Математические олимпиады: поиск новых форм (стр. 10 )

Какое слово получилось в выделенном вертикальном столбце?

4.

Дано: , ;

Доказать: - равнобедренный.

5. Найдите пятизначное число , такое, чтобы каждое из двузначных чисел: , , , было квадратом натурального числа.

6. Катя пришла в зоомагазин покупать говорящего попугая.

- Это говорящий попугай? - спросила она у продавца.

- Этот попугай будет повторять все Ваши слова, могу Вас заверить.

Катя купила попугая и принесла его домой. Но за три месяца она так и не научила попугая говорить. Можете ли вы объяснить эту ситуацию, если известно, что у продавца и в мыслях не было обмануть Катю.

8 класс, команда №1.

1. Упростите выражение: и вычислите его значение при .

2. Найдите все натуральные , такие, что - также натуральное число.

3. Дано: . Найдите .

4. Катер, собственная скорость которого 20 км/час, прошёл 36 км против течения и 22 км по течению реки за 3 часа. Найдите скорость течения реки.

5. У шахматной доски размерами 8×8 вырезали левую верхнюю и правую нижнюю клетки (клетки и ). Можно ли замостить оставшуюся часть доски косточками домино, каждая из которых покрывает ровно две клетки, так, чтобы накрыть без наложения эту часть.

6. Норман Силвей провёл 5 дней и ночей на своём рабочем месте, хотя там нечего было делать, начальник его об этом не просил, а домашняя жизнь вовсе не казалась Норману каторгой. Более того, за последние два дня он ничего не ел и не пил, хотя вода и пища находились от него рядом; даже несколько ресторанов он мог видеть с того места, где сидел. Три дня назад жена звонила ему. Она сказала, что он выиграл в лотерее. Но хотя им нужны были деньги, он ничего не мог сделать, чтобы получить приз. Вчера его сыну вручали Почётную медаль Конгресса США, но Норман не мог при этом присутствовать.

Норман не болен, физически нормален. Он может свободно передвигаться, не сошёл с ума и не объявил голодовку. Он не принимает участия в эксперименте и не пытается попасть в «Книгу рекордов Гиннеса». Он совсем один. Что происходит?

8 класс, команда №2.

1. Решите уравнение: .

2. Решите систему уравнений:

3. Дано: . Докажите, что .

4. Решите кроссворд:

			1
			2
			3
	4
						5
				6
7

1. Название одной из систем координат. 2. … на множители. 3. Вид числовой последовательности. 4. Вид числовой прогрессии. 5. Двучлен. 6. Математическая зависимость, выраженная условными знаками. 7. Вид функции (прилагательное).

Какое слово получилось в выделенном столбце?

5. Среди 18 монет одна фальшивая. Настоящие монеты весят одинаково, фальшивая - отличается по массе от остальных. За какое наименьшее число взвешиваний на правильных чашечных весах без гирь можно определить, легче или тяжелее фальшивая монета, чем настоящая? (находить фальшивую монету не нужно).

6. В магазин вошёл человек и попросил банку горошка. Продавец протянул товар. Человек взял банку, посмотрел на неё и сказал:

- Я же просил горошек, а не персики.

Продавец взял банку, прочёл этикетку на ней и опять протянул её этому человеку:

- Это точно горошек, сэр. Посмотрите на этикетку.

Мужчина взял банку, встряхнул её и послушал.

- Нет, там точно персики.

Продавец начал злиться:

- Может быть, у Вас проблема со зрением? Или с головой?

- Ах, так, - ответил человек, - Могу ли я поговорить с заведующим?

Продавец сходил за заведующим, и тот, с милой улыбкой, спросил покупателя, в чём проблема.

- Ваш работник утверждает, что в этой банке горошек, но я уверен, что там персики!

- Ну что ж, откроем банку, - сказал заведующий.

Банку открыли. Продавец и заведующий были ошарашены. В банке лежали персики!

Найдите объяснение этой ситуации.

9 класс, команда №1.

1. Вычислите: .

2. Решите систему неравенств:

3. Если некоторое двузначное число умножить на сумму его цифр, то получится 405. Если число, написанное теми же цифрами в обратном порядке, умножить на сумму его цифр, то получится 486. Найдите это число.

4.

Дано: , . Докажите, что треугольники и подобны и найдите коэффициент подобия.

5. Можно ли в клетках таблицы 4×4 расставить 7 звездочек, по одной звездочке в клетке, так, чтобы при вычеркивании любых двух строк и любых двух столбцов таблицы осталась незачеркнутой хотя бы одна звездочка?

6. Была уже полночь, когда Джоан и Эрик приехали домой. Они едва успели выйти из машины, как вдруг из кустов появился мужчина и выстрелил в Эрика в упор. Тот рухнул замертво на землю. Убийца спокойно ушел прочь. Джоан упала в обморок, и ее отнес в дом сосед, услышавший выстрел. Она едва пришла в себя к утру, чтобы ответить на вопросы полиции.

Расследование выявило: в юности Эрик был замешан в делах организованной преступности. Также выяснилось, что Джоан - единственная наследница страховки Эрика, а ее отношения с соседом теплее обычных. Более того, во время допроса Джоан очень детально описала убийцу, но, как потом выяснилось, совершенно неправильно. Поэтому неудивительно, что она стала главной подозреваемой. Да, Джоан сознательно старалась запутать следствие, но ни она, ни сосед не были замешаны в убийстве. Джоан была очень предана своему мужу. Почему же она пыталась обмануть полицию?

9 класс, команда №2.

1. Вычислите: .

2. Решите неравенство: .

3. Сократите дробь: .

4. Дано: , где - центр окружности. . Найдите величину угла .

5. Решите кроссворд:

			1
					2
	3
					4
			5
6
					7

1. Наука о числах и операциях над ними (раздел математики) 2. Французский академик (18 век), специалист в области алгебры. 3.  есть... функция. 4. Предложение, принимаемое без доказательства. 5. Первая из координат точек на плоскости. 6. Свойство функции, описывающей гармонические колебания. 7. Совокупность величин, расположенных в определенной последовательности.

Какое слово получилось в выделенном столбце?

6. Перед судом стоит человек, обвиняемый в убийстве длинноухой совы, очень редкой птицы в США. Обвиняемый объяснил, что отправился со своей семьей отдыхать в безлюдную местность. Однажды, пока все трое купались в озере, их лагерь сгорел дотла, оставив их на открытом воздухе без еды. Промучавшись от голода два дня, они увидели какую-то птицу. Человек бросил в нее камнем и попал. Птица была зажарена и съедена, и это помогло им выжить. Выслушав историю, судья решил отпустить этого человека без наказания. Когда тот выходил из зала, судья спросил его: «А на что похожа по вкусу длинноухая сова?» Человек ответил на этот вопрос и тут же был оштрафован на 2000 долларов. Почему?