Курс общей физики, ориентированный на строительные специальности (конспект лекций) (стр. 9 )

13.8. Работа сил электростатического поля

Сила, действующая на точечный заряд, находящийся в поле другого неподвижного точечного заряда, является центральной. Центральное поле сил – потенциально. Убедимся в этом. Для этого вычислим работу, которая совершается силами поля неподвижного точечного заряда q над перемещающимся в этом поле точечным зарядом q¢. Работа на элементарном пути dl равна

.

Отсюда для работы на пути 1-2 получается выражение

Рис. 13.7. .

Полученный результат свидетельствует, что работа зависит лишь от начального и конечного положений заряда (r1 и r2). Следовательно, электростатическое поле точечного заряда является потенциальным.

Работа, совершаемая силами поля над зарядом q¢ при обходе его по замкнутому контуру, может быть представлена как

,

где Ее – проекция вектора на направление элементарного перемещения . Приравняв выражающий работу интеграл нулю и сократив на постоянную величину q¢, придем к следующему соотношению:

,

которое должно выполняться для любого замкнутого контура.

Выражение вида называется циркуляцией вектора по данному контуру.

13.9. Потенциал

Тело, находящееся в потенциальном поле сил, обладает потенциальной энергией, за счет которой совершается работа силами поля.

Работу можно представить в виде разности значений потенциальной энергии, которой заряд q¢ обладал в точках 1 и 2 поля заряда q:

.

Отсюда для потенциальной энергии заряда q¢ в поле заряда q получаем

. (13.14)

Разные пробные заряды … будут обладать энергией … Однако отношение будет для всех зарядов одно и то же. Величина

(13.15)

называется потенциалом поля в данной точке и используется, наряду с напряженностью поля , для описания электрических полей.

Потенциал численно равен потенциальной энергии, которой обладает в данной точке поля единичный положительный заряд.

Подставляя в (13.15), значение потенциальной энергии (13.14), получим для потенциала поля точечного заряда следующее выражение:

. (13.16)

Рассмотрим поле, создаваемой системой точечных зарядов Расстояние от каждого из зарядов до данной точки поля обозначим Работа, совершаемая силами этого поля над зарядом , при переносе из точки 1 в 2, будет равна алгебраической сумме работ сил, обусловленных каждым из зарядов в отдельности:

.

Каждая из работ равна

,

где - расстояние от заряда до начального положения заряда , - расстояние от заряда до конечного положения заряда . Следовательно

.

Сопоставляя это выражение с соотношением

,

получаем для потенциальной энергии заряда в поле системы зарядов выражение

,

отсюда

. (13.17)

Таким образом, потенциал поля, создаваемого системой зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности.

Так как потенциалы складываются алгебраически, то их вычисление проще чем вычисление напряженностей электрического поля.

Из (13.15) следует, что заряд , находящийся в точке поля с потенциалом j, обладает потенциальной энергией

.

Следовательно, работа сил поля над зарядом может быть выражена через разность потенциалов:

.

Таким образом, работа, совершаемая над зарядом силами поля, равна произведению величины заряда на разность потенциалов в начальной и конечной точках. Если заряд из точки с потенциалом j удаляется на бесконечность (где по условию потенциал равен нулю), работа сил поля будет равна

.

Отсюда следует, что потенциал численно равен работе, которую совершают силы поля над единичным положительным зарядом при удалении его из данной точки на бесконечность. Такую же по величине работу необходимо совершить против сил электрического поля для того, чтобы переместить единичный положительный заряд из бесконечности в данную точку поля.

За единицу потенциала в СИ принимается потенциал в такой точке, для перемещения в которую из бесконечности заряда, равного 1 кулону, нужно совершить работу в 1 джоуль:

[j] = В

1В = .

13.10. Связь между напряженностью электрического поля

и потенциалом

Работа сил поля над зарядом на отрезке пути может быть представлена, с одной стороны, как , с другой же стороны как убыли потенциальной энергии заряда, т. е. как . Приравнивая эти выражения, получим

,

откуда находим, что

,

где через обозначено произвольно выбранное направление в пространстве. В частности,

, , ,

откуда .

Выражение, стоящее в скобках, называется градиентом скаляра j (обозначается ). Используя обозначения градиента, можно написать:

, (Ñ - набла).

Таким образом, напряженность электрического поля равна градиенту потенциала, взятому с обратным знаком. Направление градиента совпадает с направлением , в котором при смещении из дано точки функция j, возрастая по величине, изменяется с наибольшей скоростью.

Величина производной по этому направлению дает модуль градиента. Частные производные представляют собой проекции градиента на координатные оси . Проекция градиента на ^ к нему направление t, очевидно, равна нулю: .

Поясним соотношения между напряженностью поля и потенциалом на примере поля точечного заряда. Потенциал этого поля выражается функцией .

Рассмотрим точку поля 1, положение которой определяется радиусом-вектором . При смещении из этой точки в разных направлениях на одинаковой величине малый отрезок наибольшее

Рис. 13.8. положительное приращение j получается для

направления от точки 1 к заряду , если он положителен, и от заряда к точке 1, если отрицателен. Следовательно, направление градиента может быть представлено в виде

,

где (-) соответствует положительному заряду, а (+) – отрицательному. Проекция на направление равна

или .

13.11. Эквипотенциальные поверхности

Для наглядного изображения поля можно вместо напряженности воспользоваться поверхностями равного потенциала или эквипотенциальными поверхностями. Эквипотенциальная поверхность – это такая поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал. Если потенциал задан как функция x, y, z, уравнение эквипотенциальной поверхности имеет вид

j (x, y, z) = const.

Направление нормали к эквипотенциальной поверхности будет совпадать с направлением вектора в той же точке.

Уславливаются проводить поверхности таким образом, чтобы разность потенциалов для двух соседних поверхностей была одна и та же. Тогда по густоте эквипотенциальных поверхностей можно судить о величине напряженности поля. Чем гуще, тем быстрее изменяется потенциал.

Рис. 13.9.

13.12. Применение электростатики в строительстве

13.12.1.Покрытия, основанные на электростатических принципах

Преимущества покрытий, основанных на электростатических принципах.

Применение электростатических процессов для покрытий получило в последние годы широкое распространение благодаря следующим преимуществам.

Скорость процесса. Производительность, даже в условиях ручной окраски, выше, чем при классических способах. В автоматизированных системах скорость может быть увеличена за счет последовательности вспомогательных операций: сложные повороты при продвижении детали на конвейере, предварительная обработка детали, обезжиривание и т. д.

Качество продукции. Можно получить покрытие деталей с одним и тем же уровнем качества в условиях одинаковой вязкости краски, эмали или пудры, рабочего давления, расстояния до объекта, обработки деталей, подачи и снятия с конвейера, времени и рабочей скорости.

Экономия ручного труда. Большинство авторов утверждает, что использование этой технологии позволяет высвободить значительное количество маляров. Приведенные цифры показывают, что в зависимости от способа высвобождается от 1/3 до 2/3 количества работающих по классическим методам.

Регулировка процесса. Толщина покрытия может регулироваться в широких пределах при изменении расхода краски, скорости ленты и т. д.

Независимость от квалификации рабочего. Качество покрытия не зависит от мастерства и опыта маляра, а определяется средствами, которыми он пользуется.

Уменьшенные потери краски, эмали, порошков. Управление частицами в электрическом поле обеспечивает осаждение большинства их на объекте, подлежащем покрытию. При влажном способе покрытия коэффициент использования составляет 40—60%, а при окраске опыливанием — свыше 90%- Материал, направленный не к окрашиваемому объекту, рекуперируется и вновь включается в технологический процесс.

Простота контроля покрытий. Изменение электростатических свойств покрытия при превышении определенного слоя порошка позволяет легко контролировать толщину пленки даже малоопытному оператору.

Возможность окрашивания деталей сложных конструкций (сетчатых, трубчатых, сложного профиля и т. д.).

13.12.2.Строительные технологические процессы, которые сопровождаются образованием электростатических полей

В деревообрабатывающей, текстильной, бумажной и других отраслях промышленности осуществляется большое количество технологических процессов, которые сопровождаются образованием электростатических зарядов, являющихся источником статического электрического поля (СЭП) значительных напряженностей, в тысячи раз превышающих напряженности полей Земли. Так, при шлифовке фанеры и прессованного картона на­пряженность поля достигает 1000—1600 кВ/м, при каландировании тканей с синтетическими добавками — 1200 кВ/м, создавая при этом у поверхности тела рабочего за счет накопления зарядов поля напряженностью 500 —1500кВ/м.

В производстве при получении и обработке пластмасс и других материалов, обладающих низкой электропроводностью, при трении, ударах и других процессах на материале возникают электрические заряды, сохраняющиеся длительное время и создающие потенциал до 150 кВ и поля напря­женностью 100—600 кВ/м.

При контакте человека с оборудованием, имеющим низкую электропроводность, на поверхности тела или одежде может возникнуть заряд порядка нескольких десятков киловольт. При контакте человека, несущего на себе такой заряд, с конструкциями, обладающими высокой электропроводностью и имеющими хорошее заземление (корпус станка из металла), возникает искровой разряд, энергии которого вполне достаточно, чтобы вызвать взрыв или воспламенение веществ, а также привести к весьма болезненным ощущениям «удара током» со всеми вытекающими последствиями.

Широкое применение новые синтетические материалы получают в строительстве и в быту. Большой «удельный вес» приходится на полимерные материалы (мебель, покрытия для пола, одежда), обладающие высокими диэлектрическими свойствами, а значит, способностью накапливать заряды значительной величины и генерировать электростатические поля большой напряженности.

Определение напряженности статического поля в натурных условиях показало, что пол из полимерных материалов создает поле в 30-50 кВ/м, а при низкой влажности окружающего воздуха — 150-200 кВ/м. Уровень электризуемости полимерных материалов и, следовательно, электрическое поле сильно зависят не только от химической структуры материала, но и от влажности воздуха.

ГЛАВА 14. ДИЭЛЕКТРИКИ. ЭЛЕКТРОЕМКОСТЬ

14.1. Полярные и неполярные молекулы

Если диэлектрик внести в электрическое поле, то это поле и сам диэлектрик претерпевают существенные изменения. Чтобы это понять, нужно учесть, что в составе атомов и молекул имеются положительно заряженные ядра и отрицательно заряженные электроны. Электроны и ядра постоянно движутся. Для расстояний больших по сравнению с размерами молекул, действия электронов эквивалентно действию их суммарного заряда, помещенного в некоторую точку внутри молекулы. Назовем эту точку центром тяжести отрицательных зарядов. Аналогично действие ядер эквивалентно действию их суммарного заряда, помещенного в центр тяжести положительных зарядов. Радиус-вектор центра тяжести положительных зарядов вычисляется по формуле:

,

где - радиус-вектор точки, в которой помещается i-тый положительный заряд,

q – суммарный положительный заряд молекулы.

Аналогично для радиус-вектора центра тяжести отрицательных зарядов имеем:

,

- радиус-вектор усредненного по времени положения j-го отрицательного заряда.

Если центры тяжести положительных и отрицательных зарядов в отсутствии внешнего электрического поля не совпадают, то молекула называется полярной. Полярная молекула обладает собственным электрическим моментом .

.

Применяя единую нумерацию можно записать:

.

Рис. 14.1.

Молекула, у которой центры тяжести зарядов разных знаков в отсутствии поля совмещены, собственным электрическим моментом не обладает и называется неполярной.

В электрическом поле заряды в неполярной молекуле смещаются друг относительно друга: положительные по направлению поля, отрицательные против поля. В результате молекула приобретает электрический момент , величина которого пропорциональна напряженности поля

,

где b - поляризуемость молекулы.

Дипольный момент имеет размерность в системе СИ (Кл·м), = м3.

Процесс поляризации неполярной молекулы протекает так, как если бы положительные и отрицательные заряды молекулы были связаны друг с другом упругими силами. Поэтому говорят, что полярная молекула ведет себя во внешнем поле как упругий диполь.

Действие внешнего поля на полярную молекулу сводится в основном к стремлению повернуть молекулу так, чтобы ее электрический момент установился по направлению поля. На величину электрического момента внешнее поле практически не влияет. Следовательно, полярная молекула ведет себя во внешнем поле как жесткий диполь.

14.2. Диполь в однородном и неоднородном электрических полях

Если диполь поместить в однородное электрическое поле, образующие диполь заряды +q и –q окажутся под действием равных по величине, но противоположных по направлению сил и .

Рис. 14.2.

Эти силы образуют пару, плечо которой равно l·sina, т. е. зависит от ориентации диполя относительно поля. Модуль каждой из сил равен q×E. Умножив его на плечо, получим величину момента пары сил, действующей на диполь:

, (14.1)

где р – электрический момент диполя.

Формулу (14.1) можно записать в векторном виде:

. (14.2)

Вращающий момент стремится повернуть диполь так, чтобы его дипольный момент установился по направлению поля.

Чтобы увеличить угол между векторами и на 2a, нужно совершить против работу сил, действующих на диполь в электрическом поле:

.

Эта работа идет на увеличение потенциальной энергии W, которой обладает диполь в электрическом поле:

. (14.3)

Интегрируя (14.3) получим выражение для энергии диполя в электрическом поле:

.

Наконец, полагая const равной нулю, получаем

. (14.4)

Выбор Сonst=0 соответствует положению диполя перпендикулярно полю. Наименьшее значение энергии, равное –рЕ, получается при ориентации диполя по направлению поля, наибольшее, равное рЕ, - при ориентации против поля.

В неоднородном поле силы, действующие на заряды диполя, не одинаковые по величине. При малых размерах диполя силы и можно считать коллинеарными. Предположим, что поле быстрее всего изменяется в направлении х, совпадающем с направлением в том месте, где расположен диполь. Положительный заряд диполя смещен относительно отрицательного в направлении х на величину .

Рис. 14.3.

Поэтому напряженность поля в точках, где помещаются заряды, отличается на .

Следовательно, результирующая +сил, действующих на диполь, будет отлична от нуля. Проекция этой результирующей на ось х, очевидно равна:

. (14.5)

Таким образом, в неоднородном поле на диполь кроме вращательного момента (14.2) действует сила (14.5), под действием которой диполь либо втягивается в область более сильного поля (угол a острый), либо выталкивается из нее (угол a тупой).

14.3. Поляризация диэлектриков

В отсутствии внешнего электрического поля дипольные моменты молекул диэлектрика или равны нулю (неполярные молекулы), или распределены по направлениям в пространстве хаотическим образом (полярные молекулы). В обоих случаях суммарный электрический момент диэлектрика равен нулю. Под действием внешнего поля диэлектрик поляризуется. Результирующий электрический момент единицы объема характеризует степень поляризации диэлектрика. Если поле или диэлектрик неоднородны, степень поляризации в разных точках диэлектрика будет различна. Чтобы охарактеризовать поляризацию в данной точке, нужно выделить заключающий в себе эту точку физически бесконечно малый объем , найти сумму моментов, заключенных в этом объеме молекул, и взять отношение

, (14.6)

Р – вектор поляризации диэлектрика.

У диэлектриков любого типа (кроме сегнетоэлектриков) вектор поляризации связан с напряженностью поля в той же точке простым соотношением:

, (14.7)

где c - диэлектрическая восприимчивость.

Для диэлектриков, построенных из неполярных молекул, формула (13.7) вытекает из следующих простых соображений. В пределы объема попадает количество молекул, равное , где n – число молекул в единице объема.

.

Разделив это выражение на , получим вектор поляризации .

Отсюда следует, что .

Под напряженностью поля в диэлектрике понимают значение , получающееся усреднением истинного поля по физически бесконечно малому объему.

Поле получается в результате наложения двух полей: поля , создаваемого свободными зарядами, т. е. такими зарядами, которые могут передаваться от одного тела к другому при их касании, и поля связанных зарядов. В силу принципа суперпозиции полей:

. (14.8)

Связанные заряды отличаются от свободных лишь тем, что не могут покинуть пределы молекулы (или атома), в состав которой они входят. В остальном их свойства таковы, как и у всех прочих зарядов. В частности, на связанных зарядах начинаются или заканчиваются линий вектора . Поэтому теорему Гаусса для определяемого выражением (1) вектора нужно записать в виде:

. (14.9)

В это выражение входит сумма связанных зарядов не известная нам. Но можно выразить сумму связанных зарядов через поток вектора поляризации:

. (14.10)

Объединив (14.9) и (14.10) получим:

. (14.11)

Выражение в скобках называют электрическим смещением или электрической индукцией и обозначают буквой .

. (14.12)

С использованием этой величины формула (14.11) может быть записана в виде:

. (14.13)

Эта формула выражает теорему Гаусса для вектора электрического смещения: поток вектора электрического смещения через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности свободных зарядов.

Подставив в формулу (14.12) выражение для , получим:

. (14.14)

Безразмерную величину (14.15)

называют относительной диэлектрической проницаемостью.

Следовательно, соотношение (14.14) можно записать в виде . Электрическое смещение поля точечного заряда в вакууме равно:

.

14.4. Поле внутри плоской пластины

Рассмотрим поле, создаваемое в вакууме двумя бесконечными разноименно заряженными плоскостями. Обозначим напряженность поля , а электрическое смещение . Внесем в это поле пластину из однородного диэлектрика. Под действием поля диэлектрик поляризуется и на его поверхностях появятся связанные заряды плотности . Эти заряды создадут внутри пластины однородное поле, напряженностью .

Рис. 14.4.

Вне диэлектрика в данном случае . Напряженность поля . Оба поля направлены навстречу друг к другу, следовательно, внутри диэлектрика

.

Так как , то получим

, , откуда

, умножив на , получаем электрическое смещение внутри пластины:

.

Таким образом, внутри пластины электрическое смещение равно напряженности поля свободных зарядов, умноженной на , т. е. совпадает с электрическим смещением внешнего поля .

14.5. Электроемкость

Сообщенный проводнику заряд q распределяется по его поверхности так, чтобы напряженность поля внутри проводника была равна нулю. Увеличение заряда приводит к увеличению напряженности поля в каждой точке окружающего проводник пространства. Следовательно, возрастет потенциал проводника. Таким образом, для уединенного проводника:

. (14.16)

Коэффициент пропорциональности С между потенциалом и зарядом называется электроемкостью проводника. Из (14.16) следует, что:

. (14.17)

Электроемкость численно равна заряду, сообщение которого проводнику повышает его потенциал на единицу.

Вычислим потенциал заряженного шара радиуса R. Между разностью потенциалов и напряженностью поля существует соотношение:

.

Поэтому потенциал шара можно найти, проинтегрировав выражение для напряженности вне сферы

,

по r от R до ¥ (потенциал на бесконечности полагаем равным нулю).

. (14.18)

Сравнивая (14.18) с (14.17), находим, что емкость уединенного шара радиуса R, погруженного в однородный безграничный диэлектрик с относительной проницаемостью , равна:

.

За единицу емкости принимают емкость такого проводника, потенциал которого изменяется на 1В при сообщении ему заряда в 1К. Эта единица емкости называется фарадой (Ф). 1 Ф = .