Экономико-математические модели (тексты лекций для ОЗО) (стр. 2 )

3. Математический анализ модели. Целью этого этапа является выяснение общих свойств модели. Здесь применяются чисто математические приемы исследования. Наиболее важный момент — доказательство существования решений в сформулированной модели (теорема существования). Если удастся доказать, что математическая задача не имеет решения, то необходимость в последующей работе по первоначальному варианту модели отпадает; следует скорректировать либо постановку экономической задачи, либо способы ее математической формализации. При аналитическом исследовании модели выясняются такие вопросы, как, например, единственно ли решение, какие переменные (неизвестные) могут входить в решение, каковы будут соотношения между ними, в каких пределах и в зависимости от каких исходных условий они изменяются, каковы тенденции их изменения (асимптотические свойства) и т. д. Аналитическое исследование модели по сравнению с эмпирическим (численным) имеет то преимущество, что получаемые выводы сохраняют свою силу при различных конкретных значениях внешних и внутренних параметров модели.

Знание общих (качественных) свойств модели имеет столь важное значение, что часто ради доказательства подобных свойств исследователи сознательно идут на идеализацию первоначальной модели. И все же модели сложных экономических объектов с большим трудом поддаются аналитическому исследованию. В тех случаях, когда аналитическими методами не удается выяснить общих свойств модели, а упрощения модели приводят к недопустимым результатам, переходят к численным методам исследования.

4. Подготовка исходной информации. Моделирование предъявляет жесткие требования к системе информации. В то же время реальные возможности получения информации ограничивают выбор моделей, предназначаемых для практического использования. При этом принимается во внимание не только принципиальная возможность подготовки информации (за определенный срок), но и затраты на подготовку соответствующих информационных массивов. Эти затраты не должны превышать эффект от использования дополнительной информации.

В процессе подготовки информации широко используются методы теории вероятностей, теоретической и математической статистики (организация выборочных обследований, оценка достоверности данных, определение вероятных значений параметров и т. п.). При системном экономико-математическом моделировании исходная информация, используемая в одних моделях, является результатом функционирования других моделей.

5. Численное решение. Этот этап включает разработку алгоритмов для численного решения задачи, составление программ на ЭВМ и непосредственное проведение расчетов. Трудности этого этапа обусловлены прежде всего большой размерностью экономических задач, необходимостью обработки значительных массивов информации.

Обычно расчеты по экономико-математической модели носят многовариантный характер. Благодаря высокому быстродействию современных ЭВМ удается проводить многочисленные «модельные» эксперименты, изучая «поведение» модели при различных изменениях некоторых условий. Исследование, проводимое численными методами, может существенно дополнить результаты аналитического исследования, а для многих моделей оно является единственно осуществимым. Класс экономических задач, которые можно решать численными методами, значительно шире, чем класс задач, доступных аналитическому исследованию.

6. Анализ численных результатов и их применение. На этом заключи­тельном этапе цикла встает вопрос о правильности и полноте результатов моделирования, о степени практической применимости последних.

Математические методы проверки могут выявлять некорректные построения моделей (доказывается неразрешимость модели или не подтверждаются принятые статистические гипотезы) и тем самым сужать класс потенциально правильных моделей. Неформальный анализ теоретических выводов и численных результатов, получаемых посредством модели, сопоставление их с имеющимися знаниями и фактами действительности также позволяют обнаруживать недостатки постановки экономической задачи, сконструированной математической модели, использовавшейся информации. На основе этих результатов определяются направления совершенствования модели, ее информационного и математического обеспечения.

Взаимосвязи этапов. На рис. 2.2 изображены связи между этапами одного цикла экономико-математического моделирования. Первые пять этапов более дифференцированно характеризуют процесс экономико-математического моделирования, чем общая схема моделирования (см. рис. 2.1): этапы 1 и 2 соответствуют этапу I общей схемы, а этапы 3, 4, 5 - этапу II общей схемы. Наоборот, заключительный этап 6 включает этапы III и IV общей схемы (перенос знаний о модели на объект-оригинал, проверку и применение этих знаний).

Рис. 1.2. Связи этапов экономико-математического моделирования

Обратим внимание на возвратные связи этапов, возникающие вслед­ствие того, что в процессе исследования обнаруживаются недостатки предшествующих этапов моделирования.

Уже на этапе построения модели может выясниться, что постановка задачи противоречива или приводит к слишком сложной математической модели. В соответствии с этим исходная постановка задачи корректируется. Далее математический анализ модели (этап 3) может показать, что небольшая модификация постановки задачи или ее формализации дает интересный аналитический результат.

Наиболее часто необходимость возврата к предшествующим этапам моделирования возникает при подготовке исходной информации (этап 4). Может обнаружиться, что необходимая информация отсутствует или же затраты на ее подготовку слишком велики. Тогда приходится возвращаться к постановке задачи и ее формализации, изменяя их так, чтобы приспособиться к имеющейся информации.

Поскольку экономико-математические задачи могут быть сложны по своей структуре, иметь большую размерность, то часто случается, что известные алгоритмы и программы для ЭВМ не позволяют решить задачу в первоначальном виде. Если невозможно в короткий срок разработать новые алгоритмы и программы, исходную постановку задачи и модель упрощают: снимают и объединяют условия, уменьшают число факторов, нелинейные соотношения заменяют линейными, усиливают детерминизм модели и т. д.

Недостатки, которые не удается исправить на промежуточных этапах моделирования, устраняются в последующих циклах. Но результаты каждого цикла имеют и вполне самостоятельное значение. Начав иссле­дование с построения простой модели, можно быстро получить полезные результаты, а затем перейти к созданию более совершенной модели, дополняемой новыми условиями, включающей уточненные математические зависимости.

По мере развития и усложнения экономико-математического моделирования его отдельные этапы обособляются в специализированные области исследований, усиливаются различия между теоретико-аналитическими и прикладными моделями, происходит дифференциация моделей по уровням абстракции и идеализации.

Теория математического анализа моделей экономики развилась в особую ветвь современной математики — математическую экономику. Модели, изучаемые в рамках математической экономики, теряют непосредственную связь с экономической реальностью; они имеют дело с исключительно идеализированными экономическими объектами и ситуациями. При построении таких моделей главным принципом является не столько приближение к реальности, сколько получение возможно большего числа аналитических результатов посредством математических доказательств. Ценность этих моделей для экономической теории и практики состоит в том, что они служат теоретической базой для моделей прикладного типа (других уровней абстракции и идеализации).

Довольно самостоятельными областями исследований становятся подготовка и обработка экономической информации и разработка математического обеспечения экономических задач (создание баз данных и банков информации, программ автоматизированного построения моделей и программного сервиса для экономистов-пользователей). На этапе практического использования моделей ведущую роль должны играть специалисты в соответствующей области экономического анализа, планирования, управления. Главным участком работы экономистов-математиков (специалистов по экономической кибернетике) остается постановка и формализация экономических задач и синтез процесса экономико-математического моделирования.

1.3. Классификация экономико-математических моделей

Математические модели, используемые в экономических исследованиях, носят название экономико-математических моделей, все множество которых можно разделить на отдельные группы в зависимости от критериев классификации. В частности, помимо общего разделения экономико-математических моделей на структурные и функциональные, выделяют следующие их классы:

·  по целевому назначению – теоретико-аналитические, используемые в исследованиях общих свойств и закономерностей экономических процессов, и прикладные, применяемые в решении конкретных экономических задач;

·  по характеру использования – дескриптивные (описательные) и нормативные (предполагающие целенаправленную деятельность); примером дескриптивной модели являются некоторые виды производственных функций, а типичными примерами нормативных моделей выступают оптимизационные задачи; следует отметить, что в зависимости от условий использования, одна и та же модель может быть и дескриптивной, и нормативной;

·  по характеру отражения причинно-следственных связей – детерминистские и вероятностные;

·  по способам отражения фактора времени – статические и динамические; в статических моделях все зависимости относятся к одному моменту или периоду времени, в то время как динамические модели характеризуют изменения экономически процессов во времени;

Кроме того, по данному признаку можно выделить: матричные модели; модели линейного и нелинейного программирования; корреляционно-регрессионные модели; модели сетевого планирования; модели теории игр.

·  По соотношению экзогенных и эндогенных переменных, включаемых в модели, они могут разделяться на открытые и закрытые. Полностью открытых моделей не существует; модель должна содержать хотя бы одну эндогенную переменную. Полностью закрытые экономико-математические модели, т. е. не включающие экзогенных пе­ременных, исключительно редки; их построение требует полного абстрагирования от «среды», т. е. серьезного огрубления реальных экономических систем, всегда имеющих внешние связи. Подавляющее большинство экономико-математических моделей занимает промежуточное положение и различаются по степени открытости (закрытости).

·  По степени детализации элементов и взаимосвязей модели народнохозяйственного уровня подразделяются на агрегированные и детализированные. В дальнейшем для народнохозяйственных моделей с очень высокой степенью детализации моделируемых процессов используется краткий термин «микромодель», а для агрегированных народнохозяйственных моделей — термин «макромодель».

·  В зависимости от того, включают ли народнохозяйственные модели пространственные (территориальные) факторы и условия или не включают, различают модели пространственные и точечные.

·  По степени использования статистических методов - эконометрические и неэконометрические

·  По способу получения решения – аналитические и имитационные.

Таким образом, общая классификация экономико-математических моделей включает более десяти основных признаков. С развитием экономико-математических исследований проблема классификации применяемых моделей усложняется. Наряду с появлением новых типов моделей (особенно смешанных типов) и новых признаков их классификации осуществляется процесс интеграции моделей разных типов в более сложные модельные конструкции.

Тема 2. Моделирование сферы потребления

Теория потребительского выбора изучает поведение потребителя на рынке. Потребитель характеризуется своими предпочтениями и доходом, который он готов потратить на приобретение товаров, а рынок – наборами товаров (потребительскими наборами) и ценами единиц товаров.

Будем предполагать, что в распоряжении потребителя имеются различных видов товаров. Результатом выбора потребителя является приобретаемый им набор товаров (потребительский набор).

Множество всех возможных потребительских наборов, доступных потребителю образуют так называемое пространство товаров.

Будем предполагать, что система предпочтений потребителя является стандартной. Стандартная система предпочтений удовлетворяет аксиоме полноты, аксиоме рефлексивности и аксиоме транзитивности. Кроме того, стандартные предпочтения потребителя могут обладать свойством непрерывности, свойством ненасыщаемости и свойством выпуклости.

Аксиома полноты предполагает, что любые два потребительских набора потребитель может сравнить и сказать, что он либо предпочитает один набор другому, либо для него эти наборы являются равноценными.

Аксиома рефлексивности предполагает, что для потребителя любой потребительский набор не хуже себя самого.

Свойство непрерывности предполагает, что бесконечно малое изменение количества товара того или иного вида в потребительском наборе не изменяет оценку данного набора потребителем.

Свойство ненасыщаемости предполагает, что увеличение количества того или иного вида товара в потребительском наборе, оценка данного набора приводит лишь к улучшению оценки данного набора потребителем.

2.1. Функции полезности и кривые безразличия

Припишем каждому потребительскому набору , принадлежащему пространству товаров, некоторую количественную оценку данного набора со стороны потребителя Таким образом, на пространстве товаров мы зададим функцию полезности потребителя.

Функцией полезности потребителя называют функцию , которая удовлетворяет следующим условиям:

1. Для любых двух наборов товаров x и y, таких, что выполняется .

2. Для любых двух наборов товаров x и y, таких, что выполняется .

Значение, которое принимает функция полезности на конкретном наборе товаров, называют полезностью данного набора.

С понятием функции полезности связано понятие предельной полезности какого либо вида товара.

Предельной полезностью i-го вида товара ( - marginal utility (англ.)) называют дополнительную полезность, которую получит потребитель от потребления каждой дополнительной единицы товара данного вида

Функция полезности потребителя обладает следующими свойствами:

1. C увеличением потребления какого либо товара значение функции полезности потребителя возрастает:

2. C увеличением потребления какого либо товара предельная полезность данного вида товара убывает (закон Госсена):

.

3. Если с увеличением потребления i-го вида товара увеличивается потребление j-го товара, то предельная полезность i-го вида товара увеличивается:

.

Замечание: данное свойство имеет место лишь в том случае, когда товары являются взаимозаменяемыми.

Выделяют следующие основные виды функций полезности:

1. Функция полезности для совершенных товарозаменителей:

Данное семейство функций полезности описывает предпочтения потребителя соответствующие полностью взаимозаменяемым товарам, т. е. ситуации, когда уменьшение потребление, какого либо вида товара может быть компенсировано потреблением дополнительных единиц любого другого товара. Коэффициенты представляют собой пропорции, в которых один товар может быть заменен другим.

2. Функция полезности с полным дополнением благ (функция полезности Леонтьева):

Данное семейство функций полезности описывает предпочтения потребителя соответствующие полностью взаимодополняемым товарам, т. е. ситуации, когда потребителю важно приобретать товары в определенной пропорции. Коэффициенты представляют собой пропорции, в которых потребителю важно приобретать товары.

3. Неоклассическая функция полезности (функция полезности Кобба-Дугласа):

Данное семейство функций полезности описывает предпочтения потребителя, обладающие свойством выпуклости, т. е. ситуацию, когда потребителю важно включать в набор какое-то количество единиц каждого товара. При этом уменьшение потребления какого-либо товара может быть скомпенсировано за счет увеличения потребления других товаров. Здесь величины представляют весовые коэффициенты, описывающие предпочтения потребителя между различными видами товаров, A представляет собой масштабирующий множитель.

Множество наборов товаров, обеспечивающих потребителю заданный уровень полезности (являющихся одинаково полезными для потребителя) называют кривой безразличия.

Пусть на пространстве товаров задана функция полезности и u* - выбранный потребителем уровень полезности, тогда кривой безразличия уровня u* называют множество наборов товаров

Очевидно, что семейство кривых безразличия представляет собой семейство линий уровня для функции полезности потребителя.

Рассмотрим основные свойства кривых безразличия:

1. Кривые безразличия, соответствующие различным уровням полезности, не пересекаются и не имеют общих точек. Это утверждение непосредственно следует из определения кривой безразличия.

2. В случае, когда предпочтения потребителя обладают свойством ненасыщаемости, чем дальше на северо-восток на координатной плоскости располагается кривая безразличия, тем более высокому уровню полезности она соответствует.

3. Кривая безразличия представляет собой график убывающей функции.

4. В случае стандартных предпочтений потребителя, кривая безразличия представляет собой график выпуклой вниз функции.

Выделяют следующие основные виды кривых безразличия:

1. Совершенные товарозаменители.

Вспомним, что в этом случае функция полезности имеет вид:

Следовательно, уравнение кривой безразличия:

Таким образом, в случае совершенных товарозаменителей кривые безразличия представляют собой прямые линии с отрицательным коэффициентом наклона к положительному направлению оси абсцисс.

Рис. 1. - Семейство кривых безразличия в случае совершенных товарозаменителей.

2. Выпуклые предпочтения потребителя

Вспомним, что данные предпочтения описываются функцией полезности Кобба-Дугласа:

Отсюда получаем уравнение кривой безразличия:

Кривые безразличия представляют собой семейство гипербол, расположенных в первой координатной четверти.

Рис. 2. - Семейство кривых безразличия в случае выпуклых предпочтений

3. Взаимодополняемые товары.

Как мы знаем, в этом случае функция полезности имеет вид:

Вспомним определение функции :

Отсюда получаем, что уравнения кривых безразличия имеют следующий вид:

Графически семейство кривых безразличия можно представить следующим образом:

Рис. 3. - Семейство кривых безразличия в случае взаимодополняемых товаров.

2.2. Задача потребительского выбора и функции спроса

Предположим, что у потребителя имеется некий доход, который он собирается потратить на приобретение набора товаров. Обозначим через D размер дохода потребителя, через - цены единиц соответствующих видов товаров, - вектор цен товаров. В этом случае, стоимость набора товаров , приобретаемого потребителем будет равна:

Каждому потребителю доступны лишь те наборы товаров, чья стоимость не превышает дохода потребителя. Множество наборов товаров, доступных потребителю, образуют бюджетное множество потребителя. Те наборы товаров, чья стоимость в точности соответствует доходу потребителя, образуют бюджетную линию.

Пусть доход потребителя составляет величину D. В этом случае, бюджетным множеством потребителя называется множество наборов товаров:

Бюджетной линией потребителя называется множество наборов товаров

Задача потребительского выбора формулируется следующим образом:

Cреди множества наборов товаров, доступных потребителю, потребитель стремится выбрать тот, который обеспечит ему наибольший уровень полезности.

Математическая формулировка задачи потребительского выбора имеет следующий вид:

Из аксиом предпочтений потребителя и свойств функции полезности следует, что решение задачи потребительского выбора должно обладать следующими свойствами:

1. Решение задачи потребительского выбора не должно изменяться при любом монотонном преобразовании функции полезности потребителя. К монотонным преобразованиям относятся: умножение функции полезности потребителя на положительное число, логарифмирование по основанию больше единицы, возведение функции полезности в положительную степень.

2. Решение задачи потребительского выбора не должно изменяться при увеличении в одинаковой пропорции всех цен товаров и дохода потребителя, поскольку цены товаров и размер дохода не входят в максимизируемую функцию полезности, а лишь в бюджетное ограничение, которое в этом случае сохраняет прежний вид.

3. Решение задачи потребительского выбора всегда находится на границе бюджетного множества (бюджетной линии). Рассмотрим случай двух товаров. Предположим, что точка потребительского выбора располагается внутри бюджетного множества. Это означает, что потребитель израсходовал не весь свой доход и у него есть денежные средства, которые он может потратить на приобретение дополнительных единиц товаров, тем самым, увеличив полезность приобретаемого набора. Приобретение дополнительных единиц того или иного товара без уменьшения количества единиц других товаров в наборе соответствует перемещению кривой безразличия в северо-восточном направлении координатной плоскости. Поэтому точкой выбора потребителя всегда будет служить точка касания кривой безразличия с бюджетным множеством. В условиях стандартных предпочтений потребителя это решение всегда существует и является единственным.

В силу выявленных свойств, которыми должно обладать решение задачи потребительского выбора, переформулируем задачу следующим образом:

В новой формулировке задача потребительского выбора представляет собой задачу нелинейного программирования.

Для решения данной задачи составим функцию Лагранжа:

и найдем ее точки максимума. Точки, в которых функция Лагранжа достигает своего максимума, находятся среди стационарных точек, удовлетворяющих условиям:

Имеем

Отсюда мы получаем условия первого порядка решения задачи потребительского выбора:

Из свойств функции полезности следует, что условия первого порядка определяют точку максимума функции Лагранжа и, следовательно, решение задачи потребителя. Мы видим, что в точке решения задачи потребителя отношение предельных полезностей любых двух товаров должно совпадать с отношением цен этих товаров.

Решение задачи потребительского выбора записывается в виде функций спроса Маршалла:

Эти функции позволяют определить количество единиц каждого вида товара, приобретаемого потребителем в зависимости от цен товаров и дохода потребителя.

Пример

Пусть функция полезности потребителя имеет следующий вид:

В этом случае, предельные полезности товаров , и условия первого порядка приобретают следующий вид:

и, следовательно, функции спроса Маршалла:

Замечание: использование аналитического метода далеко не всегда приводит к решению задачи потребительского выбора. В ряде ситуаций (совершенные товарозаменители, функция полезности Леонтьева) целесообразно использовать графическое решение.

Помимо базовой задачи, описывающей потребительское поведение, существуют и ее модификации, например:

1. Модель Стоуна.

В модели Стоуна предполагается, что определенное количество единиц каждого вида товара необходимо потребителю в любом случае, и вопрос относительно их приобретения не является предметом выбора. Оставшиеся средства потребитель использует для приобретения дополнительных единиц товаров в соответствии со своими предпочтениями. В этом случае задача потребительского выбора и ее решение видоизменяются. Сначала приобретается минимально необходимое количество единиц соответствующего вида товара. После приобретения минимальной потребительской корзины рассчитывается оставшаяся сумма, которая распределяется между различными видами товаров в соответствии с весовыми коэффициентами и определяется количество дополнительных единиц каждого вида товара которое необходимо приобрести потребителю.

2. Двойственная задача потребительского выбора.

Теперь предположим, что потребитель не стремится приобрести набор товаров, обеспечивающий ему максимальную полезность. Потребитель выбрал уровень полезности который должен обеспечить ему приобретаемый набор товаров и среди одинаково полезных наборов он стремится приобрести как можно более дешевый.

В данной ситуации мы говорим о задаче потребительского выбора в двойственной постановке (двойственной задаче потребительского выбора). На кривой безразличия, соответствующей выбранному потребителем уровню полезности отыскивается набор товаров с минимальной стоимостью.

Математическая формулировка двойственной задачи потребительского выбора имеет следующий вид:

Решение двойственной задачи потребительского выбора записывается в виде функций спроса Хикса:

Эти функции позволяют определить количество единиц каждого вида товара, приобретаемого потребителем в зависимости от цен товаров заданного уровня полезности.

2.3. Анализ сферы потребления на основе функций спроса
Маршалла

В силу свойств решения задачи потребительского выбора, функции спроса Маршалла являются однородными функциями нулевой степени. Таким образом, мы можем сделать вывод, что объемы потребления товаров не зависят непосредственно от самих цен товаров и дохода потребителя, а зависят лишь от отношения цен и отношения дохода к цене (относительных цен и относительного дохода).

Анализ функций спроса позволяет нам выявить некоторые особенности спроса на различные товары. В частности, дать строгое математическое определение взаимозаменяемости и взаимодополняемости товаров, выявить нормальные товары и товары Гиффена.

Назовём товары i и j взаимозаменяемыми, если

Если же , то товары i и j называются взаимодополняемыми.

Назовём i-й товар ценным, если , то есть если при увеличении дохода спрос на этот товар увеличивается, и малоценным, если .

Товар называется нормальным, если и товаром Гиффена, если .

Важной характеристикой функции спроса является ее эластичность. Выделяют три основных вида эластичности функции спроса:

а) Эластичность спроса на товар по его цене – показывает относительное изменение спроса на товар при изменении его цены на 1%. Возможны варианты:

· если , то говорят о том, что спрос на данный товар не эластичен по отношению к цене данного товара (однопроцентное увеличение цены изменяет спрос на товар меньше чем на один процент).

· Если , то говорят о спросе с единичной эластичностью по отношению к цене данного товара (однопроцентное увеличение цены изменяет спрос на товар на один процент).

· если , то говорят о эластичном спросе по отношению к цене данного товара (однопроцентное увеличение цены изменяет спрос на товар больше на один процент).

· если , то говорят о совершенно эластичном спросе по отношению к цене данного товара.

· если , то говорят о спросе с нулевой эластичностью по отношению к цене данного товара (изменение цены никак не влияет на изменение спроса на данный товар).

б) Эластичность спроса на товар по доходу потребителя – показывает относительное изменение спроса на товар при изменении дохода потребителя на 1%.

в) Перекрестная эластичность спроса по цене – показывает относительное изменение спроса на товар при изменении цены другого товара на 1%.

Возможны следующие варианты:

· если , то говорят о том, что i-й и j-й являются взаимозаменяемыми (однопроцентное увеличение цены одного товара вызывает рост спроса на другой товар).

· если , то говорят о том, что i-й и j-й являются взаимодополняемыми (однопроцентное увеличение цены одного товара вызывает снижение спроса на другой товар).