Курс общей физики, ориентированный на строительные специальности (конспект лекций) (стр. 14 )

.

Практический интерес представляет не мгновенное значение мощности, а ее среднее значение за период колебания, учитывая, что (cos2ωt)=1/2, (sinωtcosωt)=0, получим

. (21.37)

Из векторной диаграммы рис.21.5(б), следует, что .

Поэтому

.

Такую же мощность развивает постоянный ток .

Величины

и

называются соответственно действующими (или эффективными) значениями тока и напряжения. Все амперметры и вольтметры градуируются по действующим значениям тока и напряжения.

Учитывая действующие значения тока и напряжения, выражение средней мощности (21.37) можно записать в виде

, (21.38)

где множитель cosφ называется коэффициентом мощности.

Формула (21.38) показывает, что мощность, выделяемая в цепи переменного тока, в общем случае зависит не только от силы тока и напряжения, но и от сдвига фаз между ними. Если в цепи реактивное сопротивление отсутствует, то cosφ = 1 и N = IU. Если цепь содержит только реактивное сопротивление (R = 0), то cos φ= 0 и средняя мощность равна нулю, какими бы большими ни были ток и напряжение. Если cosφ имеет значения, существенно меньшие единицы, то для передачи заданной мощности при данном напряжении генератора нужно увеличивать силу тока I, что приведет либо к выделению джоулевой теплоты, либо потребует увеличения сечения проводов, что повышает стоимость линий электропередачи. Поэтому на практике всегда стремятся увеличить cosφ, наименьшее допустимое значение которого для промышленных установок составляет примерно 0,85.

ГЛАВА 22. УПРУГИЕ ВОЛНЫ

22.1.Волновые процессы. Продольные и поперечные волны

Колебания, распространяющиеся в упругой среде с конечной скоростью, называются волнами.

При распространении волны, частицы среды не движутся вместе с волной, а колеблются около своего положения равновесия. Вместе с волной от частицы к частице передается состояние колебательного движения и его энергии без переноса вещества.

Типы волн:

·  Упругие волны.

·  Электромагнитные волны.

Упругие волны – механические возмущения, распространяющиеся в упругой среде.

Волны бывают продольные и поперечные:

Продольные волны – когда частицы среды колеблются в направлении распространения волны. В данном случае создаются чередующие сгущения и разряжение среды. Продольные волны возникают за счет деформации смещения в твердых телах, жидкостях и газах.

Поперечные волны – когда частицы колеблются в плоскости перпендикулярной распространению волны. Поперечные волны возникают за счет деформации сдвига в твердых телах.

Упругая волна называется гармонической, когда соответствующие ей колебания частиц среды являются гармоническими. На рис.21.1. представлена гармоническая поперечная волна распространяющейся со скоростью υ вдоль оси х, т. е. приведена зависимость смещения ξ частиц среды, участвующих в волновом процессе и расстоянием х этих частиц от источника колебаний для какого-то фиксированного момента времени t (например частицы В, показанной на рис. 22.1).

Рис.22.1.

Хотя приведенный график функции ξ(x,t) похож на график гармонического колебания, но они различны по существу. График волны дает зависимость смещения всех частиц среды от расстояния до источника колебаний х в данный момент времени, а график колебаний (см. рис.19.1.) – зависимость смещения данной частицы от времени.

Наименьшее расстояние между частицами, колеблющимися в одной фазе, называется длиной волны λ (рис.22.1). Длина волны равна расстоянию, на которое распространяется фаза колебаний за один период т. е.

, (22.1)

учитывая, что , где ν – частота колебаний,

. (22.2)

При волновом процессе колеблются не только частицы вдоль оси, а совокупность частиц расположенных в некотором объеме, т. о. волна распространяясь от источника колебаний охватывает все новые и новые области пространства. Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t называется волновым фронтом.

Геометрическое место точек колеблющихся в одной фазе называется волновой поверхностью. Волновых поверхностей можно провести множество, а волновой фронт в каждый момент времени – один. Волновые поверхности могут быть любой формы. В простейшем случае они представляют собой совокупность плоскостей параллельных друг другу или совокупность концентрических сфер. В зависимости от волновой поверхности волны делятся на плоские и сферические.

22.2.Уравнение бегущей волны

Бегущими волнами называются воны, которые переносят в пространстве энергию. Перенос энергии в волнах количественно характеризуется вектором плотности потока энергии. Это вектор для упругих волн называется вектором Умова .Направление вектора Умова совпадает с направлением переноса энергии, а его модуль равен энергии переносимой волной за единицу времени через единицу площади, расположенную перпендикулярно распространению волны.

Плотность потока энергии, где V- объем.

, (22.3)

где ρ – плотность среды.

Для вывода уравнения бегущей волны – зависимости смещения колеблющейся частицы от координат x и времени t – рассмотрим плоскую волну, предполагая, что колебания носят гармонический характер, а ось х совпадает с распространением волны. Волновые поверхности перпендикулярны оси х, а также все точки волновой поверхности перпендикулярны оси х, а так как все точки волновой поверхности колеблются одинаково, то смещение x будет зависеть только от x и t.

На рис.22.1 рассмотрим некоторую частицу среды В, находящуюся от источника колебаний на расстоянии х. Если колебания точек лежащих в плоскости х=0, описывается функцией , то частица среды В колеблется по тому же закону, но ее колебания будут отставать по времени от колебаний источника на τ, так как для прохождения волной расстояния х требуется время , где υ- скорость распространения волны. Тогда уравнение колебаний частиц, лежащих в плоскости х, имеет вид:

, (22.4)

где x(x,t) - является периодической функцией времени и координаты;

x/υ – время, когда начала колебаться точка В.

Уравнение (22.4) есть уравнение бегущей волны. Если же плоская волна распространяется в противоположном направлении от источника колебаний уравнение представлено в виде:

. (22.5)

В общем случае уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления х в среде, не поглощающей энергию, имеет вид.

, (22.6)

где А=const амплитуда волны, ω – циклическая частота волны, φ0 – начальная фаза колебаний, определяемая в общем случае выбором начала отсчета x и t, – фаза плоской волны.

Для характеристики волн используют волновое число

. (22.7)

Учитывая (22.7) уравнение (22.6.) можно записать в виде:

. (22.8)

Уравнение распространяющейся вдоль отрицательного направления оси х, отличается от (22.8) только знаком перед коэффициентом kx.

22.3. Фазовая скорость бегущей волны

Предположим, что при волновом процессе фаза постоянна, т. е.:

. (22.9.)

Продифференцировав выражение (22.9), и сократив на ω получим .

Откуда

, (22.10)

где υ – скорость распространения волны в уравнении (22.10) есть скорость перемещения фазы волны и называется фазовой скоростью.

Если фазовая скорость волн в среде зависит от их частоты, то это явление называют дисперсией волн.

Аналогичными рассуждениями выведем уравнение сферической волны – волны, волновые поверхности которой имеют вид концентрических сфер:

, (22.11)

где r –расстояние от центра волны до рассматриваемой точки среды.

В случае сферической волны, даже в среде не поглощающей энергию амплитуда колебаний не остается постоянной, а изменятся по закону 1/r. Уравнение (22.11) справедливо лишь для r значительно превышающих размеры источника (тогда источник колебаний можно считать точечным).

Распространение волн в однородной изотропной среде в общем случае записывается волновым уравнением- дифференциальным уравнением в частных производных:

, (22.12)

где υ – фазовая скорость,

- оператор Лапласа.

Тогда уравнение (22.12) можно записать

. (22.13)

Решением уравнения (22.12) является уравнение любой волны (плоской или сферической). Соответствующей подстановкой моно убедиться что уравнению (22.13) удовлетворяют решения для плоской волны (22.8) или (22.11) для сферической волны. Для плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, волновое уравнение принимает вид:

. (22.14)

22.4.Принцип суперпозиции волн. Групповая скорость

Если среда в которой распространяется одновременно несколько волн, линейна, т. е. свойства не изменяются под действием возмущений, создаваемых волной, то к ним применим принцип суперпозиции (наложения) волн. При распространении в линейной среде нескольких волн, каждая из них распространяется, как будто другие волны отсутствуют, а результирующее смещение частицы среды равно геометрической сумме смещений, которые получают частицы, участвуя в каждом из слагаемых волновых процессов.

Любая волна может быть представлена в виде суммы гармонических волн и т. е. в виде волнового пакета, или группа волн как показано на рис. 22.2. Волновым пакетом – называется суперпозиция волн отличающихся друг от друга по частоте и занимающая в каждый момент времени ограниченную область пространства.

Рис.22.2.

Рассмотрим простейший волновой пакет из двух распространяющихся вдоль положительного направления волн. С одинаковыми амплитудами А0, которые отличающиеся по частоте w и w+dw причем dw<<w, и волновыми числами k и k+dk при условии, что dk<<k

(22.15)

Эта волна отличается от гармонической тем, что ее амплитуда, медленно изменяющаяся функция, координаты х и времени t:

. (22.16)

За скорость распространения этого волнового пакета принимают перемещение максимума амплитуды (точка C на рис.22.2), рассматривая его в качестве центра волнового пакета.

При условии, что, получим

, (22.17)

где u – групповая скорость

Cвязь между групповой u и фазовой υ скоростями дается соотношением:

. (22.18)

Групповая скорость может быть больше или меньше фазовой это зависит от знака dυ/dλ.

Понятие групповой скорости очень важно, так как именно она фигурирует при измерении дальности радиолокации в системах управления космическими объектами. В теории относительности доказывается, что групповая скорость в то время как для фазовой скорости ограничений не существует.

22.5.Интерференция волн

Согласованное протекание во времени и пространстве нескольких колебательных или волновых процессов связывают с понятием когерентности. Волны называются когерентными, если разность их фаз остается постоянной во времени. Когерентными могут быть только волны, имеющие одну частоту. При наложении когерентных волн наблюдается усиление или ослабление волны в зависимости от соотношения между фазами этих волн. Это явление называется интерференцией волны.

S2

Рис.22.3

При наложении двух когерентных волн, (рис.22.3) возбужденных точечными источниками S1 и S2, колеблющимися с амплитудами А1 и А2 запишем волновые уравнения:

, (22.19)

, (22.20)

где r1 и r2 – расстояния от источников волн до рассматриваемой точки В, k- волновое число; φ1 и φ2 –начальные фазы накладывающихся волн.

Амплитуда результирующей волны в точке В равна

. (22.21)

Т. к. для когерентных источников j1-j2=сonst то результат наложения двух волн зависит от разности хода D= (r1-r2).

При условии

, (22.22)

где ().

Наблюдается интерференционный максимум, амплитуда результирующего колебания равна

.

В точках где

. (22.23)

Наблюдается интерференционный минимум, амплитуда результирующего колебания равна

.

n– называется порядком интерференционного максимума или минимума

Геометрическое место точек в которых наблюдается усиление или ослабление результирующего колебания представляет собой семейство гипербол (рис.22.2), где между двумя интерференционными максимумами (рис.22.2. сплошные линии) находятся интерференционные минимумы (рис.22.2 штриховые линии).

22.6.Стоячие волны

Особым случаем интерференции являются стоячие волны они наблюдаются при наложении двух бегущих волн, распространяющихся навстречу друг другу. Запишем систему уравнений

. (22.24)

При решении данной получается уравнение

, (22.25)

подставим значение волнового числа, получим уравнение стоячей волны.

. (22.26)

Стоячую волну можно изобразить, как показано на рис. 22.4.

Точки в которых амплитуда максимальна (Аст=2А) называются пучностью. Точки в которых амплитуда равна нулю (Аст=0) называются узлами. Точки среды находящиеся в узлах колебаний не совершают.

Рис.22.4

Образование стоячих волн наблюдается при интерференции бегущей и отраженной волн. Тогда по формуле (22.26) определим координаты пучности и узла.

Координаты пучности . (22.27)

Координаты узла . (22.28)

Будет ли наблюдаться на границе отражения пучность или узел зависит от соотношения плотностей сред. Если плотность среды, от которой происходит отражение меньше плотности, среда распространения волны получается пучность. Если же среда отражения более плотная, то узел т. к. происходит изменение фазы.

В случае стоячей волны не происходит переноса энергии т. к. волны переносят энергию в противоположных направлениях. В пределах расстояний полуволны происходит превращение кинетической энергии в потенциальную.

Данный эффект, что стоячая волна энергию не переносит, используется при борьбе с шумами на автомобильных магистралях, специальным размещением щитов. (Например, Каширское шоссе.)

Прямоточный глушитель в автомобиле «Toyota» - сконструирован таким образом, чтобы в нем создавалась стоячая волна на разных участках по длине глушителя.

ГЛАВА 23. АКУСТИКА

23.1. Основные характеристики звуковых волн

Звуковыми (или акустическими) волнами называются распространяющиеся в среде волны, обладающие частотами; в пределах 16—20 000 Гц. Волны указанных частот, воздействуя на слуховой аппарат человека, вызывают ощущение звука. Волны с v< 16 Гц (инфразвуковые) и v>>20 кГц (ультразвуковые) органами слуха человека не воспринимаются. Звуковые волны в газах и жидкостях могут быть только продольными, так как эти среды обладают упругостью лишь по отношению к деформациям сжатия растяжения. В твердых телах звуковые волны могут быть как продольными, так поперечными, так как твердые тела обладают упругостью по отношению к деформациям сжатия (растяжения) и сдвига.

Интенсивностью звука I (или силой звука– называется величина, определяемая средней по времени энергией, переносимой звуковой волной в единицу времени сквозь единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны:

. (23.1)

Единица интенсивности звука в СИ — [I] = (Вт/м2).

Чувствительность человеческого уха различна для разных частот. Для того чтобы вызвать звуковое ощущение, волна должна обладать некоторой минимальной интенсивностью, но если эта интенсивность превышает определенный предел, то звук не слышен и вызывает только болевое ощущение.

Таким образом, для каждой частоты колебаний существует наименьшая (порог слышимости) и наибольшая (порог болевого ощущения) интенсивность звука, которая способна вызвать звуковое восприятие. На рис.23.1 представлена зависимость порогов слышимости и болевого ощущения от частоты звука. Область, расположенная между этими двумя кривыми, является областью слышимости.

Если интенсивность звука является величиной, объективно характеризующей волновой процесс, то субъективной характеристикой звука, связанной с его интенсивностью, является громкость звука, зависящая от частоты. По физиологическому закону Вебера — Фехнера, с ростом интенсивности звука громкость возрастает по логарифмическому закону. На этом основании вводят объективную оценку громкости звука по измеренному значению его интенсивности:

, (23.2)

где I0— интенсивность звука на пороге слышимости, принимаемая для всех звуков равной 10-12 Вт/м2.

Величина L называется уровнем интенсивности звука и выражается в белах (в честь изобретателя телефона Белла). Обычно пользуются единицами, в 10 раз меньшими,— децибелами (дБ).

Рис.23.1.

Физиологической характеристикой звука является уровень громкости, который выражается в фонах (фон). Громкость для звука в 1000 Гц (частота стандартного чистого тона) равна 1 фон, если его уровень интенсивности равен 1 дБ. Например, шум в вагоне метро при большой скорости соответствует «90 фон, а шепот на расстоянии 1 м — 20 фон.

Некоторые данные об интенсивности звука от различных источников, а также в примечании некоторые советы.

Реальный звук является наложением гармонических колебаний с большим набором частот, как показано на рис.23.2. т. е. звук обладает акустическим спектром, который может быть сплошным, в некотором интервале присутствуют колебания всех частот (рис.23.2(б)) и линейчатым, где присутствуют отделенные друг от друга определенные частоты (рис.23.2(а)).

Источники звука	Уровень громкости дБ	Интенсивность Вт/м2	Примечание
Реактивный самолет (на расстоянии 30 м от него)	140	100	Строительство зданий и жилых домов в районе аэропортов не рекомендуется
Источник звука на пороге болевого ощущения	120	1	Вредно для здоровья человека т. к. порог вредности 90 дБ смертельный уровень 180 дБ.
Рок музыка в закрытом помещении	120	1	Вредно для здоровья человека т. к. порог вредности 90 дБ
Интенсивное уличное движение	70	1 10-5	Использование эффекта, что стоячая волна не переносит энергию, можно использовать для борьбы с шумами уличного движения. Между щитами, поставленными с рассчитанным расстоянием и под определенным углом к магистрали, можно создать стоячую волну (пример, Каширское шоссе, Московской обл.). На этом же эффекте сконструирован глушитель автомобиля “Toyota”
Шум в салоне автомобиля движущегося со скоростью 100 км/ч	75	3, 10-5
Обычный разговор	65	3 10-6
Родио (негромкое)	40	1 10-8
Шум листвы	10	1 10-11
Любой источник звука на пороге слышимости	0	1 10-12
а	б
Рис.23.2. Акустический спектр звуковых частот (а) – линейчатый; (б)-сплошной

Звуковое ощущение характеризуется помимо громкости еще высотой и тембром. Высота звука — качество звука, определяемое человеком субъективно на слух и зависящее от частоты звука. С ростом частоты высота звука увеличивается, т. е. звук становится «выше». Характер акустического спектра и распределения энергии между определенными частотами определяет своеобразие звукового ощущения, называемое тембром звука. Так, различные певцы, берущие одну и ту же ноту, имеют различный акустический спектр, т. е. они имеют различный тембр.