказались в своей модели от использования производственной функции, поскольку, по мнению авторов, сама производственная функция в условиях постоянного изменения производственных возможностей очень изменчива. Эволюционная модель была реализована в форме компьютерной имитации, и, как показали эмпирические исследования, наиболее полно отражает технологические изменения в современной экономике.

6.5. Модель экономического роста Харрода-Домара

Модель Харрода-Домара является ярким примером посткейнсианской модели экономического роста. В 1940-е годы последователь Кейнса, английский экономист Р. Харрод сформулировал фундаментальное уравнение экономического роста, способное объяснить различные состояния динамического равновесия. Независимо от него аналогичные результаты получил американский экономист польского происхождения Е. Домар, который поставил перед собой задачу выяснить, каковы условия, обеспечивающие сбалансированный рост спроса и производственных мощностей. Созданные ими модели в настоящее время объединены в одну, получившую известность как модель Харрода - Домара.

Следуя кейнсианской традиции, модель Харрода – Домара использует допущения, применимые только при краткосрочном анализе, а именно:

·  национальный доход Y рассматривается как сумма потребления C и инвестиций I; чистый экспорт равен нулю, государственные расходы в модели не выделяются;

·  условием равновесия на рынке благ является равенство инвестиций I и сбережений S;

·  прирост инвестиций вызывает прирост дохода через мультипликатор 1/s;

·  между приростом дохода и инвестиций существует и обратная связь, описываемая акселератором k = It / (Yt - Yt-1);

·  инвестиционный лаг отсутствует, инвестиции мгновенно переходят в прирост капитала;

·  выбытие капитала отсутствует;

·  затраты труда постоянны во времени либо выпуск не зависит от затрат труда, поскольку труд не является дефицитным ресурсом;

·  технический прогресс не принимается в расчет.

Пытаясь выявить условия равновесного роста, Харрод сосредоточил свое внимание на анализе условий равновесия намечаемых сбережений и инвестиций в расширяющейся экономике.

Харрод обращает внимание, что, с одной стороны, сбережения являются функцией от уровня дохода, а, с другой стороны, капиталовложения (в силу принципа акселерации инвестиционного спроса) представляют собой функцию от прироста дохода. Иными словами, увеличение дохода (экономический рост) служит одновременно и условием осуществления инвестиций, и предпосылкой роста сбережений. служит увеличение дохода, то вслед за повышением дохода будут расти и сбережения. Следовательно, основной задачей модели Харрода выступает выявление темпа роста, способного поддерживать в динамике равновесие между сбережениями и инвестициями.

Исходным условием модели выступает традиционное условие макроэкономического равновесия:

S = I.  (6.2)

Кроме того, предполагается, что сбережения (S) представляют собой постоянную долю (s) дохода, т. е.:

S =sY,  0 < s < 1, (6.3)

где символ s используется для обозначения постоянной средней и предельной склонности к сбережению.

В соответствии с принципом акселерации инвестиции составляют постоянную долю в приросте продукции:

I = kΔY,  (6.4)

где k = ΔK/ΔY - коэффициент акселерации.

Подставляя равенства (9.2.) и (9.3) в базовое соотношение (9.1), получим выражение, отражающее равновесие рынка благ в статике:

sY = kΔY.  (6.5)

Разделив обе части равенства (9.4) на k и Y, мы можем определить равновесный темп роста национального дохода:

(6.6)

или

(6.6.а)

Его решение имеет вид .

Таким образом, условием постоянного сохранения равенства между намечаемыми сбережениями и инвестициями служит постоянный темп увеличения национального продукта, равный s/k.

Заметим, что равновесный темп роста будет менять свою величину в том же направлении, что и s, и в обратном направлении к изменению k. В рамках данной модели такие соотношения представляются довольно естественными. Чем большая доля дохода сберегается, тем больше должен быть и темп роста национального продукта, чтобы механизм акселерации вызвал к жизни инвестиции, достаточные для поглощения планируемых сбережений. Аналогично, чем меньше акселератор k, тем меньше инвестиции, индуцируемые заданным увеличением национального продукта, а следовательно, тем выше темп экономического роста, требуемый для поглощения данной суммы сбережений.

Основной вывод модели Харрода сводится к тому, что существует некий равновесный уровень склонности к сбережению sr, при котором достигается оптимальный темп роста (динамическое равновесие). Отклонения действительного уровня склонности к сбережению от равновесного обусловливают нарушение равновесия, что требует государственного регулирования экономики.

Модель Домара сходна с моделью Харрода. Но если модель Харрода базируется на принципе акселерации, то модель Домара - на принципе мультипликации. Динамическая сбалансированность спроса и предложения, по Домару, определяется динамикой инвестиций, которые одновременно образуют новые мощности и новые доходы. Следовательно, задача сводится к определению объема и динамики инвестиций, обеспечивающих необходимый рост национального дохода.

В модели Домара исходным условием также выступает равенство (6.2). Кроме того, предполагается, что сбережения и равные им инвестиции составляют s, постоянную долю национального продукта:

S = I = sY,  0 < s < 1,  (6.7) 

где s = S/Y = ΔS/ΔY.

Инвестиции текущего года, с одной стороны, вызывают расширение производственных мощностей, то есть, предложения благ. Масштабы такого расширения могут быть описаны следующим образом:

ΔY = σI = σsY, (6.8)

где коэффициент σ = ΔY/ΔK = ΔY/I - показатель капиталоотдачи, представляющий собой потенциальное годовое увеличение национального продукта, ставшее возможным благодаря инвестированию одного доллара или соответствующему росту капитального запаса, сочетающемуся с другими наличными ресурсами.

Для сохранения равновесия на рынке благ, совокупные расходы (совокупный спрос) будущего года также должны вырасти по сравнению с уровнем данного года на величину, равную добавочной производственной мощности. Из кейнсианской теории мультипликатора следует, что увеличение совокупного спроса также вызывается ростом инвестиций, причем мультиплицирующее воздействие инвестиций может быть выражено в виде:

.  (6.9)

Подставляя уравнение (9.8) в уравнение (9.7), получим:

.  (6.10)

Разделив обе части выражения (9.9) на I и умножив их на s, получаем

.  (6.11)

При фиксированной величине капиталоотдачи и данной склонности к сбережению полное использование ежегодного прироста производственных мощностей в рамках всей экономики достигается при росте инвестиций ежегодным темпом, равным σs. Темп роста, равный σs,- это темп равновесного экономического роста, или темп хозяйственного роста при полной загрузке производственных мощностей.

Поскольку инвестиции и сбережения составляют постоянную долю национального продукта, из этого необходимо следует, что последний тоже должен расти темпом, равным σs:

. (6.12)

Преобразуя, мы получаем окончательное уравнение динамики национального дохода:

Y ( t + 1) = ( 1 + σs ) Y( t ), (6.12.а)

его решение имеет вид Y(t)= (1+σs)tY0.

Таким образом, темп роста экономики при полной загрузке производственных мощностей изменяется прямо пропорционально s и σ. Это вполне естественно, поскольку, чем большая доля s национального продукта сберегается и инвестируется (при данном коэффициенте капиталоотдачи), тем больше увеличиваются производственные мощности, создаваемые благодаря этим инвестициям, и, следовательно, тем выше должны быть темпы роста национального продукта, препятствующие недоиспользованию производственных мощностей. Аналогичным образом: чем больше σ, тем больше при любом заданном размере инвестиций увеличение производственных мощностей и, следовательно, тем значительней должен быть рост национального продукта, который предотвращает образование избыточных мощностей.

Из модели Домара следует тот же самый вывод, что из модели Харрода: динамическое равновесие неустойчиво, и поэтому необходимое государственное регулирование экономического роста.

6.6. Модель экономического роста Р. Солоу

Основными предпосылками неоклассических моделей экономического роста, к которым относится модель Р. Солоу, являются:

·  предположение о функционировании экономики в условиях совершенной конкуренции, обеспечивающей гибкую систему цен и равенство цен факторов производства их предельной производительности;

·  отсутствие функции совокупного спроса, поскольку гибкая система цен постоянно приравнивает объем совокупного спроса к объему совокупного предложения;

·  представление технологии в виде производственной функции с взаимозаменяемыми факторами производства и постоянным эффектом масштаба.

Р. Солоу использует в своей модели роста производственную функцию Кобба-Дугласа, в которой труд и капитал являются хорошими субститутами и сумма коэффициентов эластичности выпуска по факторам равна единице (постоянная эффективность от масштаба):

(6.13)

В модели Солоу предполагается, что совокупный спрос изменяется в таком же размере, как и предложение, а число занятых тождественно равно численности населения (трудовых ресурсов).

 

y

Рисунок 6.8. Производственная функция в модели Солоу

tg β = ∂Y/∂K

y(k)

β

γ tg γ = σ

Представим производственную функцию (6.13) в виде

где Yt/Nt = yt – производительность труда (выпуск/доход на душу населения); Kt/Nt = kt – капиталовооруженность труда (капитал на душу населения).

Произведя замену переменных получим:

yt = ktα (6.14)

Таким образом, в модели Солоу средняя производительность труда есть функция его капиталовооруженности. График этой функции представлен на рисунке 6.2. По мере роста капиталовооруженности труда его производительность увеличивается, но с убывающей скоростью, так как снижается предельная производительность капитала.

Средняя производительность капитала на рисунке 6.2 представлена tg γ, так как

(6.15)

Тангенс угла наклона касательной к кривой y(k) характеризует предельную производительность капитала. Это следует из того, что

(6.16)

Функция предложения труда в модели Солоу имеет вид

NtS = N0S(1+n)t ≈ N0Sent,

где e – основание натуральных логарифмов; n - годовой темп прироста населения и предложения труда.

Тогда годовой объем производства и предложения благ представляется такой функцией:

Yt= Y(Kt, N0ent). (6.17)

Объем используемого в каждом периоде капитала можно представить в виде произведения капиталовооруженности труда на число занятых:

Kt = ktNt = ktN0ent

Поскольку от периода к периоду может меняться как число занятых, так и их капиталовооруженность, то будет меняться и размер используемого капитала. Размер дополнительного капитала определяется из равенства

(6.18)

Приращение капитала в каждый период обеспечивается чистыми инвестициями (валовые инвестиции за вычетом амортизации):

, (6.19)

Условием равновесного роста в модели Солоу является равенство сбережений и инвестиций. Предположим, что амортизация равна нулю, тогда:

It =sYt. (6.20)

Таким образом, из равенств (6.18) – (6.20) следует, что для поддержания равновесного роста требуется выполнение равенства:

(6.21)

Так как производственная функция в модели Солоу имеет постоянную отдачу от масштаба, то

Y(Kt, N0ent) = N0entY(k, 1)

и выражение (6.21) упрощается:

Примем также во внимание, что по экономическому смыслу Y(k, 1) = yt; тогда выражение (6.21) можно представить в виде

(6.22)

Выражение (6.22) показывает, как во времени должна изменяться капиталовооруженность труда, чтобы равновесный рост, обеспечивающий полное использование производственных мощностей, сопровождался полной занятостью.

Поскольку yt есть доход на одного занятого, то syt представляет объем осуществляемых им в период t сбережений, которые полностью инвестируются.

Спрос на инвестиции в период t определяется потребностью в дополнительном капитале для оснащения им вновь нанятых в этом периоде рабочих. Произведение nkt показывает, сколько в среднем требуется дополнительного капитала на одного работающего, чтобы капиталовооруженность вновь нанятых в период t рабочих равнялась kt.

Следовательно, при syt = nkt будет происходить равновесный рост с постоянной капиталовооруженностью и постоянной производительностью труда. Такое состояние экономики называют стационарным, поскольку сбережений хватает только для того, чтобы обеспечить новых работников капиталом.

Когда syt > nkt, объем сбережений превышает объем инвестиций (дополнительного капитала), необходимый для оснащения используемого труда на уровне kt. В данном случае для обеспечения равенства нужно перейти к более капиталоемкой технологии, то есть повысить kt. Соответственно при syt < nkt для сохранения равновесия и полной занятости (St = It и NtS = NtD) приходится снижать капиталовооруженность труда.

Изменение капиталовооруженности труда, необходимое для равновесного роста, обеспечивается в модели Солоу за счет гибкости цен на факторы производства, и поэтому динамическое равновесие (стационарное состояние) оказывается устойчивым. Проследим за этим процессом, используя рисунок 6.9, на котором в графическом виде представлены слагаемые правой части равенства (6.22).

y

y

Рисунок 6.9. Устойчивость равновесного роста в модели Солоу

nk, nk

sy sy

k1 k0 k2 k

График nk представляет собой прямую линию, так как темп роста населения (n) постоянен. Он показывает, сколько инвестиций требуется при каждом уровне капиталовооруженности, чтобы поддерживать этот уровень постоянным. Линия sy выпукла, так как при постоянной s она получается в результате сдвига вниз линии y(k). При капиталовооруженности k0 экономика находится в стационарном состоянии и экономический рост будет равновесным, так как соблюдается равенство syt = nkt.

Если при сложившейся структуре цен на труд и капитал максимум прибыли достигается при капиталовооруженности труда k2, то возникает нехватка капитала для полного оснащения возросшего количества труда. Труд оказывается относительно избыточным, и его цена снижается. Начнется замена капитала трудом, то есть снижение k. Если при данных относительных ценах и уровне развития техники оптимальной окажется технология с k1, то избыточным станет капитал, снизится его цена, что приведет к росту капиталовооруженности труда.

Так, возможность взаимозамены факторов и гибкая система цен обеспечивают устойчивость стационарного состояния (равновесного роста) экономики.

Поскольку капиталовооруженность труда в условиях равновесного роста не меняется, то темп прироста объема используемого капитала равен темпу прироста населения. При заданной технологии с неизменным эффектом масштаба и при фиксированной норме сбережений это означает, что с таким же темпом будет расти и национальный доход.

Таким образом, в модели Солоу экономика выходит на устойчивый рост национального дохода с постоянным темпом, равным темпу роста трудовых ресурсов; с такой же скоростью увеличиваются инвестиции и капитал. При этом капиталовооруженность труда, средняя и предельная производительность факторов производства и их цены остаются постоянными.

 

nk, nk

sy E1

y1 s`y

E0 sy

Рисунок 6.10. Равновесный рост при повышении нормы сбережений

y0

k0 k1 k

Взаимосвязь темпа устойчивого роста с другими параметрами модели определяется в модели Солоу из уравнения

(6.23)

При отсутствии технического прогресса и постоянной эффективности от масштаба производительность капитала не зависит от времени (σ = const). Рассмотрим последствия изменения двух оставшихся параметров равенства (6.23).

Можно ли посредством изменения нормы сбережений воздействовать на темп равновесного роста? Для ответа на этот вопрос используем рисунок 6.10.

Первоначальное динамическое равновесие представлено точкой E0. Здесь объем сбережений равен необходимому для равновесного роста объему инвестиций. Если норма сбережений возрастет с s до s`, то на рисунке 6.10 это отобразится сдвигом sy → s`y.

Ỹ y

y1 yt

Ỹt

n y0

t0 t1 t t0 t1 t

Теперь при k0 объем сбережений превысит объем инвестиций и капиталовооруженность труда будет возрастать до k1, когда восстановится равенство St = It в точке E1. В результате новое динамическое равновесие устанавливается при более высоких значениях капиталовооруженности и производительности труда, но с исходным темпом роста национального дохода, равным темпу роста населения.

В момент повышения нормы сбережений темп роста национального дохода (Ỹt ) резко увеличивается, так как возрастает не только масштаб производства, но и производительность труда из-за увеличения его капиталовооруженности. В дальнейшем вместе с замедлением роста производительности труда по мере приближения к новому равновесию темп роста национального дохода снижается до темпа роста населения. Динамика национального дохода в переходном периоде показана на рисунке 6.11.

В то же время увеличение нормы сбережений привело к повышению средней производительности (выпуска/дохода на душу населения) не только в коротком, но и в длительном периоде (рисунок 6.12).

Увеличение темпа роста населения, как следует из выражения (6.23), повышает равновесный темп роста национального дохода. Но если при этом норма сбережений сохранится на прежнем уровне, то снизятся капиталовооруженность и производительность труда. Это иллюстрирует рисунок 6.13.

Повышение темпа прироста населения с n0 до n1 отображается сдвигом n0k → n1k. Теперь осуществляемых сбережений недостаточно для оснащения всех рабочих капиталом на уровне k0. Дефицит капитала повышает его цену, и предприниматели переходят к менее капиталоемким технологиям. Когда капиталовооруженность снизится до k1, тогда снова установится динамическое равновесие при повышенном темпе роста национального дохода, но с более низкой средней производительностью труда.

sy, nk

n1k n0k,

sy0 sy

E1 E0

Рисунок 6.13. Равновесный рост при повышении темпа прироста населения

sy1

k1 k0 k

Поскольку в модели Солоу устойчивый рост при полном использовании обоих факторов производства достигается при любой норме сбережений и темп прироста национального дохода всегда равен темпу прироста населения, то возникает проблема определения оптимальной нормы сбережения.

Допустим, что экономика находится в состоянии динамического равновесия и что с позиций национального хозяйства будущее потребление имеет такое же значение, как и сегодняшнее. Примем в качестве критерия оптимальности максимум потребления на одного занятого: C/N → max, и представим эту среднюю норму потребления в виде функции капиталовооруженности труда.

Так как

то

Средняя норма потребления достигает максимума при

а с учетом выражения (6.16) получаем

(6.24)

Следовательно, средняя норма потребления достигает максимума, когда темп прироста капитала равен предельной производительности капитала.

Умножим обе части равенства (6.24) на K/Y:

(6.25)

Выражение (6.25) означает, что экономика растет в равновесном темпе, максимизирующем среднюю норму потребления, если норма сбережений равна эластичности объема производства по капиталу. Сформулированное в такой форме условие оптимального роста получило название золотого правила накопления. Уровень сбережений (накопления капитала), обеспечивающий равновесный рост с наивысшим уровнем потребления называется Золотым уровнем накопления капитала.

Графический способ определения оптимальной нормы сбережений показан на рисунке 6.14.

На основе производственной функции и заданного темпа роста населения (предложения труда) строятся графики y(k) и nk. Затем к графику y(k) проводится касательная, параллельная прямой nk. Точка касания А указывает на значения y* и k*, обеспечивающие оптимальный рост. Капиталовооруженность труда достигнет оптимальной величины k*, если норма сбережений примет такое значение, что кривая sy пересечет прямую nk в точке пересечения последней с перпендикуляром Ak*. Отрезок AB представляет величину оптимальной средней нормы потребления.

y,

sy

nk y(k)

y* A nk

B sy

k* k

Итак, в противоположность посткейнсианским моделям, модель Р. Солоу обосновывает устойчивость равновесного роста рыночной экономики в длительном периоде. При этом, в отличие от посткейнсианских концепций, из неоклассической модели следует, что в условиях совершенной конкуренции при любой норме сбережений рыночная экономика тяготеет к сбалансированному росту, при котором национальный доход и капитал увеличиваются с темпом, равным темпу роста предложения труда. Увеличение же нормы сбережений ведет к росту капиталовооруженности и производительности труда, а темп роста национального дохода повышается при этом только в коротком периоде, сохраняя неизменное значение в длительном периоде.

Следует также иметь в виду, что стабильность динамического равновесия в модели Солоу основана на использовании производственной функции Кобба-Дугласа. Для других типов производственных функций равновесие может быть устойчивым не при всех значениях k, а для некоторых производственных функций равновесия может не быть вообще. Интересным также представляется следующий факт. Если в модели Солоу заменить производственную функцию Кобба-Дугласа производственной функцией Леонтьева, то возникнет посткейнсианская модель экономического роста.

[1] Подробнее см.: , , Леусский А И. Макроэкономика. – М., 2006, стр. 286-290.