Экономико-математические модели (тексты лекций для ОЗО) (стр. 4 )

(3.12)

Процессу эквивалентного замещения одних ресурсов другими соответствует движение вдоль изокванты. Поэтому изокванту называют также кривой замещения.

Если затраты ресурса k увеличиваются, то для сохранения объема производства на прежнем уровне затраты ресурса l, как правило, можно уменьшить. Отсюда следует такое свойство изоквант: это убывающие функции по отношению к каждой оси (т. е. они имеют отрицательный наклон).

В пространстве двух ресурсов норма эквивалентной заменяемости — это тангенс угла между касательной к изокванте и соответствующей осью координат. На рис. 3.1 нормы эквивалентной заменяемости второго ресурса по отношению к первому в точках A1, В1 C1 равны тангенсам углов γА, γB, γС

Комбинации ресурсов, для которых предельные нормы эквивалентной замены одинаковы, образуют в пространстве ресурсов кривые, называемые изоклиналями. На рис. 3.1 изоклиналь I соединяет точки В1, В2, В3, а изоклиналь II — точки С1 С2, С3.

Анализ закономерностей изменения предельных норм эквивалентной замены позволяет еще более конкретизировать форму изоквант. При увеличении использования ресурса l его предельная эффективность падает, и поэтому дополнительные затраты этого ресурса высвобождают все меньшее количество ресурса k. Таким образом, предельная норма эквивалентной взаимозаменяемости двух ресурсов постоянно уменьшается.

Рассмотрим, к примеру, комбинации затрат из табл. 3.1, принадлежащие одной изокванте q = 273: А = (110, 50), В = (130, 30), С— (150, 20). Первое увеличение затрат труда на 20 ед. высвобождает 20 ед. средств производства, второе увеличение затрат труда на 20 ед. высвобождает уже только 10 ед. средств производства и т. д.

Это означает, что в пространстве двух ресурсов изокванты являются графиками вогнутых функций (одной переменной относительно другой). Если эта особенность предельных норм эквивалентной заменяемости распространяется на множество всех т ресурсов, то изокванты обладают двумя дополнительными свойствами: множества {X: f(X)≥ Q} выпуклы и изокванты имеют асимптоты, совпадающие с осями координат или параллельные им.

3.2.4. Эластичность выпуска.

Для характеристики влияния каждого ресурса на рост производства, помимо показателей средней и предельной эффективности, используется также понятие эластичности выпуска от затрат различных ресурсов. Коэффициент эластичности δi показывает предельное отношение относительного прироста производства к относительному приросту затрат i-го ресурса:

(3.13)

На рис. 3.3 изображены изокванты трех производственных функций, проходящие через одну точку (с координатами х01 =х02) и отличающиеся коэффициентами эластичности в этой точке. Изокванта II с равными коэффициентами эластичности симметрична относительно биссектрисы положительного ортанта. Изокванта I (δ1 < δ2) имеет относительно меньший наклон к оси х1, а изокванта III (δ1 > δ2), наоборот, больший наклон к оси х1.

Рис. 3.3. Изокванты и коэффициенты эластичности

В общем случае коэффициент эластичности — это непрерывная функция от X0. В экономических расчетах часто используются средние коэффициенты эластичности, определяемые не для каждой точки X0, а для некоторых интервалов изменения компонент вектора X0. Такие коэффициенты соответствуют формуле:

(3.14)

3.3. Производственные функции с взаимодополняемыми ресурсами и функции производственных затрат

Наблюдаемые изменения в структуре используемых ресурсов часто объясняются не столько замещением ресурсов в рамках одной и той же технологии производства, сколько изменением самих технологий или сочетанием различных жестких технологий. В предельном случае (при нулевой эластичности замены ресурсов) мы получаем производственную функцию с взаимодополняемыми ресурсами.

3.3.1. Основные понятия.

Производственная функция с взаимодополняемыми ресурсами может быть выражена следующим образом:

где fs(xs) - объем производства, который может быть получен при использовании s-ro ресурса в количестве xs при условии, что другие ресурсы имеются в достаточном количестве. Максимальный объем производства определяется узким местом, т. е. количеством такого ресурса, который обеспечивает наименьший объем производства.

Изокванты функци в пространстве двух ресурсов представляют собой прямые углы (рис. 3.5). Их расположение определяется тем, при каких минимальных затратах ресурсов достигаются определенные объемы производства. Кривые ОА1А2А3 характеризуют минимальные затраты ресурсов, обеспечивающие различные объемы производства. Все точки изоквант, не лежащие на этих кривых, являются неэффективными комбинациями затрачиваемых ресурсов при любых разумных критериях эффективности.

a)

б)

Рис. 3.5. Изокванты взаимодополняемых ресурсов:

а) - постоянные соотношения затрат; б) - изменяющиеся соотношения затрат

От функций (3.27) можем перейти к семейству обратных функций, характеризующих зависимости затрат от объемов производства, т. е. к функциям производственных затрат:

xs =φs(y), (sÎM)

φs(y) — это минимальное количество ресурса s, которое нужно затратить для выпуска продукта в количестве у.

Для анализа функций производственных затрат введем новые понятия: qs — средние затраты s-ro ресурса; hs — предельные затраты s-ro ресурса:

·  cредние затраты рассчитываются по формуле qs = xs/y;

·  Предельные затраты hs характеризуют прирост затрат ресурса s при увеличении выпуска продукции на "малую единицу": hs = dxs/dy.

В дальнейшем изложении индекс ресурса опускается; это позволяет интерпретировать получаемые результаты как относящиеся не только к определенному ресурсу, но и к совокупным производственным затратам (например, в ценностном выражении).

Соотношения между средними и предельными затратами зависят от свойств функции х = φ(y).

3.3.2. Типовые функции производственных затрат.

I. Наиболее простой функцией затрат является линейная однородная, характеризующая производственные процессы с постоянной эффективностью затрат:

x = ay; a > 0

Средние и предельные затраты функции постоянны и равны между собой: g=h=a (рис. 3.6)

Рис. 3.6. Линейная однородная функция (постоянная эффективность затрат)	Рис.3.7. Линейная неоднородная функция затрат

II. Линейная неоднородная функция включает две части затрат - пропорционально зависящие от объема производства и не зависящие от объема производства:

x = ay +b

где а > 0 и b > 0.

Средние затраты g = a + b/y являются убывающей нелинейной функцией (гиперболой), асимптотически приближающейся к постоянным предельным затратам h = а (рис. 3.7). Поскольку при нулевом выпуске бессмысленно осуществлять какие-либо затраты, этот момент следует предусмотреть особо:

III. Нелинейная функция возрастающей эффективности затрат отражает положительный экономический эффект концентрации производства:

Средние и предельные затраты - убывающие функции, причем предельные затраты всегда ниже средних (рис. 3.8).

Рис. 4.8. Нелинейная функция возрастающей эффективности	4.9. Нелинейная функция падающей эффективности

Одним из простейших примеров функции является х = ауа при а> 1.

IV.Нелинейная функция падающей эффективности затрат характерна для отраслей, деятельность которых тесно связана с использованием природных ресурсов:

Для увеличения добычи минерального сырья, например, часто приходится переходить к эксплуатации месторождений, шахт, рудников с более сложными горно-геологическими условиями или с более бедным содержанием полезных компонентов. Поэтому средние и предельные затраты увеличиваются, причем предельные затраты выше средних (рис. 3.9). Примером может служить функция х = ауа при 0 < а < 1.

3.3.3. Связь между производственными функциями с взаимозаменяемыми ресурсами и функциями производственных затрат.

Производственные функции с взаимозаменяемыми ресурсами и функции производственных затрат отражают противоположные принципы сочетания ресурсов в производственных процессах (взаимозаменяемость и взаимодополняемость); они порождают существенно разные системы экономических показателей. Поэтому может создаться впечатление, что между этими моделями производственных процессов нет никакой связи. Однако это не так.

Взаимозаменяемость ресурсов в процессе производства можно учитывать посредством сочетания фиксированных комбинаций взаимодополняемых ресурсов. Необходимым условием перехода от производственных функций с взаимозаменяемыми ресурсами к функциям с взаимодополняемыми ресурсами и функциями производственных затрат является линейность уравнений изоклиналей.

3.4. Основные виды производственных функций.

При построении производственных функций важным этапом является выбор математической зависимости от количества параметров, включаемых в аппроксимирующую функцию. На первый взгляд при заданном составе ресурсов производственная функция тем "лучше", чем больше она включает параметров. Однако на самом деле это не так. С увеличением числа оцениваемых параметров сильно возрастает число необходимых наблюдений, обеспечивающих точность и надежность статистических оценок (число наблюдений должно быть как минимум в 5—6 раз больше числа параметров). Усложняется и экономическая интерпретация свойств функции. Здесь мы сталкиваемся с типичным противоречием метода моделирования, когда стремление к возможно более полному и точному воспроизведению объекта-оригинала препятствует использованию главных преимуществ этого метода познания. Поэтому в теоретических и прикладных исследованиях (особенно на макроуровне) отдают, как правило, предпочтение производственным функциям с небольшим числом параметров, удобным для вычислений и интерпретации.

Среди всех производственных функций выделают так называемые неоклассические ПФ, удовлетворяющие некоторым свойствам:

1) если X = 0, то у = 0. Т. е. при отсутствии хотя бы одного ресурса нет выпуска продукции.

2) если ХА ≥ ХB, то f(XA) ≥ f(XB), причем если ХА > ХB, то f(XA) > f (ХB).

3) При X > 0, . С ростом потребления хотя бы одного ресурса объем выпуска возрастает.

4) При X > 0, . С ростом потребления одного ресурса при неизменном потреблении других ресурсов величина прироста выпуска на каждую дополнительную единицу ресурса убывает (закон падающей предельной производительности).

5) При X > 0, . С ростом потребления одного ресурса предельная эффективность другого возрастает.

6) Для любого λ выполняется соотношение . В этом случае говорят, что функция у = f(X) называется однородной n-й степени. Это означает, что при увеличении затрат всех ресурсов в λ раз объем производства возрастает в λn раз.

Показатель степени однородности n характеризует изменение эффективности производства с увеличением производственных затрат ("отдача на масштаб"). Теоретически возможны три случая: 1) эффективность остается постоянной (n = 1); 2) эффективность снижается (n < 1); 3) эффективность возрастает (n > 1). В условиях неизменного научно-технического уровня указанные ситуации имеют место в различных отраслях народного хозяйства.

Степень однородности n равна сумме коэффициентов эластичности выпуска по затрачиваемым ресурсам. Следовательно, для однородной производственной функции первой степени сумма коэффициентов эластичности равна единице.

Наиболее популярными являются следующие виды производственных функций.

1.  Степенная (мультипликативная) производственная функция. Широкое распространение в экономических исследованиях имеет функция вида

Она обладает рядом достоинств: включает небольшое число имеющих явный экономический смысл параметров, имеет производные высших порядков, в большинстве случаев удовлетворительно выравнивает эмпирические данные, весьма удобна для оценки параметров (в частности, благодаря тому, что является линейной относительно логарифмов: ). Эта функция включает только безусловно необходимые ресурсы: если какой-либо xs = 0, то у = 0.

Параметр а интерпретируется как показатель общей эффективности ресурсов (он приводит также в соответствие размерности затрачиваемых ресурсов и производимой продукции).

В соответствии с формулами (3.13), (3.14), (3.15):

·  предельная норма эквивалентной замены ресурсов для степенной функции равна: ;

·  коэффициент эластичности выпуска по i - му ресурсу δi = αi;

·  коэффициент эластичности замены ресурсов σkl = 1.

·  изоклиналь степенной производственной функции — луч, исходящий из начала координат.

В макроэкономических исследованиях чаще всего применяется функция, характеризующая зависимость производства национального дохода (конечного общественного продукта) от объемов использования двух основных производственных факторов — рабочей силы (L) и производственных фондов (К):

Функцию (3.22) впервые построили и применили в экономическом анализе американские исследователи К. Кобб и П. Дуглас. Впоследствии она стала называться функцией Кобба — Дугласа.

Характеристики использования ресурсов, выводимые из функции Кобба—Дугласа, имеют сравнительно простую аналитическую форму:

·  средние эффективности ресурсов: , ;

·  предельные эффективности ресурсов: , .

Коэффициенты эластичности характеризуют влияние увеличения затрат (использования) труда и производственных фондов на рост производства. Принято называть производственный процесс т р у д оинтенсивным, если aL > ак, и фондоинтенсивным, если aK>aL.

Частным случаем функции Кобба-Дугласа является функция первой степени, для которой aL + ак = 1. Ее можно записать в виде

Функцию Кобба — Дугласа удобно использовать для анализа зависимости производительности труда (y/L) от его фондовооруженности (K/L). При условии aL + ак = 1 следует

Поскольку по смыслу аL, > 0, то производительность труда растет медленнее фондовооруженности. Однако этот вывод, строго говоря, справедлив только для экономической статики, т. е. в рамках существующих технических условий и качественных характеристик ресурсов.

2.  Функция с постоянной эластичностью замены ресурсов. Рассматриваемая производственная функция (функция ПЭЗ) имеет общий вид

Она является однородной функцией степени n и получается решением дифференциального уравнения при σ = const, где σ определяется формулой (3.15). В функции ПЭЗ все эластичности замены ресурсов σkl равны между собой: σkl = σ, при этом или .

Если ρ > 0, то 0 < σ < 1; если же -1 < ρ < 0, то σ > 1. Функция ПЭЗ в общем случае имеет неединичную эластичность замены. При σ = 1 (или ρ → 0) функция ПЭЗ преобразуется в степенную производственную функцию (3.21). Это означает, что рассматривавшиеся выше степенные производственные функции (в том числе макроэкономическая функция Кобба—Дугласа) являются предельным случаем функции ПЭЗ.

При ρ → —1 (σ → +∞) эластичность замещения стремится к бесконечной и форма изоквант приближается к линейной. При ρ → +∞ (σ →0) эластичность замещения стремится к нулевой и форма изоквант приближается к прямоугольной.

В макроэкономическом анализе чаще всего применяется двухфакторная функция ПЭЗ (ее называют также функцией Солoу):

3.  Производственная функция Леонтьева

Производственная функция Леонтьева относится к классу функций с взаимодополняемыми ресурсами и имеет вид:

Y = min{aK, bL}.

Изокванты ПФ Леонтьева имеют вид прямых углов с вершинами, имеющими координаты L = C/b, K = C/a.

Функция является однородной и удовлетворяет основным свойствам неоклассических ПФ. Предельная норма замещения ресурсов при переходе через угловую оку изокванты меняется от нуля до бесконечности.

ПФ Леонтьева широко используется для моделирования производственных процессов в системах производства мелкого масштаба и для описания автоматизированных производственных систем.

Тема 4. Моделирование межотраслевых связей

Идея о взаимозависимости различных секторов хозяйства впервые была высказана в учении французских физиократов XVIII века. Основатель школы физиократов Франсуа Кенэ () в своей «Экономической таблице» (1758 г.) пытался показать, как обращается в натуральной и денежной форме создаваемый в земледелии валовой и чистый продукт, иными словами - как происходит движение товаров и денег между различными секторами экономики. И хотя анализ, проведенный в «Экономической таблице», существенно упрощал реальные взаимосвязи, существовавшие в экономике того времени, исследования Ф. Кене можно с полным правом считать первой в истории мировой экономической мысли межотраслевой моделью экономики.

Большое внимание изучению межотраслевых связей и пропорций уделял Карл Маркс (). Результатом этих исследований стали схемы общественного воспроизводства, содержащиеся во II томе «Капитала», с помощью которых К. Маркс показал теоретическую возможность полной реализации всего общественного продукта как основы установления общего экономического равновесия.

Серьезные теоретические исследования внутренних взаимосвязей, возникающих в экономической системе, были осуществлены экономистом лозаннской школы маржинального анализа Леоном Вальрасом (1834 – 1910), которому по праву принадлежит заслуга первого полного теоретического определения принципа взаимозависимости экономических субъектов и рынков. Созданная им замкнутая модель общего экономического равновесия была изложена в работе "Элементы чистой политической экономии" (1874).

В основе модели Вальраса лежит разделение всех экономических субъектов на две группы: домохозяйства и предприниматели. Под домохозяйствами подразумеваются собственники факторов производства (труда, капитала, земли), под предпринимателями - покупатели факторов производства и одновременно производители товаров и услуг. Таким образом, у Вальраса владельцы факторов производства являются одновременно их продавцами и покупателями предметов потребления, а предприниматели - покупателями факторов производства и продавцами потребительских благ. Следовательно, производство и потребление оказываются связанными посредством двух взаимодействующих рынков: рынков производительных услуг (или факторов производства) и потребительских продуктов. Главным регулирующим механизмом достижения равновесия, то есть согласования спроса и предложения на всех рынках, Вальрас считал изменение структуры равновесных цен. В модели утверждается, что существует такая система цен, при которой происходит согласование интересов предпринимателей и домашних хозяйств, достигается равенство спроса и предложения по всем товарам и услугам в целом, а следовательно - оптимальное распределение ресурсов и максимальный уровень удовлетворения потребностей.

Модель Вальраса, хотя и являлась логически завершенной, носила излишне абстрактный характер, так как исключала многие важные элементы реальной экономической жизни. Кроме того, огромное количество неизвестных и уравнений в модели делали невозможным ее практическое применение. Тем не менее, модель Вальраса дала толчок экономической мысли к поиску моделей динамического равновесия и экономического роста.

Подлинный прорыв в направлении практического использования теории общего равновесия в анализе межотраслевых связей был сделан Василием Леонтьевым (), выпускником Санкт-Петербургского университета, ученым Гарвардского университета (США).

В качестве профессора Гарвардского университета В. Леонтьев проводил исследования с целью построения таблицы «затраты-выпуск», отражающей межотраслевые связи в экономике США. За создание метода межотраслевых исследований, получившего название «затраты-выпуск», а также за проведение с использованием этого метода ряда практически значимых исследований В. Леонтьев был удостоен в 1973 году Нобелевской премии.

4.1. Сущность и основные понятия межотраслевого баланса.

Модель межотраслевого баланса, или модель «затраты-выпуск», созданная В. Леонтьевым, позволяет объяснить, как производственная система создает продукцию конечного спроса: для потребления, инвестиций и экспорта. Она достаточно проста и хорошо отражает реальную действительность, что позволяет ей служить полезным рабочим инструментом на практике: благодаря модели Леонтьева была создана таблица межотраслевых связей, которая во многих странах используется для описания национальной экономики в целом.

Основой для предложенной В. Леонтьевым экономико-математической модели является межотраслевой баланс – один из способов представления статистической информации об экономике страны. Он строится на основе агрегирования результатов деятельности отдельных предприятий и представляет собой шахматную таблицу, характеризующую связи между различными отраслями экономики.

В межотраслевом балансе все отрасли рассматриваются как взаимозависимые - для производства своего продукта каждая из отраслей использует результаты производства (продукты) других фирм. При этом принципы классификации отраслей в межотраслевом балансе отличаются от принятых в статистической практике. В экономической статистике под отраслью понимается совокупность предприятий, сгруппированных по признаку преобладания в выпуске отрасли определенных видов продукции (т. н. «хозяйственная отрасль»). МОБ же составляется по «чистым» отраслям, которые представляют собой совокупность однородных групп продуктов и услуг. Переход от «хозяйственных» к «чистым» отраслям осуществляется по данным специальных обследований с использованием экономико-математических методов и методов статистики.

Вся национальная экономика представляется в виде совокупности n отраслей, каждая из которых производит свою продукцию. При этом каждая отрасль выступает, с одной стороны, как производитель некоторой продукции, а с другой - как потребитель продукции и своей, и произведенной другими отраслями. Часть продукции идет на внутрипроизводственное потребление данной отраслью и другими отраслями (т. н. промежуточный продукт), а другая часть предназначена для целей конечного потребления (конечный продукт).

Рассмотрим схему межотраслевого баланса (далее – МОБ) в разрезе его крупных составных частей (таблица 1.1.).

В межотраслевом балансе выделяются четыре части, имеющие различное экономическое содержание, они называются квадрантами баланса и на схеме обозначены римскими цифрами.

I квадрант МОБ — это шахматная таблица межотраслевых взаимо-связей по использованию продукции на текущее производственное потребление. Он представляет собой квадратную матрицу, состоящую из (n+1) строки и (n+1) столбца. Этот раздел является важнейшей частью баланса, поскольку именно здесь содержится информация о межотраслевых связях. Показатели, помещённые на пересечениях строк и столбцов, представляют собой величины межотраслевых потоков продукции и в общем виде обозначаются хij, где i и j - соответственно номера отраслей производящих и потребляющих. Величины хij характеризуют межотраслевые поставки сырья, материалов, топлива и энергии, обусловленные производственной деятельностью. Так величина х23 понимается как стоимость продукции, произведённой в отрасли с номером 2 и потреблённой в качестве материальных затрат в отрасли с номером 3.

Таблица 1.1.

Схема межотраслевого баланса

Распределение продук- ции Затраты на производство	Текущее производственное потребление в отраслях	Конечная продукция (по элементам)	Валовой продукт
1	2	…	n	итого
Материальные затраты отраслей
1			…
2			…
...	Квадрант I		Квадрант II
N			…
ИТОГО			…
Условно-чистая продукция (по элементам)			…			Квадрант IV
Квадрант III
Валовой продукт			…

В i-й строке величины xi1, xi2, ..., xij, ..., xin описывают распределение продукции i-й отрасли как элементов производства для других отраслей.