Курс общей физики, ориентированный на строительные специальности (конспект лекций) (стр. 11 )

где - поток магнитной индукции, пересекаемый проводником при его движении.

Полученный результат легко обобщить на случай неоднородного поля. Для этого проводник нужно разбить на участки и сложить элементарные работы, совершаемые над каждым участком (в пределах каждой малой площадки магнитную индукцию можно считать постоянной).

Если вектор образует с нормалью к контуру угол a, отличный от нуля, направления силы составит с направлением перемещения также угол a и

,

где - составляющая вектора по направлению нормали к площадке . Произведение есть - поток, пересекаемый проводником. Таким образом и в этом случае мы приходим к формуле (16.7).

Заметим, что совершается не за счет магнитного поля, а за счет источника, поддерживающего ток в контуре.

Найдем работу, совершаемую над замкнутым контуром с током при его перемещении в магнитное поле. Предположим, что контур остается в одной плоскости. Силы, приложенные к участку контура 1-2, образуют с направлением перемещения острые углы. Следовательно, совершаемая ими работа А1 положительна. Эта работа пропорциональна силе тока и пересеченному потоку магнитной индукции

.

Силы, действующие на участок 2-1, образуют с направлением перемещения тупые углы. Поэтому совершаемая ими работа А2 отрицательна

.

Работа, совершаемая над всем контуром, равна

.

16.4. Сила Лоренца

Сила, действующая на электрический заряд q, движущийся в магнитном поле со скоростью , называется силой Лоренца и выражается формулой

,

где — индукция магнитного поля, в котором заряд движется.

Направление силы Лоренца определяется с помощью правила левой руки: если ладонь левой руки расположить так, что бы в нее входил вектор , а четыре вытянутых пальца направить вдоль вектора (для q> 0 направления I и совпадают, для q<0—противоположны), то отогнутый большой палец покажет направление силы, действующей на положительный заряд.

Модуль силы Лоренца равен , где a - угол между и . Отметим, что магнитное поле не действует на покоящийся электрический заряд. В этом существенное отличие магнитного поля от электрического. Магнитное поле действует только на движущиеся в нем заряды.

Закон полного тока для магнитного поля в вакууме (теорема о циркуляции вектора ): циркуляция вектора по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной m0 на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим контуром:

,

где п — число проводников с токами, охватываемых контуром L произвольной формы. Каждый ток учитывается столько раз, сколько раз он охватывается контуром. Положительным считается ток, на правление которого связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта; ток противоположного направления считается отрицательным.

16.5. Влияние магнитных полей на живые организмы

В последнее время в народном хозяйстве заметно расширилась сфера применения магнитных полей или установок, соз­дающих магнитные поля. При этом напряженность поля и площадь его рассеяния растут. Имеются сообщения, что существующие установки могут возбуждать в зазоре электромагнита поля напряженностью 8×106-2×108 А/м (напряженность есте­ственного магнитного поля Земли приблизительно равна 40 А/м). При некоторых технологических процессах магнитное поле является основным фактором, например, при производ­стве постоянных магнитов, и оператор находится под влиянием достаточно сильного поля. Так, при производстве магнитов в области рук операторов напряженность поля дости­гает А/м, в области туловища — А/м.

Сильными источниками ЭМП могут служить токи промыш­ленной частоты (¦= 50 Гц). Измерения напряженности ЭМП в районах прохождения электрических высоковольтных линий передачи показывают, что под линией она может достигать не­скольких тысяч вольт на метр. Так как волны этого диапазона сильно поглощаются почвой, то уже на небольшом удалении от линии (50—100 м) напряженность падает до нескольких сот и даже нескольких десятков вольт на метр. Часто высоковольт­ные линии электропередачи проходят рядом с жилой застрой­кой и даже пересекают ее. Согласно данным ряда авторов, напряженности 300—1000 В/см могут оказывать неблагоприятное действие на организм, а 5000—10 000 В/см вызывают гибель животных. В связи с этим необходимо гигиеническое изучение и нормиро­вание данного фактора.

ГЛАВА 17. ПОТОК ВЕКТОРА МАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ.

ТЕОРЕМА ГАУССА

17.1 Потоком вектора магнитной индукции (магнитным потоком) через площадку dS называется скалярная физическая величина, равная

, (17.1)

где — проекция вектора на направление нормали к площадке dS (a — угол между векторами и ), — вектор, модуль которого равен dS, а направление совпадает с направлением нормали к площадке. Поток вектора может быть как положительным, так и отрицательным в зависимости от знака соsa (определяется выбором положительного направления нормали ). Обычно поток вектора связывают с определенным контуром, по которому течет ток. В таком случае положительное направление нормали к контуру нами уже определено: оно связывается с током правилом правого винта. Таким образом, магнитный поток, создаваемый контуром через поверхность, ограниченую им самим, всегда положителен.

Поток вектора магнитной индукции через произвольную поверхность

. (17.2)

Для однородного поля и плоской поверхности, расположенной перпендикулярно вектору , и

.

Из этой формулы определяется единица магнитного потока вебер (Вб): 1 Вб — магнитный поток, проходящий через плоскую поверхность площадью 1 м2, расположенную перпендикулярно однородному магнитному полю, индукция которого 1 Тл (1 Вб=1 Тл×м2).

Теорема Гаусса для поля : поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю:

.

Эта теорема отражает факт отсутствия магнитных зарядов, вследствие чего линии магнитной индукции не имеют ни начала, ни конца и являются замкнутыми.

В качестве примера рассчитаем поток вектора через соленоид. Магнитная индукция однородного поля внутри соленоида с сердечником с магнитной проницаемостью m, равна

.

Магнитный поток через один виток соленоида площадью S равен

,

а полный магнитный поток, сцепленный со всеми витками соленоида и называемый потокосцеплением,

.

Обобщая результаты своих многочисленных опытов, Фарадей пришел к количественному закону электромагнитной индукции ei. Он показал, что всякий раз, когда происходит изменение сцепленного с контуром потока магнитной индукции, в контуре возникает индукционный ток; возникновение индукционного тока указывает на наличие в цепи электродвижущей силы, называемой электродвижущей силой электромагнитной индукции. Значение индукционного тока, а следовательно, и э. д.с. электромагнитной индукции ei, определяются только скоростью изменения магнитного потока, т. е.

ei . (17.3)

Теперь необходимо выяснить знак ei. Знак магнитного потока зависит от выбора положительной нормали к контуру. В свою очередь, положительное направление нормали связано с током правилом правого винта. Следовательно, выбирая определенное положительное направление нормали, мы определяем как знак потока магнитной индукции, так и направление тока и э. д.с. в контуре. Пользуясь этими представлениями и выводами, можно соответственно прийти к формулировке закона электромагнитной индукции Фарадея: какова бы ни была причина изменения потока магнитной индукции, охватываемого замкнутым проводящим контуром, возникающая в контуре э. д.с.

ei. (17.4)

Знак минус показывает, что увеличение потока называется э. д.с. ei < 0, т. е. поле индукционного тока направлено навстречу потоку; уменьшение потока вызывает ei > 0, т. е. направления потока и поля индукционного тока совпадают. Знак минус в формуле (17.4) является математическим выражением правила Ленца — общего правила для нахождения направления индукционного тока.

Правило Ленца: индукционный ток в контуре имеет всегда такое направление, что создаваемое им магнитное поле препятствует изменению магнитного по тока, вызвавшего этот индукционный ток.

Закон Фарадея может быть непосредственно получен из закона сохранения энергии. Рассмотрим проводник с током I, который помещен в однородное магнитное поле, перпендикулярное плоскости контура, и может свободно перемещаться. Под действием силы Ампера , направление которой показано на рисунке, проводник перемещается на отрезок . Эта сила совершает работу . Произведение , а , таким образом, сила Ампера производит работу dA =I dF, где dF — пересеченный проводником магнитный поток.

Если полное сопротивление контура равно , то, согласно закону сохранения энергии, работа источника тока за время равная (eIdt) будет складываться из работы на джоулеву теплоту и работы по перемещению проводника в магнитном поле :

e ,

откуда ,

где ℰi есть закон Фарадея.

17.2. Токи при замыкании и размыкании цепи

Рассмотрим процесс выключения тока в цепи, содержащей источник тока с э. д.с. e, резистор сопротивлением R и катушку индуктивностью L. Под действием внешней э. д. с. в цепи течет постоянный ток

I0 = ei / R

(внутренним сопротивлением источника тока пренебрегаем).

В момент времени t=0 отключим источник тока. Ток через катушку индуктивности L начнет уменьшаться, что приведет к возникновению э. д.с. самоиндукции eS, препятствующей, согласно правилу Ленца, уменьшению тока. В каждый момент времени ток в цепи определяется законом Ома I = eS /R, или

. (17.5)

Разделив в выражении (17.5) переменные, получим . Интегрируя это уравнение по I (от I0 до I) и t (от 0 до t), находим , или

, (17.6)

где — постоянная, называемая временем релаксации. Из (17.6) следует, что t есть время, в течение которого сила тока уменьшается в е раз.

Таким образом, в процессе отключения источника э. д.с. сила тока убывает по экспоненциальному закону (17.6) и определяется кривой 1 на рис. 17.1. Чем больше индуктивность цепи и меньше ее сопротивление, тем больше t и, следовательно, тем медленнее уменьшается ток в цепи при ее размыкании.

При замыкании цепи помимо внешней э. д.с. e возникает э. д.с. самоиндукции eS , препятствующая, согласно правилу Ленца, возрастанию тока. По закону Ома, IR = e + eS, или

IR = e .

Введя новую переменную e, преобразуем это уравнение к виду

,

где t — время релаксации.

В момент замыкания (t=0) сила тока I = 0 и U = e. Следовательно, интегрируя по U (от - e до IR- e) и t (от 0 до t), находим , или

, (17.7)

где e /R установившийся ток (при t ® 0).

Рис. 17.1.

Таким образом, в процессе включения источника э. д.с. нарастание силы тока в цепи задается функцией и определяется кривой 2 на рис.17.1. Сила тока возрастает от начального значения I = 0 и асимптотически стремится к установившемуся значению e /R. Скорость нарастания тока определяется тем же временем релаксации , что и убывающие тока. Установление тока происходит тем быстрее, чем меньше индуктивность цепи и больше ее сопротивление.

Оценим значение э. д.с. самоиндукции eS, возникающей при мгновенном увеличении сопротивления цепи постоянного тока от R0 до R. Предложим, что мы размыкаем контур, когда в нем течет установившийся ток . При размыкании цепи ток изменяется по формуле (17.6). подставив в нее выражение для I0 и t , получим

.

Э. д.с. самоиндукции

eS e ,

т. е. при значительном увеличении сопротивления цепи обладающей большой индуктивностью, э. д.с. самоиндукции может во много раз превышать э. д.с. источника тока, включенного в цепь. Таким образом, необходимо учитывать, что контур, содержащий индуктивность, нельзя резко размыкать, т. к. это (возникновение значительных э. д.с. самоиндукции) может привести к пробою изоляции и выводу из строя измерительных приборов. Если в контур сопротивление вводить постепенно, то э. д.с. самоиндукции не достигнет больших значений.

ГЛАВА 18. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ

18.1. Магнитные моменты электронов и атомов

Опыт показывает, что все вещества, помещенные в магнитное поле, намагничиваются. Рассмотрим причину этого явления с точки зрения строения атомов и молекул положив в основу гипотезу Ампера, согласно которой в любом теле существуют микроскопические токи, обусловленные движением электронов в атомах и молекулах.

Для качественного объяснения магнитных явлений с достаточным приближением можно считать, что электрон движется в атоме по круговым орбитам. Электрон, движущийся по одной из таких орбит, эквивалентен круговому току, по этому он обладает орбитальным магнитным моментом , модуль которого

, (18.1)

где - сила тока, n - частота вращения электрона по орбите, S — площадь орбиты. Если электрон движется по часовой стрелке, то ток направлен против часовой стрелки и вектор в соответствии с правилом правого винта направлен перпендикулярно плоскости орбиты электрона.

С другой стороны, движущийся по орбите электрон обладает механическим моментом импульса , модуль которого,

, (18.2)

где . Вектор (его направление также подчиняется правилу правого винта), называется орбитальным механическим моментом электрона.

Направления и противоположны, поэтому, учитывая выражения (18.1) и (18.2), получим

, (18.3)

где величина

(18.4)

называется гиромагнитным отношением орбитальных моментов (общепринято писать со знаком «—», указывающим на то, что направления моментов противоположны). Это отношение, определяемое универсальными постоянными, одинаково для любой орбиты, хотя для разных орбит значения u и r различны. Формула (18.4) выведена для круговой орбиты, но она справедлива и для эллиптических орбит.

Экспериментальное определение гиромагнитного отношения проведено в опытах Эйнштейна и де Гааза, которые наблюдали поворот свободно подвешенного на тончайшей кварцевой нити железного стержня при его намагничивании во внешнем магнитном поле (по обмотке соленоида пропускался переменный ток с частотой, равной частоте крутильных колебаний стержня). При исследовании вынужденных крутильных колебаний стержня определялось гиромагнитное отношение, которое оказалось равным . Таким образом, знак носителей, обусловливающих молекулярные токи, совпадал со знаком заряда электрона, а гиромагнитное отношение оказалось в два раза большим, чем введенная ранее величина g.

Закон полного тока для магнитного поля в веществе (теорема о циркуляции вектора ) является обобщением закона полного тока для магнитного поля в вакууме

,

где I и I¢ — соответственно алгебраические суммы макротоков (токов проводимости) и микротоков (молекулярных токов), охватываемых произвольным замкнутым контуром L. Таким образом, циркуляция вектора магнитной индукции по произвольному замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов проводимости и молекулярных токов, охватываемых этим контуром, умноженной на магнитную постоянную. Вектор , таким образом, характеризует результирующее поле, созданное как макроскопическими токами в проводниках (токами проводимости), так и микроскопическими токами в магнетиках, поэтому линии вектора магнитной индукции не имеют источников и являются замкнутыми.

18.2. Магнитные свойства вещества. Ферромагнетизм

Характерная особенность ферромагнетиков состоит в том, что для них зависимость J от Н (а следовательно и В от Н) определяется предысторией намагничения ферромагнетика. Это явление получило название магнитного гистерезиса. Если намагнитить ферромагнетик до насыщения, а затем начать уменьшать напряженность Н намагничивающего поля, то, как показывает опыт, уменьшение J описывается кривой 1—2, лежащей выше кривой 1—0. При Н=0 J отличается от нуля, т. е. в ферромагнетике наблюдается остаточное намагничение Joc. С наличием остаточного намагничения связано существование постоянных магнитов.

Намагничение обращается в нуль под действием поля НC, имеющего направление, противоположное полю, вызвавшему намагничение. Напряженность НC, называется коэрцитивной силой.

При дальнейшем увеличении противоположного поля ферромагнетик перемагничивается (кривая 3—4), и при Н=-Ннас достигается насыщение (точка 4). Затем ферромагнетик можно опять размагнитить (кривая 4—5—6) и вновь перемагнитить до насыщения (кривая 6-1).

Таким образом, при действии на ферромагнетик переменного магнитного поля намагниченность J изменяется в соответствии с кривой 1—2—3—4—5—6—1, которая называется петлей гистерезиса (от греч. «запаздывание»). Гистерезис приводит к тому, что намагничение ферромагнетика не является однозначной функцией Н, т. е. одному и тому же значению Н соответствует несколько значений J.

18.3. Диамагнетизм

Электрон, движущийся по орбите, подобен волчку. Поэтому ему должны быть свойственны все особенности поведения гироскопов под действием внешних сил, в частности три соответствующих условиях должна возникать прецессия электронной орбиты. Если атом находится во внешнем магнитном поле , на орбиту действует вращательный момент , стремящийся установить орбитальный магнитный момент электрона по направлению поля (при этом механический момент устанавливается против поля). Под действием момента векторы и совершают процессию вокруг направления вектора магнитной индукции , скорость которой легко найти.

Итак, под действием внешнего магнитного поля происходит прецессия электронных орбит с одинаковой для всех электронов угловой скоростью. Обусловленное прецессией дополнительное движение электронов приводит к возникновению индуцированного магнитного момента атома, направленного против поля.

Диамагнетизм обнаруживают лишь те вещества, у которых атомы не обладают

Рис. 18.2. магнитным моментом (векторная сумма орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов атома равна нулю). Диамагнетики: (Bi, Ag, Au, Cu, смолы углерода).

18.4. Парамагнетизм

Если магнитный момент атомов отличен от нуля, вещество оказывается парамагнитным. Внешнее магнитное поле стремится установить магнитные моменты атомов вдоль , тепловое движение стремится разобрать их равномерно по всем направлениям. В результате устанавливается некоторая равновесная преимущественная ориентация моментов вдоль поля тем большая, чем больше , и тем меньшая, чем выше температура.

Кюри экспериментально установил закон, согласно которому парамагнитная килограмм – атомная восприимчивость вещества равна

æкат ,

где С – постоянная Кюри, зависящая от рода вещества, Т – абсолютная температура.

æ ,

где - вектор интенсивности намагничивания.

Он равен пределу отношения магнитного момента некоторого объема вещества к этому объему, когда последний стремится к нулю:

,

где - число частиц, содержащихся в объеме вещества, а - магнитный момент i-ой частицы.

Парамагнетики: Pt, Al.

Колебания и волны

ГЛАВА 19. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

19.1.Гармонические колебания и их характеристики

Довольно распространенный тип движения механических систем представляют собой так называемые малые колебания, которые система совершает вблизи своего положения устойчивого равновесия

Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Колебания различают механические и электромагнитные. Различные колебательные процессы описываются одинаковыми характеристиками, процессами и уравнениями.

Системы, в которых можно наблюдать периодическое движение называются колебательными. Периодическое движение, один раз возникнув, может продолжаться без постороннего действия внешних периодических сил. Колебания, происходящие в системе, на которую не действуют внешние силы, называются свободными.

Хорошо известно, что в ряде случаев тело, получившее некоторое возмущение, после этого совершает колебания. Хотя такие свободные колебания сами по себе обычно не представляют особенного интереса для техники, знакомство с ними необходимо, поскольку их роль косвенно чрезвычайно важна.

Свободные колебания совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему.

Рассмотрим эти движения в наиболее простом случае, когда система имеет всего лишь одну степень свободы. Это значит, что для однозначного определения положения колеблющейся системы в таком пpостpанстве достаточно задать всего одно число. Это не обязательно должна быть декартова координата, а в зависимости от условий задачи может оказаться более удобным выбор какой-то другой величины. Такая величина, однозначно хаpактеpизующая положение системы, называется ее обобщенной координатой.

Простейшим типом колебания являются гармонические колебания, где зависимость координаты х от времени задается уравнением

, (19.1)

где А – амплитуда - максимальное значение колеблющейся величины,

w0 - циклическая частота является основной характеристикой колебаний, не зависящей от начальных условий движения, и в частности, от энергии,

j0 - начальная фаза колебаний при t=0,

φ = (w0t +j0)- фаза колебаний в момент времени t.

Фаза показывает, состояние колеблющейся системы в данный момент времени.

Определенные состояния системы повторяются через промежуток времени называемый периодом колебания Т, время за которое фаза колебаний получает приращение равное 2p

(19.2)

Таким образом, период колебаний Т – это наименьший промежуток времени, по истечении которого повторяются значения всех физических величин, характеризующих колебания. К примеру, если система совершает n колебаний за время t , то период Т определяется, как . Период колебаний в системе СИ измеряется в секундах [T]= c.

Величина обратная периоду колебаний называется частотой, т. е. число колебаний в единицу времени. В системе СИ единица измерения частоты – Герц [ν]=[Гц]

. (19.3)

При подстановке (19.2) в (19.3) получим связь циклической частоты с частотой, а также и с периодом

. (19.4)

19.2. Дифференциальное уравнение свободных колебаний

Для изучения любого физического явления необходима модель. Моделью для изучения механических колебаний является гармонический осциллятор.

Гармоническим осциллятором называется система, совершающая колебания, которые могут быть описаны дифференциальным уравнением свободных гармонических колебаний, имеющим вид:

. (19.5)

Выражение (19.5) является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка. Согласно общей теории линейных дифференциальных уравнений, решением уравнения (19.5) является выражение (19.1).

Колебания гармонического осциллятора являются важным примером периодического движения. Примерами гармонического осциллятора являются пружинный, математический и физический маятники.