Курс общей физики, ориентированный на строительные специальности (конспект лекций) (стр. 13 )

. (20.21)

График вынужденных колебаний представлен на рис.20.2. Решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка (20.15) состоит из двух слагаемых. Слагаемое общего решения (20.16) играет заметную роль только в начальной стадии процесса при установлении колебаний. В дальнейшем этим слагаемым можно пренебречь т. к. оно содержит член е-dt . Т. о. вынужденные колебания описываются функцией гармонических колебаний (20.21) с частотой равной частоте ω вынуждающей силы F. Для данной колебательной системы с известной частотой и коэффициентом затухания амплитуда вынужденных колебаний (20.19) зависит от амплитуды и частоты вынуждающей силы.

Рис.20.2.

Одним из видов вынужденных колебаний являются вибрации, которые сопровождают нас повсюду и в большинстве случаев эти вибрации являются нежелательными. В первую очередь можно назвать вибрации и колебания авто и железнодорожного транспорта, моторов и станков, нефтяных и газовых платформ, зданий и сооружений в зоне повышенной сейсмической опасности. Во всех случаях стоит задача изоляции от источника вибраций. Несмотря на все конструкционные различия суть системы вибраций одинакова. Пассивная система состоит из пружины и демпфера. Пружина призвана смягчить вибрации и толчки, а демпфер погасить возникшие в системе колебания. Активная система использует также дополнительную пару, состоящую из акселерометра и электромагнитного привода, что позволяет достигнуть исключительную высокую степень виброизоляции.

20.3.Резонанс вынужденных колебаний

Амплитуда вынужденных колебаний А зависит от частоты ω вынужденных колебаний. При совпадении собственной частоты колебаний с вынужденной частотой амплитуда достигает своего максимального значения. В результате наступает резонанс – явление резкого возрастания значения амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к резонансной частоте.

Для определения резонансной частоты продифференцируем выражение (20.21) по w и приравняв к нулю получим условие определения

(20.22)

уравнение (20.22) имеет физический смысл лишь при значении резонансной частоты:

. (20.23)

Подставляя (20.23) в (20.19) получим выражение для амплитуды резонанса

. (20.24)

На рис. 20.3 приведена зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты при различных значениях δ.

Рис.20.3. Резонансные кривые.

При частоте - Арез ® к бесконечности.

Кривые соответствующие различным параметрам d называются резонансными. Из формулы (20.24) вытекает, что при малых затуханиях (d2 << w2) резонансная амплитуда равна:

. (20.25)

Добротность Qхарактеризует резонансные свойства колебательной системы, чем больше добротность, тем больше резонансная частота.

Явления резонанса могут быть как вредными, так и полезными. Например, при конструировании машин и различного рода сооружений и зданий необходимо, чтобы собственная частота колебаний их не совпадала с частотой возможных внешних воздействий. В противном случае возникают вибрации, которые могут вызывать серьезные разрушения. Великий тенор Энрико Карузо мог заставить бокал разлететься вдребезги, спев в полный голос ноту надлежащей высоты.

Железнодорожный мост разрушился из-за того, что выбоина в колесе проходящего поезда возбудила резонансные явления в конструкции моста. Причиной знаменитой катастрофы Тамского моста в 1940г (США) были резонансные явления, возникшие при большом ветре.

В университете штата Нью-Йорк, предложен новый амортизатор, предназначенный для использования, прежде всего, в строительстве зданий и мостов. Он способен поглощать и превращать в тепло да 98% энергии удара. Подобные устройства могли бы помочь ученым и инженерам в разработке новых способов использования всевозможных природных ударов. Долгое время для поглощения энергии ударов использовались зернистые веществ, в том числе песок и почва. Предлагается вместо однородных по размерам частиц, использовать цепочку неоднородных по убыванию размеров упругих частиц. В результате мощного начального удара, самая мелкая частица получает лишь растянутых по времени ряд слабых толчков. Амплитуда их не превышает 10% от амплитуды начального импульса. Эта простейшая система показывает, что теоретически любой удар можно амортизировать с соответствующей комбинацией равномерно сужающихся цепочек, и использовать в мирных целях энергию нежелательных механических вибраций и даже землетрясений.

Для некоторых систем вопрос о наличии или отсутствии трения играет весьма существенную роль. Иногда инженерам приходится бороться с трением в конструкциях. Например, в некоторых приборах применяются упругие шарниры, в которых желательно добиться, возможно, меньшего рассеяния энергии Рассеяние энергии имеет место в любой колебательной системе. Конструкции зданий должны обладать значительным демпфированием; это обстоятельство чрезвычайно важно с точки зрения поведения здания при землетрясении.

ГЛАВА 21. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

21.1 Свободные электромагнитные колебания

Среди различных колебательных процессов особое место занимают электромагнитные колебания. При электромагнитных колебаниях электрические величины периодически изменяются, и которые сопровождаются взаимными превращениями электрических и магнитных полей. Электромагнитные колебания возникают в колебательном контуре. Колебательные контур состоит из последовательно соединенных конденсатора емкостью С, активного сопротивления R и катушки индуктивности L.(Рис.21.1)

Рис.21.1

Рассмотрим последовательные стадии колебательного процесса в идеализированном контуре, сопротивление которого пренебрежимо мало (R~0). Для возбуждения в контуре колебаний конденсатор предварительно заряжают, сообщая его обкладкам заряды ±q. Тогда в начальный момент времени t = 0 между обкладками конденсатора возникнет электрическое поле, энергия которого . Если замкнуть конденсатор на катушку индуктивности, он начнет разряжаться, и в контуре потечет возрастающий со временем ток I. В результате энергия электрического поля будет уменьшаться, а энергия магнитного поля катушки (она равна) - возрастать. Так как (R~0).Согласно закону сохранения энергии, полная энергия , так как она на нагревание не расходуется.

Поэтому в момент , когда конденсатор полностью разрядится, энергия электрического поля обращается в нуль, а энергия магнитного поля (следовательно, и ток) достигает наибольшего значения. Начиная с этого момента, ток в контуре будет убывать; следовательно, начнет ослабевать магнитное поле катушки, и в ней индуцируется ток, который течет (согласно правилу Ленца) в том же направлении, что и ток разрядки конденсатора. Конденсатор начнет перезаряжаться, возникнет электрическое поле, стремящееся ослабить ток, который, в конце концов, обратится в нуль, а заряд на обкладках конденсатора достигнет максимума. Далее те же процессы начнут протекать в обратном направлении, и система к моменту времени t = T придет в первоначальное состояние. После этого начнется повторение рассмотренного цикла разрядки–зарядки конденсатора. Если бы потерь энергии не было, то в контуре совершались бы периодические незатухающие колебания, т. е. периодически изменялись (колебались) бы заряд q на обкладках конденсатора, напряжение U на конденсаторе и сила тока I, текущего через катушку индуктивности. Следовательно, в контуре возникают электрические колебания, причем колебания сопровождаются последовательными превращениями энергии электрического поля в магнитное и наоборот. Электрические колебания в колебательном контуре можно сопоставить с механическими колебаниями маятника, сопровождающимися взаимными превращениями потенциальной и кинетической энергий маятника.

Согласно закону Ома для контура, содержащего катушку индуктивности L, конденсатор емкостью С, и резистор сопротивлением R

, (21.1)

где – IR-напряжение на резисторе, - напряжение на конденсаторе, - э. д.с. самоиндукции, возникающая в катушке при протекании в ней электрического тока. (Единственная э. д.с. в контуре).

При замене ε уравнение (21.1) преобразуется

. (21.2)

Разделив (21.2) на L, и учтем, что и , получим дифференциальное уравнение колебаний заряда q в контуре:

. (21.3)

В данном колебательном контуре внешняя э. д.с отсутствует, поэтому рассматриваемые колебания представляют собой свободные колебания. При условии, когда R=0. Колебания в контуре свободные и являются гармоническими. Тогда из (21.3) получим дифференциальное уравнение, свободных гармонических колебаний заряда в контуре.

, (21.4)

где – .

Решение такого дифференциального уравнения представлено в виде

, (21.5)

qmax –амплитуда колебаний электрического заряда на конденсаторе с циклической частотой, называемой собственной частотой контура.

Период свободных электромагнитных колебаний определяется формулой Томсона

. (21.6)

Сила тока в колебательном контуре

, (21.7)

где- амплитуда силы тока.

Напряжение на конденсаторе

, (21.8)

где - амплитуда напряжения.

Из выражений (21.7) и (21.8) вытекает, что колебания тока I опережают по фазе колебания заряда q на , т. е. когда ток достигает максимального значения, заряд (а также и напряжение) обращается в нуль и наоборот.

21.2.Затухающие колебания в электрическом колебательном контуре

При наличии в колебательном контуре активного сопротивления R дифференциальное уравнение затухающих колебаний заряда в колебательном контуре описывается уравнением (21.3)

Введем коэффициент затухания

. (21.9)

Уравнение (21.3) можно переписать в виде

. (21.10)

Решением данного уравнения является выражение

, (21.11)

частота ω затухающих колебаний в колебательном контуре, как видно, зависит от параметров контура и описывается уравнением:

. (21.12)

Логарифмический декремент затухания определяется формулой (20.11), а добротность электрического контура также определяется его параметрами

. (21.13)

При увеличении коэффициента затухания δ период затухающих колебаний растет и при превращается в бесконечность, т. е. движение перестает быть периодическим. В данном случае колеблющаяся величина стремится к нолю. Такой процесс называется апериодическим. В технике это называется демпфированием.

Стрелки измерительных приборов (вольтметров, амперметров, индикаторов уровня) обычно соединяются с демпферами, которые обеспечивают плавное затухание критических отклонений. Если бы демпфирование было слишком слабым, то стрелка долго колебалась бы, прежде чем установиться на определенном значении. Если бы оно было очень велико, то стрелка медленно бы ползла к правильному значению и не успевала отслеживать быстрые изменения уровня записи.

21.3.Вынужденные электромагнитные колебания

В электромагнитных вынужденных колебаниях роль вынуждающей силы играет подводимая к контуру внешняя периодически изменяющаяся по гармоническому закону э. д.с. или переменное напряжение:

. (21.14)

Тогда уравнение вынужденных электромагнитных колебаний с учетом уравнения (21.4) будет иметь вид:

. (21.15)

Используя преобразования в (21.10) придем к уравнению

. (21.16)

Решение уравнения (21.16) проводится аналогично как и, для механических вынужденных колебаний. Максимальное значение заряда для частного решения уравнения (21.16), с учетом формул (21.9) и (21.12), можно представить в виде:

, (21.16)

. (21.17)

Эти соотношения аналогичны выражениям (20.20) и (20.21).

21.4.Переменный электрический ток

Переменный электрический ток представляет собой установившиеся вынужденные колебания заряда на участках электрической цепи, содержащих катушку индуктивности, резистор или конденсатор. Переменный ток можно считать квазистационарным т. е. для него мгновенные значения силы тока во всех сечениях цепи практически одинаковы, так как их изменения происходят достаточно медленно, а электромагнитные возмущения распространяются по цепи со скоростью равной скорости света. Для мгновенных значений квазистационарных токов выполняется закон Ома и вытекающие из него правила Кирхгофа, которые будут использованы применительно к переменным токам.

Рассмотрим последовательно процессы, происходящие в цепи, содержащей резистор, катушку индуктивности и конденсатор при приложениях к ним переменного напряжения

. (21.18)

Переменный ток, текущий через резистор сопротивлением R( L→0, C →0).

Схема представлена на рис. 21.2(а).

а	б
Рис.20.2.

При выполнении условия квазистационарности ток через резистор определяется по закону Ома

, (21.19)

где - амплитудное значение силы тока.

Для наглядности Изображения соотношений между переменными токами напряжениями воспользуемся методом векторных диаграмм. На рис.21.2(б) дана векторная диаграмма амплитудных значений тока Im и напряжения Um (сдвиг фаз между Um и Im равен нулю).

Переменный ток, текущий через катушку индуктивности L( R→0; C→0).

Схема представлена на рис. 21.3(а).

а	б
Рис.21.3

Если к цепи приложено переменное напряжение, (21.18) то в ней потечет переменный ток, в результате чего возникает э. д.с. самоиндукции

. (21.20)

Тогда закон Ома для рассматриваемого участка цепи имеет вид:

. (21.21)

откуда .

Так как внешнее напряжение приложено к катушке индуктивности, то

- есть падение напряжения на катушке из уравнения (21.21) следует, что

, (21.22)

или после интегрирования, учитывая, что постоянная интегрирования равна нулю, получим:

, (21.23)

где , величина– называется реактивное индуктивное сопротивление.

Из выражения (21.23) вытекает, что для постоянного тока (ω=0) катушка индуктивности не имеет сопротивления. Подставляя значения в выражение (21.21) с учетом UL, приводит к следующему значению падения напряжения на катушке индуктивности:

. (21.24)

Сравнение выражений (21.приводит к выводу, что падение напряжения UL опережает по фазе ток I текущий через катушку на , что и показано на векторной диаграмме рис.21.3б.

Переменный ток текущий через конденсатор емкостью С (L→0, R →0 )

Схема представлена на рис. 21.4(а).

a	б
Рис.21.4

Если переменное напряжение (21.18) приложено к конденсатору, то он все время перезаряжается и в цепи потечет переменный ток. Так как все внешне напряжение приложено к конденсатору, а сопротивлением подводящих проводов можно пренебречь, то напряжение на пластинах конденсатора

. (21.25)

Сила тока в цепи равна:

, (21.26)

где ; величина - называется реактивным емкостным сопротивлением. Для постоянного тока (ω=0) , т. е. постоянный ток через конденсатор течь не может. Падение напряжение на конденсаторе

. (21.27)

Сравнение выражений (21.26) и (21.27) приводит к выводу, что падение напряжения UC отстает по фазе от текущего через конденсатор тока, на . Это показано на векторной диаграмме рис.21.4(б).

Цепь переменного тока содержащая, последовательно включенные резистор катушку индуктивности и конденсатор.

На рис. 21.5(а) представлена цепь, содержащая резистор R, катушку индуктивности L и конденсатор емкостью C на концы которого подается переменное напряжение (21.18).

а	б
Рис.21.5.

В цепи, возникает переменный ток, который вызывает на всех элементах цепи соответствующие падения напряжения UR, UL, и UC. Векторная диаграмма амплитуд падений напряжений на резисторе (UR), катушке (UL) и конденсаторе (UC) показана на рис. 21.5(б).

Амплитуда Um приложенного напряжения должна быть равна векторной сумме амплитуд этих падений напряжений. Как видно из рисунка 21.5(б) угол φ определяет разность фаз между напряжением и силой тока

. (21.28)

Из прямоугольного треугольника получаем, откуда амплитуда силы тока

. (21.29)

Выражение (21.29) описывает закон Ома для цепи переменного тока, которая содержит последовательно соединенные активное и реактивные сопротивления.

Следовательно, если напряжение в цепи изменяется по закону

,

то в цепи течет ток

, (21.30)

где φ и Im определяются соответственно формулами (21.28) и (21.29).

Величина - называется полным сопротивлением цепи.

21.5.Резонанс токов и напряжение в цепи переменного тока

Резонанс напряжений. Если в цепи переменного тока, содержащей последовательно включенный конденсатор, катушку индуктивности и резистор (рис.21.5(а))

, (21.31)

то угол сдвиг фаз между током и напряжением (21.28) обращается в нуль (φ=0), т. е. изменения тока и напряжения происходят синфазно. Условию (21.38) удовлетворяет частота

. (21.32)

В данном случае полное сопротивление цепи Z становится минимальным, равным активному сопротивлению R цепи, и ток в цепи определяется этим сопротивлением, принимая максимальные (возможные при данном Um) значения. При этом падение напряжения на активном сопротивлении равно внешнему напряжению, приложенному к цепи (UR=U), а падения напряжений на конденсаторе (Uc) и катушке индуктивности (UL) одинаковы по амплитуде и противоположны по фазе. Это явление называется резонансом напряжений, а зависимость амплитуды силы тока от ω дана на рис. 21.6.

Рис.21.6.

В случае резонанса напряжений , поэтому, подставив в эту формулу значения резонансной частоты и амплитуды напряжений на катушке индуктивности и конденсаторе, получим

, (21.33)

где Q – добротность контура, определяемая выражением (21.13). Так как добротность обычных колебательных контуров больше единицы, то напряжение, как на катушке индуктивности, так и на конденсаторе превышает напряжение, приложенное к цепи. Поэтому явление резонанса напряжений используется в технике для усиления колебания напряжения какой-либо определенной частоты. Например, в случае резонанса на конденсаторе можно получить напряжение с амплитудой QUm, (Q в данном случае—добротность контура), которое может быть значительно больше Um. Это усиление напряжения возможно только для узкого интервала частот вблизи резонансной частоты контура, что позволяет выделить из многих сигналов одно колебание определенной частоты, т. е. на радиоприемнике настроиться на нужную длину волны. Явление резонанса напряжений необходимо учитывать при расчете изоляции электрических линий, содержащих конденсаторы и катушки индуктивности, так как иначе может наблюдаться их пробой.

Резонанс токов. Рассмотрим цепь переменного тока, содержащую параллельно включенные конденсатор емкостью С и катушку индуктивностью L (рис.21.7). Для простоты допустим, что активное сопротивление обеих ветвей настолько мало, что им можно пренебречь.

Рис.21.7.

Если приложенное напряжение изменяется по закону , то согласно формуле (21.30) в ветви 1С2 течет ток

, (21.34)

амплитуда которого определяется из выражения (21.29) при условии R=0 и L=0

.

Начальная фаза φ1 этого тока по формуле (21.28)определяется равенством ,

, где n=1,2,3… (21.35)

Аналогично сила тока в ветви 1L2 определяется из соотношения (21.29) при условии R=0, C= (условие отсутствия емкости в цепи). Начальная фаза φ2 этого тока , откуда

, где n=1,2,3. (21.36)

Из сравнения выражений (20.35) и (20.36) вытекает, что разность фаз токов в ветвях 1С2 и 1L2 равна, т. е. токи в ветвях противоположны по фазе. Амплитуда силы тока во внешней (неразветвленной) цепи

.

Если , то и .

Явление резкого уменьшения амплитуды силы тока во внешней цепи, питающей параллельно включенный конденсатор и катушку индуктивности, при приближении частоты ω приложенного напряжения к резонансной частоте ωрез называется резонансом токов (параллельным резонансом). В данном случае для резонансной частоты получили такое же значение, как и при резонансе напряжений.

Амплитуда сила тока оказалась равна нулю потому, что активным сопротивлением контура пренебрегли. Если учесть сопротивление R, то разность фаз φ1— φ2 не будет равна л, поэтому при резонансе токов амплитуда силы тока будет отлична от нуля, но примет наименьшее возможное значение. Таким образом, при резонансе токов во внешней цепи токи I1 и I2 компенсируются и сила тока I, в подводящих проводах, достигает минимального значения, обусловленного только током через резистор. При резонансе токов силы токов I1 и I2 могут значительно превышать силу тока I.

Рассмотренный контур оказывает большое сопротивление переменному току с частотой, близкой к резонансной, поэтому это свойство резонанса токов используется в резонансных усилителях, позволяющих выделять одно определенное колебание из сигнала сложной формы. Кроме того, резонанс токов используется в индукционных печах, где нагревание металлов производится вихревыми токами. В них емкость конденсатора, включенного параллельно нагревательной катушке, подбирается так, чтобы при частоте генератора получился резонанс токов, в результате чего сила тока через нагревательную катушку будет гораздо больше, чем сила тока в подводящих проводах.

21.6. Мощность, выделяемая в цепи переменного тока

Мгновенное значение мощности переменного тока равно произведению мгновенных значений напряжения и силы тока:

,

где , , раскрыв , получим