Экономико-математические модели (тексты лекций для ОЗО) (стр. 5 )

Величины x1j, x2j, ..., xij, ..., xnj j-го столбца в этом случае будут описывать потребление j-й отраслью сырья, материалов, топлива и энергии на производственные нужды.

В зависимости от того, в каких единицах измеряются потоки продукции в балансе, существуют различные его варианты: в натуральном выражении, в денежном (стоимостном) выражении, в натурально-стоимостном, в трудовых измерителях. Мы рассмотрим баланс в стоимостном выражении, в котором потоки продукции измеряются на основе стоимости произведенной продукции в некоторых фиксированных ценах. Поскольку в этом случае величины хij отражают стоимость продукции, т. е. измеряются в одних и тех же единицах, их можно просуммировать.

Величина представляет собой сумму всех поставок i-й отрасли другим отраслям.

Сумма по столбцу характеризует производственные затраты j-й отрасли на приобретение продукции других отраслей.

На пересечении (n+1)-й строки и (n+1)-го столбца находится величина - так называемый промежуточный продукт экономики.

II квадрант МОБ отражает материально-вещественный состав конечной продукции всех отраслей материального производства. При этом под конечной понимается продукция, выходящая из сферы производства в область конечного использования. В конечную продукцию, как правило, включаются: накопление, возмещение выбытия основных фондов, прирост запасов, личное потребление населения, расходы на содержание государственного аппарата, здравоохранение, оборону и т. д., а также сальдо экспорта и импорта. В таблице 1.1. этот раздел дан укрупнённо в виде одного столбца, состоящего из величин Yi. Yi - конечное потребление продукции i-й отрасли. В развёрнутой схеме баланса конечный продукт каждой отрасли может быть показан подробно по направлениям использования, например: на потребление домашних хозяйств (C), инвестиции (I), расходы государства (G), экспорт (X) и др.

III квадрант МОБ характеризует стоимостной состав конечной продукции народного хозяйства. как суммы чистой продукции и амортизации. Важнейшими составляющими чистой продукции отрасли являются заработная плата, прибыль и налоги. Сумму амортизации и чистой продукции некоторой j-той отрасли называют условно-чистой продукцией этой отрасли (в дальнейшем обозначим её как Zj).

Четвёртый квадрант баланса находится на пересечении второго квадранта (конечной продукции) и строк третьего квадранта (условно-чистой продукции). Этим определяется содержание квадранта: он отражает конечное распределение и использование национального дохода. В результате перераспределения первоначально созданного национального дохода образуются конечные доходы населения, предприятий, государства. Данные четвёртого квадранта важны для отражения в межотраслевой модели баланса доходов и расходов населения, источников финансирования капиталовложений, для анализа общей структуры конечных доходов по группам потребителей. Важным является то, что итог четвертого квадранта, так же как второго и третьего, должен быть равен созданному за год национальному доходу.

Таким образом, в целом межотраслевой баланс в рамках единой модели объединяет балансы отраслей материального производства, баланс совокупного общественного продукта, национального дохода, балансы доходов и расходов населения. Следует отметить, что хотя валовая (промежуточная и конечная) продукция отраслей не входит в рассмотренные выше четыре квадранта, она представлена на схеме баланса в виде столбца, расположенного справа от второго квадранта, и в виде строки ниже третьего квадранта. Эти столбец и строка валовой продукции отраслей замыкают схему МОБ и играют важную роль как для проверки правильности заполнения квадрантов, так и для разработки экономико-математической модели межотраслевого баланса.

Выделяют два важнейших соотношения, отражающие экономическую сущность МОБ и являющиеся основой его математической модели.

Во-первых, рассматривая схему баланса по столбцам, можно сделать вывод, что итог материальных затрат любой потребляющей отрасли и её условно чистой продукции равен валовой продукции этой отрасли:

; j=1,...,n. (4.1)

Данное соотношение (4.1) отражает стоимостной состав продукции всех отраслей материальной сферы.

Во-вторых, рассматривая схему по строкам для каждой производящей отрасли, можно видеть, что валовая продукция той или иной отрасли равна сумме материальных затрат потребляющих её продукцию отраслей и конечной продукции данной отрасли:

; i=1,...,n. (4.2)

Формула (4.2) описывает систему из n уравнений, которые называются уравнениями распределения продукции отраслей материального производства по направлениям использования.

Просуммировав по отраслям уравнения (4.1), в результате получим:

При этом аналогичное суммирование уравнений (4.2) даст следующее:

Заметим, что левые части равенств равны, так как представляют собой весь совокупный (промежуточный и конечный) продукт, создаваемый экономикой. Первые слагаемые правых частей этих равенств также равны, их величина равна итогу первого квадранта. Следовательно, должно соблюдаться соотношение:

(4.3)

Левая часть уравнения (4.3) есть сумма третьего квадранта, а правая часть – итог второго квадранта. В целом же это уравнение показывает, что в межотраслевом балансе соблюдается важнейший принцип единства материального и стоимостного состава национального дохода.

4.2. Статическая модель межотраслевого баланса.

На важнейших соотношениях межотраслевого баланса основывается его экономико-математическая модель, разработанная В. Леонтьевым и получившая в экономической литературе название «метод затраты-выпуск» (input-output method). В современной экономической науке применяется целый класс моделей, основанных на применении метода «затраты-выпуск». Все они являются развитием базовой модели, на которой следует остановиться подробнее.

Целью построения модели МОБ является анализ перетока товаров между отраслями экономики, обеспечивающего такое функционирование производственного сектора, когда объем выпуска соответствует суммарному (т. е. производственному и конечному) спросу на товары.

Базовая модель межотраслевого баланса основывается на следующих предпосылках:

·  рассматривается экономика, состоящая из "чистых" отраслей; «чистая отрасль» - отрасль, выпускающая только один вид продукта; каждый продукт производится только одной отраслью;

·  все отрасли предполагаются взаимозависимыми в том смысле, что для производства своего продукта каждая из них использует результаты производства (продукты) других фирм и только их; иначе говоря, на данном уровне формализации применение отраслями невоспроизводимых производственных факторов не предусматривается;

·  в каждой отрасли имеется единственная технология производства; не допускается замещение одного ресурса другим;

·  взаимосвязь между выпуском продукции отраслей и затратами описывается линейными уравнениями; то есть – нормы производственных затрат не зависят от объема выпускаемой продукции;

·  вектор спроса на товары считается заданным, т. е. в модели отсутствуют как таковые оптимизационные задачи потребителей;

·  вектор выпуска товаров вычисляется, исходя из спроса, т. е. отсутствуют как таковые оптимизационные задачи фирм.

Эти допущения касаются, в основном, исходной модели. В действительности эти предположения, конечно, не выполняются. Даже на отдельном предприятии обычно выпускаются различные виды продукции, используются различные технологии, удельные затраты зависят от объема выпуска и в тех или иных пределах допускается замена одного сырья другим. Следовательно, эти предположения тем более неверны для отрасли. Тем не менее, как показала практика, модели, основанные на указанных выше предпосылках, вполне адекватны и применимы для проведения межотраслевых исследований.

В математической модели межотраслевого баланса используется предположение о том, что хij есть функция от объема производства продукции j-той отрасли: . В базовой модели МОБ используется предположение о пропорциональной зависимости между затратами и объемами производства, т. е. вводятся линейные однородные функции производственных затрат:

. (4.4)

Иными словами, предполагается, что для производства единицы продукции j-той отрасли требуется определённое количество затрат продукции i-той отрасли, равное aij. Коэффициент пропорциональности aij ≥ 0 называют коэффициентом прямых затрат продукции отрасли i на производство единицы продукции отрасли j. Величины aij рассчитываются следующим образом:

aij = xij / Xj, i, j = 1, 2,...,n.

Коэффициент прямых материальных затрат показывает, какое количество продукции i-той отрасли необходимо, если учитывать только прямые затраты, для производства единицы продукции j-той отрасли. В совокупности эти коэффициенты образуют квадратную матрицу, которая называется технологической матрицей (таблицей) межотраслевого баланса:

A = (aij), i, j = 1…n.

Коэффициенты прямых материальных затрат являются основными параметрами статической межотраслевой модели. Их значения могут быть получены двумя путями:

1) Статистически. Коэффициенты определяются на основе анализа отчётных балансов за прошлые годы. Их неизменность во времени определяется подходящим выбором отраслей.

2) Нормативно. Предполагается, что отрасль состоит из отдельных производств, для которых уже разработаны нормативы затрат. На их основе рассчитываются среднеотраслевые коэффициенты.

Рассмотрим некоторые свойства коэффициентов прямых материальных затрат. Среди них следует отметить следующие:

1. Неотрицательность, т. е. aij ≥ 0, i, j = 1…n. Это утверждение следует из неотрицательности величин xij и положительности валовых выпусков Xj.

2. Диагональные элементы матрицы А должны быть строго меньше
единицы: aii < 1. В противном случае производство в отдельных отраслях будет лишено всякого смысла, поскольку при aii ≥ 1 для собственного воспроизводства в отрасли затрачивается больше продукта, чем создается, а воспроизводство в масштабах всего хозяйства становится невозможным.

3. Для матриц межотраслевого баланса в стоимостном выражении обычно выполняются условия , j = 1…n. Иными словами - сумма элементов матрицы A по любому из столбцов меньше единицы.

С учётом формулы (5.4) систему уравнений вида 5.2, характеризующих межотраслевой баланс можно переписать в виде:

Хi = (ai1 x1 + ai2 x2 + ... + ain xn) + Yi, i = 1, 2,...,n

или

, i = 1…n (4.5)

Если ввести в рассмотрение матрицу коэффициентов прямых материальных затрат А, вектор-столбец валовой продукции X и вектор-столбец конечной продукции Y:

то система уравнений (4.5) в матричной форме примет вид:

X=AX+Y (4.6)

Данное уравнение, где A - постоянная технологическая матрица, и называется моделью межотраслевого баланса В. Леонтьева. Поскольку выражение AX можно интерпретировать как затраты производственной системы, то существует и другое название данной модели, широко используемое в зарубежной экономической науке – модель «затраты-выпуск».

С помощью этой модели можно выполнять три варианта расчетов:

1.  Задав в модели величины валовой продукции каждой отрасли (Хi), можно определить объёмы конечной продукции каждой отрасли (Yi):

Y= (E-A)X, (4.7)

где E обозначает единичную матрицу n-го порядка.

2.  Задав величины конечной продукции всех отраслей (Yi), можно определить величины валовой продукции каждой отрасли (Xi):

X=(E-A)-1 Y, (4.8)

где (E-A )-1 обозначает матрицу, обратную (E-A).

3.  Задав для ряда отраслей величины валовой продукции, а для всех остальных отраслей задав объёмы конечной продукции, можно найти величины конечной продукции первых отраслей и объёмы валовой продукции вторых. В этом варианте расчёта удобнее пользоваться не матричной формой модели (5.6), а системой линейных уравнений (5.5).

Основная задача базовой модели межотраслевого баланса состоит в отыскании такого вектора валового выпуска X, который при известной матрице прямых затрат A обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y. Поэтому следует подробнее рассмотреть модель МОБ, представленную в форме (4.8):

X = (E - A) -1 Y.

Следует отметить, что подобная форма представления модели межотраслевого баланса возможна только в том случае, если матрица (E - A) - невырожденная (т. е. если ее определитель не равен нулю), следовательно – существует обратная к ней матрица (E - A)-1.Обозначим обратную матрицу:

В = (E - A)-1

Матрица В называется матрицей полных затрат. В матричной форме уравнение (4.8) теперь запишется как:

X=BY (4.9)

Обозначим элементы матрицы В через bij, тогда из матричного уравнения (4.9) для любой i-той отрасли можно получить следующее соотношение:

, i = 1…n

Коэффициенты bij называются коэффициентами полных материальных затрат и, в отличие от коэффициентов прямых затрат aij, включают в себя как прямые, так и косвенные затраты всех порядков. Если прямые затраты отражают количество средств производства, израсходованных непосредственно при изготовлении данного продукта, то косвенные относятся к предшествующим стадиям производства и входят в производство продукта не прямо, а через другие (промежуточные) средства производства.

Экономический смысл элементов матрицы В заключается в том, что каждый элемент bij матрицы B есть величина валового выпуска продукции i-й отрасли, необходимого для обеспечения выпуска единицы конечного продукта j-й отрасли. Матрицу полных затрат часто называют матричным мультипликатором, поскольку она показывает межотраслевой эффект распространения спроса, первоначальным источником которого выступает спрос на конечную продукцию.

Тема 5. Макромодели общего экономического
равновесия

В данной теме рассматриваются модели основных макроэкономических рынков: рынка благ, рынка денег, рынка труда, являющиеся составными частями макромоделей общего экономического равновесия, отражающих закономерности развития экономической системы на макроуровне.

5.1. Модель рынка благ

Центральным звеном современных макроэкономических моделей является рынок благ. При изучении рынка благ отдельно от других рынков нам придется абстрагироваться от некоторых явлений, путем введения ряда допущений, таких как предположения о неизменности уровня цен (следовательно – об отсутствии различий между номинальными и реальными значениями экономических величин) и о совершенной эластичности предложения благ.

Покупателями на рынке благ являются четыре основных макроэкономических субъекта: домохозяйства, предпринимательский сектор, государство и заграница. Рассмотрим, от чего зависит объем спроса на блага каждого из них, учитывая разногласия, существующие в разных экономических школах.

Наблюдая за поведением домашних хозяйств, можно отметить, что к числу факторов, определяющих их спрос на рынке благ, относятся:

·  доход от участия в производстве;

·  налоги и трансфертные платежи;

·  размер имущества;

·  доход с имущества;

·  степень дифференциации населения по уровню доходов и размеру имущества;

·  численность и возрастная структура населения.

Если спрос домашних хозяйств на блага представить функцией от всех перечисленных факторов, то аналитические возможности такой функции будут существенно ограничены. Для получения действительно познавательной модели потребительского спроса, необходимо выделить наиболее существенные взаимосвязи изучаемого явления с окружающим миром. С этой целью мы объединим два первых фактора в единое понятие «располагаемый доход». Два последних фактора в коротком периоде являются экзогенными параметрами. Таким образом, остаются три существенных фактора: располагаемый доход, размер имущества и его доходность. В зависимости от того, какой из факторов считать наиболее значительным, можно построить несколько разновидностей функции спроса домашних хозяйств на рынке благ, получившей название «функция потребления».

Одной из наиболее часто используемых в макроэкономическом моделировании является функция потребления Дж. М.Кейнса.

При построении функции потребления Дж. М.Кейнс исходил из так называемой гипотезы абсолютного дохода, согласно которой потребление домашних хозяйств зависит от абсолютной величины текущего дохода. Характер этой зависимости он выразил так: « Основной психологический закон, в существовании которого мы можем быть вполне уверены не только из априорных соображений, исходя из нашего знания человеческой природы, но и на основании детального изучения прошлого опыта, состоит в том, что люди склонны, как правило, увеличивать свое потребление с ростом дохода, но не в той мере, в которой растет доход». В алгебраической форме кейнсианская функция потребления записывается уравнением (5.1).

C = Ca + c * Y; Ca > 0; 0 < c < 1, (5.1)

где Y – текущий доход домохозяйств (в макроэкономических моделях они принимается тождественно равным ВВП и национальному доходу)

Ca - величина автономного (независимого от текущего дохода) потребления;

c – предельная склонность к потреблению, показывающая. насколько увеличится потребление при увеличении текущего дохода на единицу: c= ∆C / ∆Y.

Для корректности нашего дальнейшего анализа следует уточнить, что домашние хозяйства принимают самостоятельно решение об использовании не всего, а только располагаемого дохода: YD = Y – t * Y. Поэтому более точным будет представлять функцию потребления в виде

C = Ca + cYD * YD; Ca > 0; 0 < cYD < 1, (5.1а)

где t – ставка подоходного налога;

cYD= ∆C / ∆YD предельная склонность к потреблению располагаемого дохода.

При c = cYD * (1 – t) выражения (5.1) и (5.1а) эквивалентны. Мы же на время абстрагируемся от различий между национальным и располагаемым доходом, понимая под Y и то, и другое.

Таким образом, кейнсианская функция потребления имеет вид, представленный на рисунке 5.1, и обладает тремя важными свойствами.

Во-первых, одним из ее параметров является предельная склонность к потреблению c, основанная на «основном психологическом законе» и лежащая в промежутке между 0 и 1.

Во-вторых, средняя склонность к потреблению (отношение потребления к доходу C / Y = Ca /Y + c) уменьшается по мере роста дохода и стремится к постоянной предельной склонности к потреблению (см. рисунок 5.2.). Из этого свойства, в частности, следует, что в кейнсианской концепции расширение производства потенциально содержит в себе возможность перепроизводства (все меньшая часть производимой продукции потребляется домохозяйствами).

В-третьих, основным фактором, определяющим потребление, является доход Y (а не процентная ставка, как считали представители классической школы).

C c, C /Y

C = Ca + c * Y C / Y

Ca c

Y Y

Поскольку сбережение есть непотребленная часть дохода, то в кейнсианской концепции функция сбережения получается в результате вычитания функции потребления из дохода:

S ≡ Y - C = Y – (Ca + c * Y) = - Ca + (1-c)Y = - Ca + s * Y,

где s ≡ ∆S / ∆Y – предельная склонность к сбережению, дополняющая предельную склонность к потреблению до 1: c + s = 1.

Практическая проверка функции (5.1) показала, что она достаточно точно описывает закономерности поведения потребителей в коротком (2-4 года) периоде. В то же время расчеты по фактическим данным, проводившиеся за более длительные промежутки времени, свидетельствуют о неизменности средней нормы потребления. Первым на это обратил внимание американский экономист Саймон Кузнец, получивший впоследствии за данное исследование Нобелевскую премию. “Загадка Кузнеца” активизировала исследования потребительского поведения. В частности, по одной из версий, следует признать наличие двух функций потребления – краткосрочной и долгосрочной. Существование этих функций объясняется инерционностью потребителя в принятии решений: при одном и том же изменении дохода его изменения в потреблении будут различными на разных временных отрезках в зависимости от того, как потребитель воспринимает изменения своего дохода (как временные или как постоянные). Другое объяснение “загадке Кузнеца”, т. е. тому обстоятельству, что свойства функции потребления, предложенной Кейнсом, не подтверждаются статистическими данными на длительных временных интервалах, дали исследования экономистов, предложивших модифицировать кейнсианскую функцию потребления. Наиболее интересными из них являются гипотеза “жизненного цикла” Ф. Модильяни и концепция перманентного дохода М. Фридмена, предложенные в 1950-х годах и уделяющие основное внимание в исследовании потребления длинному периоду. Обе эти концепции имеют общее микроэкономическое обоснование – они основаны на микроэкономической модели поведения потребителя, разработанной И. Фишером, в рамках которой изучается поведение потребителя, делающего межвременной выбор, то есть учитывающего в своем выборе относительно потребления различные периоды времени. Данная модель, в частности, утверждает, что в каждый момент времени бюджетное ограничение потребителя, следовательно – его решение о потреблении, зависит не только от текущего дохода, но и от того, сколько доходов он ожидает получить в течение всей жизни.

Принципиально иной подход к описанию спроса домашних хозяйств предлагают модели неоклассического направления.

В концепции неоклассиков индивид также принимает решения в рамках долгосрочного планирования, но, в отличие от кейнсианской концепции, доход индивида не является для него экзогенно заданным. Величину дохода индивид определяет сам, распределяя имеющееся у него время на свободное и рабочее. Решение о распределении времени на свободное и рабочее, а также о распределении текущего дохода между потреблением и сбережением, подчинено задаче максимизации благосостояния индивида в длительном периоде. В неоклассической концепции сбережение первично по отношению к потреблению: т. е., индивид в первую очередь определяет объем необходимых сбережений (необходимых для обеспечения определенного уровня потребления в будущем), и лишь затем формирует свое потребление как остаток от дохода.

 

i i

 

S (i)

C (i)

C S

а б

Рисунок 5.3. Неоклассические функции потребления (а) и сбережений (б)

Распределяя доход между текущим потреблением и сбережением, индивид вынужден решать проблему межвременного выбора, иными словами, это распределение зависит от: 1) степени предпочтения индивидом текущего потребления будущему и 2) установившейся меры вознаграждения за отказ от текущего потребления (эта мера представлена ставкой ссудного процента).

Таким образом, в концепции неоклассической школы объем свободного времени, а также объем потребления домашних хозяйств является убывающей функцией от ставки процента, а сбережения – функцией возрастающей.

Простейший линейный вид этой функции таков:

C (i) = Ca + YD – a * i,

где Ca– независимый от ставки процента объем потребления;

YD - располагаемый доход;

i – текущая ставка процента;

a - параметр, показывающий, на сколько единиц сократится потребление (возрастет сбережение), если ставка процента увеличится на один пункт.

Соответственно неоклассическая функция сбережений есть возрастающая функция от ставки процента:

S (i) = - Ca + a * i.

Общее графическое представление неоклассических функция потребления и сбережений представлено на рисунке 5.3.

Спрос предпринимательского сектора определяется его спросом на инвестиционные блага, которые необходимы предпринимателям для двух целей: восстановления изношенного капитала и увеличения реального капитала. Соответственно общий объем инвестиций (I) делится на реновационные, равные амортизации (A) и чистые (нетто) инвестиции (In). Экономисты выделяют три типа инвестиционных расходов: инвестиции в основные фонды предприятий; инвестиции в жилищное строительство; инвестиции в запасы. В целях упрощения нашего анализа мы сосредоточимся на анализе первого типа инвестиций.

Спрос на инвестиции является самой изменчивой частью совокупного спроса. Инвестиции сильнее всего реагируют на изменения экономической конъюнктуры, и, в свою очередь, часто бывают причиной конъюнктурных колебаний. Специфика воздействия инвестиций на экономическую конъюнктуру состоит в том, что в момент их осуществления возрастает спрос на блага, а предложение благ увеличится лишь через некоторое время, когда в действие вступят новые производственные мощности.

Все инвестиции в зависимости от причин, их вызывающих, принято разделять на два класса: индуцированные инвестиции и аавтономные инвестиции.

Если причиной инвестиций является устойчивое уведичение спроса на блага, то такие инвестиции называют индуцированными. Когда при полной загрузке производственных мощностей, используемых с оптимальной интенсивностью, возрастает и сохраняется в течение длительного периода повышенный спрос на блага, в интересах предпринимателей увеличить производственные мощности в целях изготовления дополнительной продукции.

Для определения объема индуцированных инвестиций используется коэффициент приростной капиталоемкости продукции (k), показывающий, сколько единиц дополнительного капитала требуется для производства дополнительной единицы продукции:

k ≡ ∆K / ∆Y.

При данной приростной капиталоемкости для увеличения производства с Y0 до Y1 необходимы индуцированные инвестиции в размере

Iин = k (Y1 - Y0).

Таким образом, индуцированные инвестиции являются функцией от прироста национального дохода. При равномерном приращении национального дохода объем индуцированных инвестиций постоянен. Следует отметить, что если в текущем году размер национального дохода сократился по сравнению с предыдущим годом (Yt < Yt-1), то индуцированные инвестиции принимают отрицательное значение. На практике это означает, что из-за сокращения производства предприниматели частично не восстанавливают изношенный капитал, поэтому отрицательная величина индуцированных инвестиций не может превысить размер амортизации (Iин ≤ - A).

Коэффициент приростной капиталоемкости k называют также акселератором, а расчет индуцированных инвестиций – моделью акселератора.

Нередко предпринимателям оказывается выгодно делать инвестиции и при фиксированном национальном доходе (при заданном спросе на блага). Прежде всего, это инвестиции в новую технику и повышение качества продукции. Такие инвестиции часто сами являются причиной увеличения национального дохода, но их осуществление не является следствием роста национального дохода, поэтому они называются автономными. На вопрос о том, какие факторы определяют объем автономных инвестиций, существует два ответа: кейнсианский и неоклассический.

Согласно неоклассической концепции, предприниматели осуществляют инвестиции, чтобы довести объем имеющегося капитала до оптимальных размеров. Зависимость инвестиций от объема функционирующего капитала можно представить формулой:

0 < β < 1, (5.5)

где - объем инвестиций за период t;

- объем капитала, существующего на начало периода t;

K* - оптимальный объем капитала;

β - коэффициент, характеризующий скорость приближения существующего объема капитала к оптимальному за период t.

Определение оптимального объема капитала хорошо известно из микроэкономического анализа. Оптимальным является размер капитала, обеспечивающий максимальную прибыль при существующей технологии и заданных ценах факторов производства. Прибыль достигает максимума, когда предельная производительность капитала (r ≡ dy / dk) равна предельным издержкам его использования. Предельные издержки использования капитала (издержки использования дополнительной единицы капитала) в условиях совершенной конкуренции определяются в условиях совершенной конкуренции путем суммирования ставки процента по финансовым активам i (так как фирма может либо заимствовать капитал, либо рассматривать ссуду как альтернативный вариант использования собственного капитала) и нормы амортизации d. Итак, при оптимальном объеме капитала достигается равенство:

r = i + d,

или, если отвлечься от амортизации: r = i.

Пусть технология производства задается функцией Кобба-Дугласа

y = KαN1-α .

Тогда

и прибыль достигает максимума при

.

Следовательно,

Подставляя полученное выражение в функцию (5.5) получим:

(5.5а)

Таким образом, оптимальный размер капитала для фирмы зависит от предельных издержек использования капитала, его предельной производительности (которая в нашем примере определяется технологическим параметром α) и ожидаемого объема выпуска. После достижения оптимального объема капитала фирмы будут осуществлять инвестиции только при снижении ставки процента, увеличении предельной производительности капитала или спроса на производимую продукцию: