Курс общей физики, ориентированный на строительные специальности (конспект лекций) (стр. 8 )

Рассмотренные изохорный, изобарный, изотермический и адиабатический процессы имеют общую особенность – они происходят при постоянной теплоемкости.

ГЛАВА 12. ВТОРОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ

12.1. Круговой процесс (цикл). Обратимые и необратимые процессы

Круговым процессом (или циклом) называется процесс, при котором система, пройдя через ряд состояний, возвращается в исходное. На диаграмме процессов цикл изображается замкнутой кривой (рис.12.1). Цикл, совершаемый идеальным газом, можно разбить на

Рис.12.1. процессы расширения (1—2) и сжатия

(2—1) газа. Работа расширения (определяется площадью фигуры 1a2V2V1 1) –положительна (dV>0), работа сжатия (определяется площадью фигуры 2b1V1V22) – отрицательна (dV<0).

Следовательно, работа, совершаемая газом за цикл, определяется площадью, охватываемой замкнутой кривой. Если за цикл совершается положительная работа A= >0 (цикл протекает по часовой стрелке), то он называется прямым (рис.12.1.а), если за цикл совершается отрицательная работа A= <0 (цикл протекает против часовой стрелки), то он называется обратным (рис.12.1.б).

Прямой цикл используется в тепловых двигателях – периодически действующих двигателях, совершающих работу за счет полученной извне теплоты. Обратный цикл используется в холодильных машинах — периодически действующих установках, в которых за счет работы внешних сил теплота переносится к телу с более высокой температурой.

В результате кругового процесса система возвращается в исходное состояние и, следовательно, полное изменение внутренней энергии газа равно нулю. Поэтому первое начало термодинамики для кругового процесса

Q=ΔU+A=A, (12.1)

т. е. работа, совершаемая за цикл, равна количеству полученной извне теплоты. Однако в результате кругового процесса система может теплоту как получать, так и отдавать, поэтому

Q=Q1–Q2,

где Q1— количество теплоты, полученное системой, Q2 — количество теплоты, отданное системой. Поэтому термический коэффициент полезного действия для кругового процесса

η=. (12.2)

Термодинамический процесс называется обратимым, если он может происходить как в прямом, так и в обратном направлении, причем если такой процесс происходит сначала в прямом, а затем в обратном направлении и система возвращается в исходное состояние, то в окружающей среде и в этой системе не происходит никаких изменений. Всякий процесс, не удовлетворяющий этим условиям, является необратимым.

Любой равновесный процесс является обратимым. Обратимость равновесного процесса, следует из того, что ее любое промежуточное состояние есть состояние термодинамического равновесия; для него «безразлично», идет процесс в прямом или обратном направлении. Реальные процессы сопровождаются диссипацией энергии (из-за трения, теплопроводности и т. д.), которая нами не обсуждается. Обратимые процессы — это идеализация реальных процессов. Их рассмотрение важно по двум причинам: 1) многие процессы в природе и технике практически обратимы; 2) обратимые процессы являются наиболее экономичными; имеют максимальный термический коэффициент полезного действия, что позволяет указать пути повышения к. п. д. реальных тепловых двигателей.

12.2. Энтропия, ее статистическое толкование

Понятие энтропии введено в 1865 г. Р. Клаузиусом. Для выяснения физического содержания этого понятия рассматривают отношение теплоты Q, полученной телом в изотермическом процессе, к температуре Т теплоотдающего тела, называемое приведенным количеством теплоты.

Приведенное количество теплоты, сообщаемое телу на бесконечно малом участке процесса, равно δQ/T. Строгий теоретический анализ показывает, что приведенное количество теплоты, сообщаемое телу в любом обратимом круговом процессе, равно нулю:

. (12.3)

Из равенства нулю интеграла, взятого по замкнутому контуру, следует, что подынтегральное выражение δQ/T есть полный дифференциал некоторой функции, которая определяется только состоянием системы и не зависит от пути, каким система пришла в это состояние. Таким образом,

. (12.4)

Функция состояния, дифференциалом которой является δQ/T, называется энтропией и обозначается S.

Из формулы (12.3) следует, что для обратимых процессов изменение энтропии

ΔS =

В термодинамике доказывается, что энтропия системы, совершающей необратимый цикл, возрастает:

ΔS >0. (12.6)

Выражения (12.5) и (12.6) относятся только к замкнутым системам, если же система обменивается теплотой с внешней средой, то ее энтропия может вести себя любым образом. Соотношения (12.5) и (12.6) можно представить в виде неравенства Клаузиуса

ΔS≥0, (12.7)

т. е. энтропия замкнутой системы может либо возрастать (в случае необратимых процессов), либо оставаться постоянной (в случае обратимых процессов).

Если система совершает равновесный переход из состояния 1 в состояние 2, то, согласно (12.4), изменение энтропии

ΔS1→2=S2 – S1=. (12.8)

где подынтегральное выражение и пределы интегрирования определяются через величины, характеризующие исследуемый процесс. Формула (12.8) определяет энтропию, лишь с точностью до аддитивной постоянной. Физический смысл имеет не сама энтропия, а разность энтропий.

Исходя из выражения (12.8), найдем изменение энтропии в процессах идеального газа. Так как dU=ν CVdT, δΑ=pdV=ν RT, то

ΔS1→2=S2 – S1= ν CV+ ν R= ν , (12.9)

т. е. изменение энтропии ΔS1→2 идеального газа при переходе его из состояния 1 в состояние 2 не зависит от вида процесса перехода 1→2.

Так как для адиабатического процесса δQ= 0, то ΔS=0 и, следовательно, S=const, т. е. адиабатический обратимый процесс протекает при постоянной энтропии. Поэтому его часто называют изоэнтропийным процессом. Из формулы (12.9) следует, что при изотермическом процессе (T1= Т2)

ΔS= ν ,

при изохорном процессе (V1=V2)

ΔS= ν .

Энтропия обладает свойством аддитивности: энтропия системы равна сумме энтропий тел, входящих в систему. Свойством аддитивности обладают также внутренняя энергия, масса, объем (температура и давление таким свойством не обладают).

Более глубокий смысл энтропии вскрывается в статистической физике: энтропия связывается с термодинамической вероятностью состояния системы.

Термодинамическая вероятность W состояния системы — это число способов, которыми может быть реализовано данное состояние макроскопической системы, или число микросостояний, осуществляющих данное макросостояние (по определению, W> 1, т. е. термодинамическая вероятность не есть вероятность в математическом смысле (последняя всегда< 1!)).

Согласно Больцману, энтропия системы и термодинамическая вероятность связаны между собой следующим образом:

S = k lnW, (12.12)

где: k – постоянная Больцмана. Таким образом, энтропия определяется логарифмом числа микросостояний, с помощью которых может быть реализовано данное макросостояние. Следовательно, энтропия может рассматриваться как мера вероятности состояния термодинамической системы. Формула Больцмана (12.12) позволяет дать энтропии следующее статистическое толкование: энтропия является мерой неупорядоченности системы. В самом деле, чем больше число микросостояний, реализующих данное макросостояние, тем больше энтропия. В состоянии равновесия – наиболее вероятного состояния системы — число микросостояний максимально, при этом макcимальна и энтропия.

Так как реальные процессы необратимы, то можно утверждать, что все процессы в замкнутой системе ведут к увеличению ее энтропии – принцип возрастания энтропии. При статистическом толковании энтропии это означает, что процессы в замкнутой системе идут в направлении увеличения числа микросостояний, иными словами, от менее вероятных состояний к более вероятным, до тех пор пока вероятность состояния не станет максимальной.

Сопоставляя выражения (12.7) и (12.9), видим, что энтропия и термодинамическая вероятность состояний замкнутой системы могут либо возрастать (в случае необратимых процессов), либо оставаться постоянными (в случае обратимых процессов).

Отметим, однако, что эти утверждения, имеют место для систем, состоящих из очень большого числа частиц, но могут нарушаться, в системах с малым числом частиц. Для «малых» систем могут наблюдаться флуктуации, т. е. энтропия и термодинамическая вероятность состояний замкнутой системы на определенном отрезке времени могут убывать, а не возрастать, или оставаться постоянными.

12.3.Второе начало термодинамики

Первое начало термодинамики, выражая закон сохранения и превращения энергии, не позволяет установить направление протекания термодинамических процессов. Появление второго начала термодинамики связано с необходимостью дать ответ на вопрос, какие процессы в природе возможны, а какие нет. Второе начало термодинамики определяет направление протекания термодинамических процессов.

Используя понятие энтропии и неравенство Клаузиуса, второе начало термодинамики можно сформулировать как закон возрастания энтропии замкнутой системы при необратимых процессах: любой необратимый процесс в замкнутой системе происходит так, что энтропия системы при этом возрастает.

Можно дать более краткую формулировку второго начала термодинамики: в процессах, происходящих в замкнутой системе, энтропия не убывает. Здесь существенно, что речь идет о замкнутых системах, так как в незамкнутых системах энтропия может вести себя любым образом (убывать, возрастать, оставаться постоянной).

Формула Больцмана (12.12) позволяет объяснить постулируемое вторым началом термодинамики возрастание энтропии в замкнутой системе при необратимых процессах: возрастание энтропии означает переход системы из менее вероятных в более вероятные состояния. Таким образом, формула Больцмана позволяет дать статистическое толкование второго начала термодинамики. Оно, являясь статистическим законом, описывает закономерности хаотического движения большого числа частиц, составляющих замкнутую систему.

Укажем еще две формулировки второго начала термодинамики:

1) по Кельвину: невозможен круговой процесс, единственным результатом которого является превращение теплоты, полученной от нагревателя, в эквивалентную ей работу;

2) по Клаузиусу: невозможен круговой процесс, единственным результатом которого является передача теплоты от менее нагретого тела к более нагретому.

Первые два начала термодинамики дают недостаточно сведений о поведении термодинамических систем при нуле Кельвина. Они дополняются третьим началом термодинамики, или теоремой Нернста — Планка: энтропия всех тел в состоянии равновесия стремится к нулю по мере приближения температуры к нулю Кельвина:

S → 0 при Т→0. (12.13)

Из теоремы Нернста — Планка следует, что теплоемкости Ср и СV при 0 К равны нулю.

12.4. Тепловые двигатели и холодильные машины.

Цикл Карно и его к. п. д. для идеального газа

Из формулировки второго начала термодинамики по Кельвину следует, что вечный двигатель второго вода – периодически действующий двигатель, совершающий работу за счет охлаждения одного источника теплоты, – невозможен. Для иллюстрации этого положения рассмотрим работу теплового двигателя.

Принцип действия теплового двигателя приведен на рис.12.2.

От термостата с более высокой температурой T1 называемого нагревателем, за цикл отнимается количество теплоты Q1, а термостату с более низкой температурой T2, называемому холодильником, за цикл передается количество теплоты Q2, при этом совершается работа

А=Q1–Q2.

Чтобы термический коэффициент полезного действия теплового двигабыл η=1, необходимо выполнение условия Q2=0, т. е. тепловой двигатель должен иметь один источник теплоты, а это невозможно. Так, французский физик и инженер Карно показал, что для работы теплового двигателя необходимо не менее двух источников теплоты с различными температурами, иначе это противоречит второму началу термодинамики.

Процесс, обратный происходящему в тепловом двигателе, используется в холодильной машине, принцип действия которой представлен на рис.12.3. Системой за цикл от термостата с более низкой температурой Т2 отнимается количество теплоты Q2 и отдается термостату с более высокой температурой Т1 количество теплоты Q1. Для кругового процесса Q=A, но, по условию, Q=Q2=Q1<0, поэтому А<0 и Q2-Q1= - А, или Q1=Q2+A, т. е. количество теплоты Q1, отданное системой источнику теплоты при более ысокой температуре T1 больше количества теплоты Q2, полученного от источника теплоты при более низкой температуре Т2, на величину работы, совершенной над системой. Следовательно, без совершения работы нельзя отбирать теплоту от менее нагретого тела и отдавать ее более нагретому. Это утверждение есть не что иное, как второе начало термодинамики в формулировке Клаузиуса.

Основываясь на втором начале термодинамики, Карно вывел теорему: из всех периодически действующих тепловых машин, имеющих одинаковые температуры нагревателей (Т1) и холодильников (Т2) наибольшим к. п. д. обладают обратимые машины; при этом к. п. д. обратимых машин, работающих при одинаковых температурах нагревателей (Т1) и холодильников (Т2), равны друг другу и не зависят от природы рабочего тела (тела, совершающего круговой процесс и обменивающегося энергией с другими телами), а определяются только температурами нагревателя и холодильника.

Цикл Карно – наиболее экономичный цикл, состоящий из двух изотерм и двух адиабат. Рассмотрим прямой цикл Карно, в котором в качестве рабочего тела используется идеальный газ, заключенный в сосуд с подвижным поршнем.

Цикл Карно изображен на рис.12.4, где изотермические расширение и сжатие заданы соответственно кривыми 1–2 и 3–4, а адиабатические расширение и сжатие – кривыми 2–3 и 4–1.

При изотермическом процессе U= const, поэтому количество теплоты Q1 полученное газом от нагревателя, равно работе расширения А12, совершаемой газом при переходе из состояния 1 в состояние 2:

A12 =νRT1 =Q1. (12.13)

При адиабатическом расширении 2—3 теплообмен с окружающей средой отсутствует и работа расширения A23 совершается за счет изменения внутренней энергии

A23 =–νCV(T2-T1).

Количество теплоты Q2, отданное газом холодильнику при изотермическом сжатии, равно работе сжатия A34:

A34=νRT2 =–Q2. (12.14)

Работа адиабатического сжатия

A41 =–νCV(T1–T2)=–A23.

Работа, совершаемая в результате кругового процесса,

A=A12+ A23+ A34+ A41=Q1+ A23– Q2– A23= Q1– Q2

определяется площадью, заштрихованной на рис.12.4.

Термический к. п. д. (12.2) для цикла Карно равен:

η = A/Q1 = (Q1–Q2)/Q1.

Применив уравнение Пуассона (11.28) для адиабат 2–3 и 4–1, получим

T1 = T2 , .

Откуда

V2/V1 = V3/V4. (12.15)

Подставляя (12.13) и (12.14) в формулу (12.2) и учитывая (12.15), получаем

η=, (12.16)

т. е. для цикла Карно к. п. д. действительно определяется только температурами нагревателя и холодильника. Для его повышения необходимо увеличивать разность температур нагревателя и холодильника. Например, при Т1=400 К и Т2=300 К η=0,25. Если же температуру нагревателя повысить на 100 К, а температуру холодильника понизить на 50 К, то η=0,5. К. п. д. всякого реального теплового двигателя из-за трения и неизбежных тепловых потерь гораздо меньше вычисленного для цикла Карно.

Обратный цикл Карно положен в основу действия тепловых насосов. В отличие от холодильных машин тепловые насосы должны как можно больше тепловой энергии отдавать горячему телу, например системе отопления. Часть этой энергии отбирается от окружающей среды с более низкой температурой, а часть – получается за счет механической работы, производимой, например, компрессором.

Теорема Карно послужила основанием для установления термодинамической шкалы температур. Сравнив левую и правую части формулы (12.16), получим

Τ2/T1=Q2/Q1, (12.17)

т. е. для сравнения температур T1 и T2 двух тел необходимо осуществить обратимый цикл Карно, в котором одно тело используется в качестве нагревателя, а другое – холодильника. Из равенства (12.17) видно, что отношение температур тел равно отношению отданного в этом цикле количества теплоты к полученному.

Электричество и магнетизм

ГЛАВА 13. ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОСТАТИКИ

13.1. Атомистичность заряда. Закон сохранения заряда

Имеется два вида электрических зарядов, условно называемых «положительными» и «отрицательными». Заряды одного знака отталкиваются, разных знаков – притягиваются.

Электрический заряд является неотъемлемым свойством некоторых так называемых элементарных частиц. Заряд всех заряженных элементарных частиц одинаков по абсолютной величине. Его можно назвать элементарным зарядом. Обозначать его будем буквой е.

К числу элементарных частиц принадлежат – электрон (отрицательно заряжен), протон (положительно заряжен) и нейтрон (не заряжен).

Обычно частицы, несущие заряды разных знаков, присутствуют в равных количествах и распределены в теле с одинаковой плотностью. В этом случае алгебраическая сумма зарядов в любом элементарном объеме тела равна нулю, и каждый такой объем будет нейтральным.

Поскольку всякий заряд q образуется совокупностью элементарных зарядов, он является целым кратким е:

.

Электрические заряды могут исчезать и возникать вновь. Однако всегда возникают или исчезают одновременно два элементарных заряда противоположных знаков. Поэтому суммарный заряд электрически изолированной системы не может изменяться. Это утверждение носит название закона сохранения электрического заряда.

Электрический заряд измеряется в системе СИ в Кулонах (Кл).

13.2. Закон Кулона

В 1785 г. Кулон экспериментально, с помощью крутильных весов установил, что сила взаимодействия двух точечных зарядов пропорциональна величине каждого из зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними

, (13.1)

где = 9×109 Нм2/Кл2,

или в векторном виде

. (13.2)

В этом выражении под следует подразумевать вектор, проведенный от одного заряда к другому и имеющий направление к тому из зарядов, к которому приложена сила .

Рис. 13.1

В системе СИ . Тогда закон Кулона примет вид

. (13.3)

Здесь e0 = 8,85×10-12 Кл2/Нм2 – абсолютная диэлектрическая проницаемость вакуума.

Взаимодействие между зарядами осуществляется через электрическое поле. Всякий заряд изменяет свойства окружающего его пространства – создает в нем электрическое поле. Поле проявляет себя в том, что на помещенный в какую-либо его точку электрический заряд действует сила. По величине силы можно судить об «интенсивности» поля.

Силу, действующую на единичный положительный заряд, помещенный в данную точку поля, называют напряженностью электрического поля в этой точке

. (13.4)

Из закона Кулона следует, что

. (13.5)

За единицу напряженности электрического поля принимается напряженность в такой же точке, в которой на заряд, равный единице действует единичная сила (в СИ 1к – заряд, 1н – сила). .

Опыт показывает, что сила, с которой система зарядов действует на некоторый не входящий в систему заряд, равна векторной сумме сил, с которыми действует на данный заряд каждый из зарядов системы в отдельности. Отсюда вытекает, что напряженность поля системы зарядов равна векторной сумме напряженностей полей, которые создавал бы каждый из зарядов системы в отдельности:

(13.6)

это утверждение носит название принципа суперпозиции (наложения) электрических полей.

13.3. Поток вектора напряженности

Электрическое поле можно задать, указав для каждой точки величину и направление вектора . Совокупность этих векторов образует поле вектора напряженности электрического поля. Электрическое поле можно описать с помощью линий напряженности (линий ), которые проводятся так, чтобы касательная к ним в каждой точке совпадала с направлением вектора . Густота линий выбирается так, чтобы количество линий, пронизывающих единицу поверхности перпендикулярной к линиям площадки, было равно численному значению вектора . Линии точечного заряда представляют собой совокупность радиальных прямых, направленных от заряда, если он положителен, и к заряду, если он отрицателен. Линии одним концом опираются на заряд, другим уходят в бесконечность. Покажем это. Полное число линий N, пересекающих сферическую поверхность произвольного радиуса r, будет равно произведению густоты линий на поверхность сферы 4pr2. Густота линий по условию численно равна

.

Следовательно, N численно равна

,

т. е. полное число линий на любом расстоянии от заряда будет одно и то же. Следовательно, линии нигде, кроме заряда, не начинаются и не заканчиваются; они, начавшись на заряде, уходят в бесконечность, либо, приходя из бесконечности, заканчиваются на заряде.

Рис. 13.2.

Поскольку густота линий выбирается равной численному значению Е, количество линий, пронизывающих площадку dS, перпендикулярных будет численно равна ЕdS. Если площадка dS ориентирована так, что нормаль к ней образует с вектором угол a, то количество линий, пронизывающих площадку, будет численно равно ЕdS cos a= En dS, где En – составляющая вектора по направлению нормали к площадке.

Отсюда для количества линий , пронизывающих произвольную поверхность, получается следующее выражение:

.

Если имеется поле некоторого вектора , то выражение , где Ап – составляющая вектора по направлению нормали к dS, называется потоком вектора через поверхность S.

Следовательно, поток вектора

(13.7)

численно равен количеству линий , пронизывающих поверхность S.

13.4. Теорема Гаусса

В предыдущем разделе было показано, что окружающую точечный заряд q сферическую поверхность любого радиуса r пересекает линий . Отсюда вытекает, что из точечного заряда выходит линий.

Поток вектора через некоторую поверхность численно равен количеству линий , пересекающих эту поверхность. Следовательно, поток вектора через охватывающую заряд сферическую поверхность равен . Знак потока совпадает со знаком заряда.

Не сферическая поверхность без «морщин» пересекается каждой линией только один раз. Поэтому число пересечений равно количеству линий, выходящих из заряда, т. е. .

Если поверхность с «морщинами», то число пересечений может быть только нечетным и потому противоположные вклады, вносимые в общий поток

Рис. 13.3. взаимно уничтожаются, за

исключением одного.

Таким образом, для любой формы замкнутой поверхности, охватывающей точечный заряд q , поток вектора сквозь эту поверхность равен .

Пусть внутри некоторой замкнутой поверхности заключено несколько точечных зарядов произвольный знаков: q1, q2 и т. д. Поток вектора по определению равен

(13.8)

(кружок у знака интеграла указывает на то, что интегрирование производится по замкнутой поверхности).

В силу принципа суперпозиции полей

.

Подставив это в выражение для потока, получим

,

где - нормальная составляющая напряженности поля, создаваемого і-м зарядом в отдельности.

Но .

Следовательно . (13.9)

Доказанное утверждение называется теоремой Гаусса. Эта теорема может быть сформулирована следующим образом: поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на e0.

Если внутри поверхности заряды отсутствуют, поток равен нулю.

Если заряд распределен внутри замкнутой поверхности непрерывно с объемной плотностью r, теорема Гаусса должна быть записана следующим образом:

, (13.10)

где интеграл справа берется по объему V, охватываемому поверхностью S.

Теорема Гаусса позволяет найти напряженность поля гораздо проще, чем с использованием формулы для напряженности поля точечного заряда и принципа суперпозиции.

13.5. Поле бесконечной однородно заряженной плоскости

Рассмотрим как, создаваемое бесконечной плоскостью, заряженной с постоянной поверхностной плотностью s

. (13.11)

Рис. 13.4. Из соображений симметрии вытекает, что напряженность в любой точке поля имеет направление перпендикулярное к плоскости.

Представим себе мысленно цилиндрическую поверхность с образующими, перпендикулярными к плоскости, и основаниями величины DS, расположенными относительно плоскости симметрично. Применим к этой поверхности теорему Гаусса. Поток через боковую часть поверхности будет отсутствовать, поскольку Еп в каждой ее точке равна нулю.

Для оснований Еп совпадает с Е. Следовательно, суммарный поток через поверхность будет равен 2ЕDS. Внутри поверхности заключен заряд s×DS. Согласно теореме Гаусса должно выполняться условие

2ЕDS = ,

откуда Е = . (13.12)

13.6. Поле двух разноименно заряженных плоскостей

Поле двух параллельных бесконечных плоскостей, заряженных разноименно с одинаковой по величине постоянной поверхностной плоскостью s, можно найти как суперпозицию полей, создаваемых каждой из плоскостей в отдельности.

Легко видеть, что в области между плоскостями складываемые поля имеют одинаковое направление, так что результирующая напряженность равна

Е = .

Вне объема, ограниченного

Рис. 13.5. плоскостями, складываемые поля имеют противоположные направления, так что результирующая напряженность равна нулю.

Таким образом, поле оказывается сосредоточенным между плоскостями. Напряженность поля во всех точках этой области одинакова по величине и по направлению. Поле, обладающее свойствами, называется однородным.

Линии напряженности однородного поля представляют собой совокупность параллельных равноотстоящих прямых.

13.7. Поле бесконечно заряженного цилиндра

Рассмотрим поле, создаваемое бесконечной цилиндрической поверхностью радиуса R, заряженной с постоянной поверхностной плотностью s. Из соображений симметрии следует, что напряженность поля в любой точке должна быть направлена вдоль радиальной прямой, перпендикулярна к оси цилиндра, а величина напряженности может зависеть лишь от расстояние r от оси цилиндра.

Рис. 13.6.

Представим себе мысленно коаксиальную с заряженной поверхностью замкнутую цилиндрическую поверхность радиуса r и высотой h. Для оснований этого цилиндра Еп = 0, для боковой поверхности Еп = Е(r). Следовательно, поток линий через эту замкнутую поверхность будет равен Е(r)×2p×r×h. Если r > R, внутри поверхности попадает заряд , где l - линейная плотность заряда. Применяя теорему Гаусса, получаем

Е(r)×2p×r×h = ,

откуда Е(r)×= . (13.13)

Если r < R, рассматриваемая замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, вследствие чего Е(r) = 0. Таким образом, внутри заряженной цилиндрической поверхности бесконечной длины поле отсутствует.