Курс общей физики, ориентированный на строительные специальности (конспект лекций) (стр. 10 )

14.6. Конденсаторы

При поднесении к заряженному проводнику какого-либо тела потенциал проводника уменьшается по абсолютной величине, вследствие возникновения индуцированных (на проводнике) или связанных (на диэлектрике) зарядов. Согласно формуле (14.17) для емкости это означает увеличение емкости проводника. Это явление положено в основу устройств, называемых конденсаторами. Найдем формулу для емкости плоского конденсатора. Если площадь обкладки S, а заряд на ней q, то напряженность поля между обкладками равна:

.

Разность потенциалов между обкладками равна:

, откуда для емкости плоского конденсатора получаем:

,

где d – величина зазора между обкладками.

14.7. Энергия системы зарядов

Пусть имеются заряды q1 и q2, находящиеся на расстоянии r12. Когда заряды удалены друг от друга на бесконечность, они не взаимодействуют. Положим в этом случае их энергию равной нулю. Сближение зарядов можно произвести приближая q1 к q2, либо наоборот. В обоих случаях совершается одинаковая работа. Работа переноса заряда q1 из бесконечности в точку, удаленную от q2 на r12, равна:

, (14.19)

где - потенциал, создаваемый зарядом q2 в той точке, в которую перемещается заряд q1. Аналогично работа переноса заряда q2 из бесконечности в точку, удаленную от q1 на r12, равна:

, (14.20)

где - потенциал, создаваемый зарядом q1 в той точке, в которую перемещается заряд q2. Значения работ (14.19) и (14.20) одинаковы, и каждое из них выражает энергию системы:

.

Для того чтобы в выражении энергии системы оба заряда входили симметрично, напишем его следующим образом:

. (14.21)

В случае N зарядов потенциальная энергия системы равна:

, (14.22)

где - потенциал, создаваемый в той точке, где находится qi, всеми зарядами, кроме i-го.

14.8. Энергия заряженного конденсатора

Процесс возникновения на обкладках конденсатора зарядов +q и –q можно представить так, что от одной обкладки последовательно отнимаются порции заряда и перемещаются на другую обкладку. Работа переноса очередной порции равна:

,

где U – напряжение на конденсаторе. Заменяя U через отношение заряда к емкости и переходя к дифференциалам, получим:

.

Интегрируя, получим:

.

14.9. Энергия электрического поля

Энергию конденсатора можно выразить через величины, характеризующие электрическое поле в зазоре между обкладками. Сделаем это для плоского конденсатора. Подставим в выражение для энергии конденсатора выражения для емкости плоского конденсатора, тогда:

. (14.23)

Так как , а S·d=V – объем, занимаемый полем, то можно написать:

. (14.24)

Формула (14.23) связывает энергию конденсатора с зарядом на его обкладках, формула (14.24) – с напряженностью поля. Логично поставить вопрос: где же локализована (т. е. сосредоточена) энергия, что является носителем энергии – заряды или поле? В пределах электростатики, изучающей постоянные во времени поля неподвижных зарядов, дать ответ на этот вопрос невозможно. Постоянные поля и обусловившие их заряды не могут существовать обособленно друг от друга. Однако меняющиеся во времени поля могут существовать независимо от возбудивших их зарядов и распространяться в пространстве в виде электромагнитных волн. Опыт показывает, что электромагнитные волны переносят энергию. Следовательно, носителем энергии является поле.

Если поле однородно, заключенная в нем энергия распределяется в пространстве с постоянной плотностью равной энергии поля, деленной на заполняемый полем объем. Следовательно, плотность энергии поля плоского конденсатора:

.

Этой формуле можно придать вид:

,

заменив D (14.14), получим плотность энергии в диэлектрике:

.

Первое слагаемое совпадает с плотностью энергии поля в вакууме. Второе – представляет собой энергию, затрачиваемую на поляризацию диэлектрика.

ГЛАВА 15. ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК

15.1. Сила и плотность тока

Электрическим током называется любое упорядоченное (направленное) движение электрических зарядов q. В проводнике под действием приложенного электрического поля Е свободные электрические заряды перемещаются: положительные — по полю, отрицательные — против поля, т. е. в проводнике возникает электрический ток, называемый током проводимости.

За направление электрического тока условно принимают направление движения положительных зарядов. Носителями электричества в проводниках–металлах являются электроны, в полупроводниках – электроны «дырки», в жидких электронах ионы, в газах ионы и электроны.

Количественной мерой электрического тока служит сила тока I — скалярная физическая величина, определяемая электрическим зарядом, проходящим через поперечное сечение проводника в единицу времени:

.

Ток, сила и направление которого не изменяется со временем, называется постоянным. Для постоянного тока сила тока I есть величина постоянная, поэтому

.

Единица силы тока — ампер (А). Физическая величина, определяемая величиной тока, проходящего через единицу площади поперечного сечения проводника, перпендикулярного направлению тока, называется плотностью тока:

, а для постоянного тока .

Выразим силу и плотность тока через скорость упорядоченного движения зарядов в проводнике металле. Если концентрация носителей тока равна n и каждый носитель имеет элементарный заряд е, то за время через поперечное сечение S проводника переносится заряд . Сила тока

,

а плотность тока

.

Плотность тока — вектор, ориентированный по направлению тока, т. е. направление вектора совпадает с направлением упорядоченного движения положительных зарядов. Единица плотности тока - (А/м2).

Сила тока сквозь произвольную поверхность S определяется как поток вектора , т. е.

,

где dS = dS ( — единичный вектор нормали к площадке dS, составляющей с вектором угол a).

15.2. Сторонние силы. ЭДС.

Если в проводнике создать электрическое поле и не принять мер для его поддержания, то перемещение носителей заряда очень быстро приведет к исчезновению поля и прекращению тока. Для поддержания тока нужно от конца проводника с меньшим потенциалом (носители заряда предполагаются положительными) непрерывно отводить приносимые сюда током заряды, а к концу с большим потенциалом непрерывно их подводить.

То есть нужно осуществить круговорот зарядов, при котором они двигались бы по замкнутому пути. Циркуляция вектора напряжением электростатического поля равна нулю

Рис. 15.1.

.

Поэтому в замкнутой цепи наряду с участками, на которых положительные заряды движутся в сторону убывания j, должны иметься участки, на которых перенос положительных зарядов происходит в направлении возрастания j, т. е. против сил электростатического поля (см. рис. 15.1). Перемещение носителей на этих участках возможно лишь с помощью сил неэлектростатического происхождения, называемых сторонними силами. Таким образом, для поддержания тока необходимы сторонние силы, действующие либо на всем протяжении цепи, либо на отдельных ее участках. Они могут быть обусловлены химическими процессами, диффузией носителей заряда в неоднородной среде или через границу двух разнородных веществ, электрическими полями, порождаемыми меняющимися во времени магнитными полями.

Величина, равная работе сторонних сил, затраченной на перемещение единичного положительного заряда, называется электродвижущей силой (ЭДС) e, действующей в цепи или на ее участке

e = .

Из сопоставления этой формулы с формулой, определяющей потенциал: , следует, что размерность ЭДС совпадает с размерностью потенциала.

Стороннюю силу , действующую на заряд , можно представить в виде

.

Векторную величину называют напряженностью поля сторонних сил. Работу сторонних сил над зарядом на всем протяжении замкнутой цепи можно выразить следующим образом:

.

Разделив эту работу на , получим ЭДС действующую в цепи: e = . Таким образом, ЭДС, действующая в замкнутой цепи, может быть определена как циркуляция вектора напряженности поля сторонних сил.

ЭДС, действующая на участке 1-2, очевидно, равна e12 = .

Кроме сторонних сил на заряд действуют силы электростатического поля

.

Результирующая сила, действующая в каждой точке цепи на заряд , равна

.

Работа, совершаемая этой силой над зарядом на участке цепи 1-2, дается выражением

e12.

Величина, численно равная работе, совершаемой электростатическими и сторонними силами при перемещении единичного положительного заряда, называется падением напряжения или просто напряжением на данном участке цепи

e12.

При отсутствии сторонних сил напряжение совпадает с разностью потенциалов .

15.3. Закон Ома

Немецкий физик Г. Ом (1787—1854) экспериментально установил в 1826г., что сила тока I, текущего по однородному металлическому проводнику (т. е. проводнику, в котором не действуют сторонние силы), пропорциональна напряжению U на концах проводника:

,

где R — электрическое сопротивление проводника. Это уравнение выражает закон Ома для участка цепи (не содержащего источника э. д.с.): сила тока в проводнике прямо пропорциональна приложенному напряжению и обратно пропорциональна сопротивлению проводника. Эта формула позволяет установить единицу сопротивления — ом (Ом): 1 Ом—сопротивление такого проводника, в котором при напряжении 1 В течет постоянный ток 1 А.

Величина называется электрической проводимостью проводника. Единица проводимости — сименс (См): 1 См—проводимость участка электрической цепи сопротивлением 1 Ом. Сопротивление проводников зависит от его размеров и формы, а также от материала, из которого проводник изготовлен. Для однородного линейного проводника сопротивление R прямо пропорционально его длине l и обратно пропорционально площади его поперечного сечения S :

,

где r — коэффициент пропорциональности, характеризующий материал проводника. Он называется удельным электрическим сопротивлением. Единица удельного электрического сопротивления — Ом×метр (Ом×м).

Рассмотрим неоднородный участок цепи, где действующую ЭДС на участке 1-2 обозначим через e12, а приложенную на концах участка разность потенциалов — через j1- j2.

Если ток проходит по неподвижным проводникам, образующим участок 1-2, то работа А12 всех сил (сторонних и электростатических), совершаемая над носителями тока, по закону сохранения и превращения энергии равна теплоте, выделяющейся на участке. Работа сил, совершаемая при перемещении заряда q0 на участке 1-2,

e12. (15.1)

ЭДС e12, как и сила тока I — величина скалярная. Ее необходимо брать либо с положительным, либо с отрицательным знаком в зависимости от знака работы, совершаемой сторонними силами. Если ЭДС способствует движению положительных зарядов в выбранном направлении (в направлении 1—2), то e12>0. Если ЭДС препятствует движению положительных зарядов в данном направлении, то e12<0.

За время t в проводнике выделяется теплота

. (15.2)

Из формул (15.1) и (15.2) получим e

Отсюда . (15.4)

Выражение (15.3) или (15.4) представляет собой закон Ома для неоднородного участка цепи в интегральной форме, который является обобщенным законом Ома.

Если на данном участке цепи источник тока отсутствует (e12 =0), то из (15.4) приходим к закону Ома для однородного участка цепи: (при отсутствии сторонних сил напряжение на концах участка равно разности потенциалов). Если же электрическая цепь замкнута, то выбранные точки 1 и 2 совпадают, j1=j2; тогда из (15.4) получаем закон Ома для замкнутой цепи: I =e/R, где e — ЭДС, действующая в цепи, R — суммарное сопротивление всей цепи. В общем случае

Рис. 15.2. R=r+R1, где r—внутреннее сопротивление источника ЭДС, R1 — сопротивление внешней цепи. По этому закон Ома для замкнутой цепи будет иметь вид I =e /(r+R).

15.4. Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа

Расчет разветвленных цепей значительно упрощается, если пользоваться правилами, сформулированным Кирхгофом. Этих правил два. Первое из них относится к узлам цепи. Узлом называется точка, в которой сходится более чем два проводника. Ток, текущий к узлу, считается имеющим один знак, текущий от угла – имеющим другой знак.

Первое правило Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю:

. (15.5)

Справедливость этого утверждения вытекает из следующих соображений. Если бы алгебраическая сумма токов была отлична от нуля, в узле происходило бы накапливание или уменьшение заряда, что в свою очередь приводило бы к изменению потенциала узла и изменению текущих в цепи токов. Таким образом, чтобы токи в цепи были постоянными, должно выполняться условие (15.5).

Уравнение (15.5) можно записать для каждого из N узлов цепи. Однако независимыми являются только N-1 уравнение, N-е будет следствием из них.

Выделим мысленно в разветвленной цепи произвольный замкнутый контур (). Зададимся направлением обхода (например, по часовой стрелке) и применим к каждому из неразветвленных участков контура закон Ома:

e1,

e2,

e3,

e4.

При сложении этих выражений потенциалы сокращаются и получается уравнение

, (15.6)

которое выражает второе правило Кирхгофа.

Рис. 15.3.

Уравнение (15.6) может быть составлено для всех замкнутых контуров, которые можно мысленно выделить в данной разветвленной цепи. Но независимыми будут только уравнения для тех контуров, которые нельзя получить наложением других контуров друг на друга.

С помощью законов Кирхгофа можно моделировать расчет замкнутых гидравлических, аэродинамических и тепловых контуров.

Например, при расчете систем охлаждения автомобиля масляный насос, являющийся источником давления считается электродвижущей силой, секундный расход масла считается силой тока, а гидравлическое сопротивление системы считается активным сопротивлением цепи. Для новых переменных записываются аналоги законов Кирхгофа и производится гидравлический расчет масляного контура.

ГЛАВА 16. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОКОВ

16.1.Закон Ампера

Французский физик А. Ампер в 1820г подробно исследовал действие магнитного поля на проводники с током и пришел к выводу, что сила , действующая на прямолинейный проводник с током, помещенный в однородное магнитное поле, прямо пропорциональна силе тока в проводнике, его длине , магнитной индукции В и синусу угла a между направлением тока в проводнике и вектором :

.

Закон Ампера легко обобщить на случай неоднородного магнитного поля и проводника произвольной формы. Магнитное поле называется однородным, если векторы индукции во всех точках этого поля одинаковы, т. е. численно равны и имеют одинаковые направления.

Бесконечно малый элемент проводника любой формы можно считать прямолинейным, а магнитное поле в области, занятой элементом можно считать однородным.

Поэтому в общем случае закон Ампера имеет вид:

, (16.1)

где - сила, действующая на элемент проводника длиной , а угол a заменен углом между векторами (проведенным в направлении тока ) и . Коэффициент пропорциональности зависит от выбора единиц измерения , В, и . При измерении всех этих величин в единицах одной и той же системы единиц (исключением является только система единиц Гаусса). Поэтому в дальнейшем коэффициент в законе Ампера мы будем опускать.

Закон Апмпера позволяет определить численное значение магнитной индукции В. Предположим, что элемент проводника с током перпендикулярен к направлению магнитного поля , тогда закон Ампера можно записать в виде:

.

Из этой формулы следует, что магнитная индукция численно равна силе, действующей со стороны поля на единицу длины проводника, по которому течет электрический ток единичной силы и который расположен ^ к направлению магнитного поля. Таким образом магнитная индукция является силовой характеристикой магнитного поля подобно тому, как напряженность является силовой характеристикой электростатического поля.

Закон Ампера, записанный в форме (16.1), не указывает направление силы . Как показали опыты, направление силы можно найти по правилу левой руки. Однако лучше пользоваться более универсальным правилом: вектор направлен перпендикулярно к плоскости, образованной векторами и таким образом, чтобы из конца вектора вращение от вектора к вектору по кратчайшему пути происходило против часовой стрелки. Иными словами вектор совпадает по направлению с векторным произведением . Из математики известно, что модуль векторного произведения равен произведению модулей векторов на синус угла между ними:

.

Поэтому можно записать закон Ампера в векторной форме следующим образом:

.

16.2. Магнитное поле. Закон Био – Савара - Лапласа

Магнитное поле описывается вектором напряженности Н. Для однородной изотропной среды вектор магнитной индукции , связан с вектором напряженности следующим соотношением:

, (где ед. измерения [В]=Тл, [Н] = )

где m0 — магнитная постоянная, m — магнитная проницаемость среды, показывающая, во сколько раз магнитное поле макротоков Н усиливается за счет поля микротоков среды.

Закон Био - Савара - Лапласа для проводника с током I, элемент которого dl создает в некоторой точке А индукцию поля , записывается в виде

, (16.2)

где — вектор, по модулю равный длине dl элемента проводника и совпадающий пo направлению с током, — радиус-вектор, проведенный из элемента dl проводника в точку А поля, r — модуль радиуса вектора .

Направление перпендикулярно и , т. е. перпендикулярно плоскости, в которой они лежат, и совпадает с касательной к линии магнитной индукции. Это направление может быть найдено по правилу нахождения линий магнитной индукции (правилу правого винта): направление вращения головки винта дает направление , если поступательное движение винта

Рис. 16.1. соответствует направлению тока в элементе.

Модуль вектора определяется выражением

, (16.3)

где a — угол между векторами и .

Для магнитного поля, как и для электрического, справедлив принцип суперпозиции: магнитная индукция результирующего поля, создаваемого несколькими токами или движущимися зарядами, равна векторной сумме магнитных индукций складываемых полей, создаваемых каждым током или движущимся зарядом в отдельности:

. (16.4)

Расчет характеристик магнитного поля ( и ) по приведенным формулам в общем случае довольно сложен. Однако если распределение тока имеет определенную симметрию, то применение закона Био-Савара-Лапласа совместно с принципом суперпозиции позволяет довольно просто рассчитать конкретные поля. Рассмотрим два примера.

Магнитное поле прямого тока — тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины. В произвольной точке А, удаленной от оси проводника на расстояние R, векторы от всех элементов тока имеют одинаковое направление, перпендикулярное плоскости чертежа («от нас»).

Поэтому сложение векторов можно заменить сложением их модулей. В качестве постоянной интегрирования выберем угол a (угол между векторами и ), выразив через него все остальные величины. Из этого следует, что

(радиус дуги СD вследствие малости dl равен r, и угол FDC по этой же причине можно считать

Рис. 16.2. прямым). Подставив эти выражения в (16.3), получим, что магнитная индукция, создаваемая одним элементом проводника равна

, (15.5)

Так как угол a для всех элементов прямого тока изменяется в пределах от 0 до p, то, согласно (16.4) и (16.5)

,

следовательно, магнитная индукция поля прямого тока

. (16.6)

Магнитное поле в центре кругового проводника с током. Все элементы кругового проводника с током создают в центре магнитное поле одинакового направления - вдоль нормали от витка.

Поэтому сложение векторов можно заменить сложением их модулей. Так как все элементы проводника перпендикулярны радиусу-вектору (sin a = 1) и расстояние всех элементов проводника до центра кругового тока одинаково и равно R, то, согласно (16.3),

Рис. 16.3. .

Тогда .

Следовательно, магнитная индукция поля в центре кругового проводника с током

.

16.3. Работа перемещения контура с током в магнитном поле

Допустим, что провод с током может свободно перемещаться во внешнем магнитном поле. Внешнее полем будем предполагать однородным и перпендикулярным к плоскости контура.

При указанных на рисунке направлениях тока и поля сила будет направлена вправо и равна

,

где - длина перемещающегося участка тока.

На пути dx эта сила совершит работу

Рис. 16.4.

.

Произведение равно заштрихованной площади, а - потоку магнитной индукции через эту площадь. Поэтому можно написать, что

, (16.7)