Экономико-математические модели (тексты лекций для ОЗО) (стр. 3 )

На основе общей функции спроса Маршалла можно выявить функциональную зависимость спроса от дохода потребителя и от цены на товар. Графически это выражается в том, что в пространстве двух товаров можно построить кривые "доход-потребление" и "цена-потребление".

а) "Доход-потребление". Рассмотрим ситуацию, когда в распоряжении потребителя имеются два вида товара. Ранее, мы показали, что в точке потребительского выбора происходит касание кривой безразличия и бюджетной линии. Если мы будем увеличивать доход потребителя, сохраняя неизменными цены товаров, то при этом бюджетная линия будет двигаться в северо-восточном направлении координатной плоскости параллельно самой себе. При этом новая бюджетная линия будет касаться новой кривой безразличия в точке, соответствующей новому решению задачи потребительского выбора.

Соединив все полученные точки потребительского выбора, мы получаем кривую, названную Дж. Хиксом “доход-потребление” — геометрическое место точек пространства товаров, в которых кривые безразличия потребителя касаются бюджетных линий при разных уровнях бюджетных ограничений.

Рис. - Кривая “доход-потребление”.

Если кривая «доход - потребление» является прямой линией, выходящей из начала координат под углом 45°, это означает, что с ростом дохода потребитель в одинаковом размере увеличивает потребление обоих благ. Если же покупки увеличиваются непропорционально, то угол наклона бюджетной линии изменяется. В приведенном на рисунке примере первый товар является относительно менее ценным для потребителя, чем второй. В результате чего с изменением дохода происходит изменение структуры потребления.

В конце XIX в. немецкий статистик Э. Энгель сформулировал эмпирические законы потребления и построил кривые спроса от дохода, в соответствии с которыми с ростом дохода доля расхода на питание уменьшается, доля расхода на одежду и жилье остается стабильной и т. п. (функции спроса от дохода часто поэтому называют кривыми Энгеля). Этот же принцип разграничения групп товаров по типам функций спроса (потребления) от дохода использовал шведский экономист Л. Торнквист. Он предложил специальные виды функций (функции Торнквиста) для трех укрупненных групп товаров: первой необходимости (I), второй необходимости (II), предметов роскоши (III). Графики этих функций проводятся на рисунке.

Рис. Функции спроса от дохода (кривые Торнквиста)

б) "Цена-потребление". Если мы будем изменять цену первого товара, сохранив неизменным доход потребителя, то бюджетная линия будет поворачиваться вокруг точки . При этом новая бюджетная линия будет касаться новой кривой безразличия в точке, соответствующей новому решению задачи потребительского выбора.

Соединив все полученные точки потребительского выбора, мы получаем кривую “цена-потребление”.

x2

D/p2

D/p1 x1

Кривая «цена-потребление»

Кроме того, анализ изменения цен и дохода потребителя на объем потребления того или иного товара является основой для построения уравнений Слуцкого, характеризующих количественные зависимости между изменением цен на отдельные товары и доходов потребителей, с одной стороны, и структурой покупательского спроса — с другой. Наиболее просто основное уравнение Слуцкого формулируется так: изменение спроса на некоторый товар при повышении или снижении его цены складывается из двух частей: влияния непосредственного изменения спроса (т. е. изменения реальной возможности приобретать данный товар в результате изменения цены на него) и косвенного влияния в результате переключения спроса на другие товары.

Тема 3. Моделирование производственной сферы

3.1. Моделирование производственной сферы: основные понятия

Производственные возможности экономики в целом и её отдельных субъектов в любой момент времени определяются двумя группами факторов:

а) технологическими условиями производства, которые выражаются зависимостями между затратами различных ресурсов (воспроизводимых и невоспроизводимых) и выпуском продукции;

б) объемами и качеством наличных ресурсов.

Рассмотрим более подробно элементы, свойства и математическое описание ресурсно-технологических возможностей народного хозяйства.

Пусть:

X = (xi) обозначает вектор затрат ресурсов, i Î М, М = {1, ..., m};

Y = (уj) — вектор объемов производства, j Î N, N = {1, ..., n}.

Среди различных пар векторов (X, У) рассматриваются технологически допустимые пары, которые называются технологиями (или технологическими процессами). Технологическая допустимость означает возможность получить из затрачиваемых (используемых) ингредиентов вектора X вектор продукции Y.

Совокупность всевозможных допустимых технологий (X,Y) образует технологическое множествоZ.

Нас интересуют наиболее экономные преобразования ресурсов в продукты. Пусть (X1, Y1), (X2, Y2) — две допустимые технологии и (X1, Y1) ¹ (X2, Y2).

Технология (X1, Y1) называется более эффективной, чем (X2, Y2), если выполняется соотношение: X1, ≤ Х2, Y1 ≥ Y2, т. е. по первой технологии затраты не больше, а выпуски не меньше, причем хотя бы по одному ингредиенту затрат или выпуска имеет место строгое неравенство.

Технология (X*, Y*) называется эффективной (оптимальной по Парето), если не существует другой допустимой технологии, более эффективной, чем (X*, Y*). Множество всех эффективных технологий обозначим Z*.

При ограниченных невоспроизводимых ресурсах за определенный промежуток времени может быть произведено ограниченное количество продукции. Очевидно, что выбор эффективных вариантов производства продукции и использования ресурсов будет осуществляться на множестве Z*.

Технологическое множество Z и его подмножество эффективных технологий Z* можно описать в виде аппарата производственных функций.

Производственная функция характеризует взаимосвязь между затратами ресурсов и выпуском продукции, и при этом отражает максимально возможные объемы производства продуктов при определенных затратах ресурсов.

На микроуровне понятие «максимально возможный объем производства» используется в прямом смысле – как максимум выпуска конкретного вида продукции при определенных затратах ресурсов. На макроуровне объемы производства являются максимальными в том смысле, что при заданных затратах ресурсов нельзя увеличить производство ни одного продукта, не уменьшив при этом производство хотя бы одного другого продукта. В практических расчетах для построения производственной функции прибегают к выявлению статистически устойчивой взаимосвязи между затратами ресурсов и выпуском.

Таким образом, общая производственная функция – это своеобразная математическая модель сферы производства, обладающая внутренними экстремальными свойствами. По данным о «входе» X она позволяет определить эффективный «выход» Y.

Построение и анализ общей производственной функции национальной экономики представляет исключительно трудную задачу. Поэтому в прикладных исследованиях основное внимание уделяется частным видам общей производственной функции.

Производственная функция

yj = fj(Xj), Xj = (x1j, ..., xmj) (3.1)

характеризует максимально возможный объем выпуска продукта j в зависимости от использования разнообразных ресурсов. Каждой точке X0j соответствует единственный максимальный выпуск y0j.

Очевидно, что функция (3.1) описывает однопродуктовые технологии, но не применима для характеристики комплексных технологических процессов, выпускающих одновременно несколько видов продукции.

Существуют различные способы классификации производственных функций.

1.  По количеству усчитываемых факторов производственная функция может быть однофакторной:

y = f(x)

и многофакторной:

y = f(x1, ..., xm)

2.  По характеру взаимосвязи факторов в производственном процессе различают два основных типа производственных функций: производственные функции с взаимозаменяемыми ресурсами и производственные функции с взаимодополняемыми ресурсами, основные характеристики которых будут рассмотрены ниже.

3.  По способу отражения фактора времени выделяют статические и динамические ПФ.

ПФ является статической, если сама функция и её параметры не зависят от времени. ПФ называется динамической, если выполнено хотя бы одно из следующих условий:

- время входит в ПФ в качестве независимой переменной;

- параметры ПФ зависят от времени.

В динамической ПФ на макроуровне можно учесть, к примеру, научно-технический прогресс. В теории производственных функций различаются две основные формы НТП: 1) нейтральный, т. е. не относящийся к каким-либо производственным факторам в отдельности и не изменяющий их относительную эффективность; 2) материализованный в определенных производственных факторах (ненейтральный), что отражается в повышении их эффективности.

ПФ с нейтральным НТП имеет вид

y(t) = A(t)f[L(t), K(t)],

где А(t) — функция, отражающая влияние всех непосредственно не учитываемых факторов; условно это совокупное влияние можно принять за "нейтральный НТП". В частности, A(t) =, где а0 - параметр масштабирования и начальной эффективности производства (в момент t = 0 он переводит объемы используемых ресурсов в объем производства); — непрерывный темп прироста за счет нейтрального НТП.

Материализованный в производственных факторах НТП выражается динамикой их эффективности и . Если удается построить временные функции эффективности производственных факторов, то МПФ приводится к виду

y(t) = A(t)f[aL(t)L(t), aK(t)K(t)]

С помощью aL(t) и аK(t) объемы затрачиваемых ресурсов в различные моменты времени приводятся к одинаковому качеству (по их эффективности).

4.  По используемому математическому аппарату особе внимание уделяют классам линейных:

y = a0 + a1x1 + a2x2 +…+ amxm

и мультипликативных ПФ:

.

Наряду с производственными функциями в исследованиях производственных возможностей народного хозяйства широко применяются функции производственных затрат. Функция

Xi = φi (Y) (3.2)

называется функцией производственных затрат ресурса i от объемов выпуска разнообразных продуктов.

В экономическом анализе часто применяются функции затрат на производство одного продукта:

xij= φij (yj) (3.3)

Ниже будет показано, что функции производственных затрат могут интерпретироваться как функции, обратные производственным функциям с взаимодополняемыми ресурсами.

Как уже было отмечено, производственные функции и функции производственных затрат применяются в анализе производственных процессов на различных уровнях национальной экономики. С помощью производственных функций можно оценить эффективность функционирования производственной системы и использования в ней ресурсов, спрогнозировать влияние вносимых изменений и инноваций в производство, выбрать оптимальную стратегию эволюции производственных систем.

Хотя при этом могут использоваться однотипные математические описания, содержательный смысл и способы построения производственных функций (функций производственных затрат) на разных уровнях экономической системы существенно различаются.

На микроэкономическом уровне рассматриваемые математические модели являются описаниями конкретных (элементарных) технологий и выводятся из соответствующих технологических (инженерных) данных.

Производственные же функции (функции производственных затрат) сложных объектов (предприятий, отраслей, регионов, народного хозяйства в целом) являются математическими моделями, характеризующими абстрактные технологии, т. е. обобщенные зависимости между затратами ресурсов и выпусками продукции.

Прямой переход от моделей конкретных технологий к модели абстрактной технологии трудно осуществим из-за различий «языков» моделирования простых и сложных производственных объектов. В тех сравнительно редких случаях, когда объекты микро - и макроуровней описываются сходными математическими моделями, производственные функции (функции производственных затрат) сложных объектов могут строиться путем агрегирования соответствующих функций более простых объектов.

Как правило, построение обобщенной производственной функции (функции производственных затрат) представляет собой довольно сложную задачу моделирования абстрактной технологии. Здесь используются два основных подхода: оптимизационный и статистический. Эти подходы соответствуют двум основным типам моделей экономических объектов — структурным и функциональным.

Суть оптимизационного подхода состоит в том, что производственная функция (или функция производственных затрат) получается путем обобщения решений оптимизационной модели, в которой максимизируется объем производства конечного продукта при меняющихся условиях. Свойства построенной таким способом производственной функции определяются исходной оптимизационной моделью.

Статистический подход к построению обобщенных функций основан на обработке наблюдений о различных соотношениях затрат ресурсов и выпусков продукции. В математическом отношении он опирается на теорию корреляционного и регрессионного анализа. Процесс построения функции включает отбор существенных факторов, выбор вида функции (математической модели), статистическую оценку ее параметров, проверку статистической надежности. Найденная зависимость между затратами («входами») и выпусками («выходами») является функциональной моделью («черным ящиком») соответствующего производственного объекта.

3.2. Производственные функции с взаимозаменяемыми ресурсами.

3.2.1. Общие свойства функций

Предположение о взаимозаменяемости ресурсов в производственной функции уj= fj(Xj) означает, что один и тот же объем выпуска продукции может быть получен при разных комбинациях ресурсов, отличающихся тем, что затраты одних ресурсов больше, а других — меньше. Ниже мы будем опускать индекс j, если речь идет о функциях производства одного продукта.

Сформулируем некоторые общие свойства производственных функций с взаимозаменяемыми ресурсами:

а) если X = 0, то у = 0;

б) если ХА ≥ ХB, то f(XA) ≥ f(XB), причем если ХА > ХB, то f(XA) > f (ХB), из этого, в частности, следует, что

в) у >0 при X>0. Если у = 0 при положительных затратах некоторых ресурсов, но при xs = 0, то это означает, что ресурс s абсолютно необходим для производства хотя бы в малых количествах (например, труд, электроэнергия и т. п.).

Отмеченные свойства отражают ряд реальных условий производства и правил разумного хозяйствования.

Производственные функции могут задаваться не только в аналитической форме, но и в виде таблиц. В качестве примера приведем таблицу выпуска продукции в зависимости от затрат двух видов ресурсов: рабочей силы и средств производства (см. табл. 3.1).

Таблица 3.1

Пример табличной производственной функции с двумя взаимозаменяемыми ресурсами

Затраты средств производства Затраты Труда	10	20	30	40	50	60
50	44	55	63	69	75	80
60	69	88	100	110	119	126
70	91	115	132	145	156	166
80	110	139	159	174	188	200
90	128	162	185	203	218	232
100	145	183	209	230	247	263
110	160	202	231	254	273	291
120	175	221	253	277	299	318
130	189	239	273	300	323	344
140	203	256	293	322	347	369
150	216	273	313	343	370	393

Множество точек, удовлетворяющих уравнению постоянного выпуска
f(X) = q, называется изоквантой. На рис. 3.1 изображено семейство изоквант — кривых в пространстве двух ресурсов; эти изокванты соответствуют объемам выпуска продукции q1, q2, q3. В общем случае изокванты — это поверхности в пространстве ресурсов. Поскольку X > 0, то все изокванты находятся в неотрицательном ортанте.

В табл. 3.1 можно указать комбинации ресурсов, принадлежащие изоквантам, например: комбинации (60, 10) и (50, 40) дают q = 69; комбинации (80, 10) и (60, 40) дают q =110; (100, 10) и (70, 40) дают q = 145 и т. д.

Рис. 3.1. Изокванты производственной функции и изоклинали

Из общих свойств производственных функций вытекает ряд свойств изоквант:

·  они никогда не пересекаются друг с другом;

·  большему выпуску продукции соответствует более удаленная от начала координат изокванта;

·  если все ресурсы абсолютно необходимы для производства, то изокванты не имеют общих точек с осями координат.

Далее будут обсуждаться свойства изоквант, соответствующих определенным классам производственных функций.

3.2.2. Средняя и предельная эффективность использования ресурсов.

Для характеристики эффективности производственных ресурсов применяются два основных показателя:

средняя эффективность (производительность) ресурса

(3.7)

предельная эффективность(производительность) ресурса

(3.8)

Величина vi(X) показывает предельный прирост выпуска продукта при увеличении затрат ресурса i на "малую единицу". Из свойства (б) производственных функций с взаимозаменяемыми ресурсами следует, что vi ≥ 0. Как правило же, vi > 0. При этом особенно важен характер изменения эффективности дополнительных количеств используемого ресурса.

Если < 0, это означает, что предельная эффективность ресурса падает. Такая ситуация вполне объяснима. Например, если в производстве какого-либо продукта увеличивать затраты труда, сохраняя неизменными объемы других ресурсов, то предельная производительность труда будет снижаться из-за уменьшения вооруженности единицы труда средствами производства. Важно понимать, что уменьшение предельной эффективности ресурсов типично только в условиях экономической статики, т. е. при неизменном научно-техническом уровне и неизменном качестве используемых ресурсов.

Условие в экономической литературе часто называют законом убывающей предельной эффективности ресурсов.

На рис. 3.2 приведены три типичных графика, характеризующих влияние увеличения затрат ресурса i при неизменных объемах других ресурсов: 1 — изменение выпуска продукции у; 2 — изменение средней эффективности ресурса μi; 3 — изменение предельной эффективности ресурса vi. Как видим, функция 1 растет, но ее рост замедляется. Функции 2 и 3 убывают, причем предельная эффективность ниже средней эффективности.

Иначе изменяется средняя и предельная эффективность определенного (i-го) ресурса при увеличении затрат других ресурсов. Как правило, выполняются соотношения:

(3.9)

(3.10)

Рис. 3.2. Функции абсолютной (1), средней (2) и предельной (3) эффективности ресурса

Это объясняется тем, что увеличение затрат труда k улучшает условия применения ресурса i. Например, производительность труда зависит не только от качества самого труда, но и от условий приложения труда. В частности, производительность труда увеличивается при росте фондовооруженности.

3.2.3. Эквивалентная заменяемость ресурсов.

Изменение выпуска продукции при небольших изменениях затрат нескольких ресурсов выражается полным дифференциалом . Условия эквивалентной взаимозаменяемости ресурсов в точке Х° = (x0i) выводятся из формулы

(3.11)

В частности, предельная норма эквивалентной заменяемости каких-либо двух ресурсов h и l определяется формулой: