Математические олимпиады: поиск новых форм (стр. 17 )

4. 100. Верным является и экзотический ответ: 0.

5. , .

Высшая лига, №5.

1. 44 треугольника и 18 прямоугольников.

2. .

3. . Других решений нет.

4. 3 м3. Задачу можно решить методом перебора.

5. Например:

Суперлига.

Суперлига, №1.

1. 494550.

2. Во-первых, , так как при даже дает уже шестизначное число. Если равняется 1 или 4, то на конце произведения будет цифра . Остается проверить и .

3. . Это наглядно видно из рисунка:

Более темным цветом закрашена прочитанная в первый день часть книги, а серым цветом – прочитанное во второй день. Неокрашенной осталась прямоугольника.

4. Как бы мы не переливали 4, 6 или 46 литров, в любом из бидонов может находиться четное число литров воды.

5. Задача имеет 3 решения:

число людей	число кошек	число мух
6	6	1
7	4	2
8	2	3

Задача сводится к нахождению натуральных чисел , что вены условия: Задача решается перебором вариантов. Лучше начать с мух, которых явно меньше шести.

Суперлига, №2.

1. 43. Это числа 21, 22, …, 63.

2. Во вторник в 14 часов. Несложно подсчитать, что во вторник в 800 гусеница будет на высоте 6 метров. За 10 часов она взбирается на 5 метров, следовательно, ее скорость 50 см/час. Оставшиеся 3 метра гусеница преодолеет за 6 часов.

3. Одно из решений представлено в виде таблицы переливаний:

6-ведерный бочонок	3-ведерный бочонок	7-ведерный бочонок
4	0	6
1	3	6
1	2	7
6	2	2
5	3	2
5	0	5

4. 8. Данное число – 24.

5. Б.

Суперлига, №3.

1. Так как в левой части данного равенства есть пять нечетных цифр, то при их сложении или вычитании получится нечетное число. От четных цифр четность правой части не зависит, поэтому в правой части может получиться только нечетное число. Следовательно, 20 получиться не может.

2. .

3. Е - нечетное число.

Первый способ. Пусть является нечетным числом, а - четным. Тогда, числа С и D - оба нечетные. Но из того, что , следует, что оба числа А и В являются нечетными, а из того, что , следует, что числа А и В имеют разную четность, то есть получается противоречие. Если же предположить, что F - четно, а Е - нечетно, то получим, что числа С и D имеют разную четность, что возможно в случае, если числа А и В, в свою очередь, имеют разную четность.

Задачу можно решить по-другому. Рассмотрим три случая.

1) Если числа А и В имеют разную четность, то их сумма С является нечетным числом, а произведение D - четным. Тогда, Е - нечетное число, a F - четное.

2) Если числа А и В одновременно четные, то числа С и D также являются четными, значит, и числа Е и F одновременно четные, что противоречит условию.

3) Если числа А и В одновременно нечетные, то число С - четное, а число D – нечетное, значит, Е - нечетное, a F - четное. Следовательно, в любом случае Е - нечетное число.

4. Варенье в зеленой коробке. Так как надписи на синей и зеленой коробках либо истинны, либо ложны одновременно, а по условию правдива только одна надпись, то они не могут быть правдивыми, значит, в синей коробке варенья нет. Следовательно, правдива надпись на красной коробке, то есть, в ней также нет варенья. Следовательно, варенье - в зеленой коробке.

5. Способ разрезания показан на рисунке. Площадь данной фигуры - 36 клеток, поэтому каждая из частей, полученных по результатам разрезания, должна иметь площадь 4,5 клетки. Значит, разрезать по границам клеток смысла не имеет.

Суперлига, №4.

1. Так как осталась 81 конфета, то перед тем, как брал конфеты Вася, в коробке было конфет; перед тем, как брал Боря: конфеты; перед тем, как брал Петя: конфеты. Вначале было конфет. Каждой полагалось по 64 конфеты. Коля получил свою долю. Петя должен взять еще 16 конфет. Боря должен взять еще 28 конфет. Вася должен взять еще 37 конфет.

2. 5 минут. Решение удобно представить в виде таблицы, в которой указаны этапы работы:

	№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
занятость кузнецов: ○ - неподкованное копыто, ● - подкованное копыто. Серым цветом отмечены лошади, с которыми одновременно работают 8 кузнецов.	1	○○ ○○	○○ ○○	○● ○○	○● ○○	○● ○○	○● ○○	○● ○○	○● ○○	○● ○○	○● ○○
2	○● ○○	○● ○○	○● ○○	○● ○○	●● ○○	●● ○○	●● ○○	●● ○○	●● ○○	●● ○○
3	●● ○○	●● ○○	●● ○○	●● ○○	●● ○○	●● ○○	●● ●○	●● ●○	●● ●○	●● ●○
4	●● ●○	●● ●○	●● ●○	●● ●○	●● ●○	●● ●○	●● ●○	●● ●○	●● ●●	●● ●●
5	●● ●●	●● ●●	●● ●●	●● ●●	●● ●●	●● ●●	●● ●●	●● ●●	●● ●●	●● ●●

3. Три раза срубить по одному хвосту, три раза срубить по два хвоста, далее три раза рубить по две головы.

Так как рубить головы по одной не имеет смысла, а при рубке хвостов рано или поздно появляются новые головы, то Иван Царевич должен действовать так, чтобы у Змея не осталось хвостов, а количество голов стало четным. Для этого, надо сначала три раза срубить по одному хвосту, и их станет шесть. Затем, три раза срубить по два хвоста, у Змея станет шесть голов, а потом три раза срубить по две головы, и тогда у Змея не останется ни хвостов, ни голов.

Возможен также вариант, когда Иван Царевич сначала срубает две головы, а потом действует так же, как и в предыдущем случае, тогда на последнем этапе у Змея будет не шесть голов, а четыре. Общее количество ударов, которое должен сделать Иван Царевич, при этом не изменяется.

4. 36. Во втором десятке таких чисел восемь: от 12 до 19; в третьем - семь: от 23 до 29 и т. д. То есть в каждом следующем десятке количество искомых чисел на одно меньше, чем в предыдущем. Значит, в девятом десятке только одно такое число - 89, а в следующем десятке таких чисел нет. Таким образом, всего таких двузначных чисел: .

5. 21.12.2112.

Суперлига, №5.

1. 2,22.

2. 29, 38, 47, 56, 65, 74, 83, 92. Сумма цифр числа равна 11, отсюда и следует ответ.

3. В стопках должно лежать 50 и 30 тетрадей.

4. Например:

*			*
		*	*
*		*
	*

5. Выиграет первый. Максимальное количество кусков, на которые можно разделить данную плитку шоколада, - 56. Это осуществляется за 55 разломов. Следовательно, независимо от того, как будет разламываться шоколадка, последний разлом сделает первый игрок.

6 класс.

Стандарт-лига.

2 лига.

2 лига, №1.

1. 8,95.

2. .

3. 2,4 кг.

4. 5,4.

5. 30; 35; 40. Сумма чисел равна 105.

2 лига, №2.

1. 3.

2. .

3. .

4. ABC, KLM.

5. На 25 кг.

2 лига, №3.

1. .

2. .

3. 112 страниц.

4. .

5. 0.

2 лига, №4.

1.

Площадь треугольника АВС равна 8.

2. .

3. .

4. 4,1 .

5. 7800 рублей.

2 лига, №5.

1. .

2. 3,3.

3. .

4. см.

5. Нет, неравенство неверно при .

1 лига.

1 лига, №1.

1. .

2. .

3. 120 руб.

4. 4 см.

5. 217.

1 лига, №2.

1. 243 станка.

2. .

3. 18,9 км.

4. 7,008.

5. .

1 лига, №3.

1. 882.

2. .

3. Митя нашел 28 грибов, Коля – 36 грибов.

4. 8,18 г. Округленно 8,2 г.

5. .

1 лига, №4.

1. .

2. .

3. .

4. 192.

5. .

1 лига, №5.

1. .

2. 37,6 кг.

3. 2,4 м.

4. .

5. Число отрицательное.

Высшая лига.

Высшая лига, №1.

1. .

2. .

3. 0,040808.

4. 200.

5. 5 м/с.

Высшая лига, №2.

1. 9 .

2. .

3. .

4. 8,4 кг.

5. 10 км/ч.

Высшая лига, №3.

1.

Ломаные имеют 4 точки пересечения.

2. .

3. 600 деталей; на %.

4. На автобусе турист ехал со скоростью 54 км/ч, на поезде – со скоростью 80 км/ч.

5. .

Высшая лига, №4.

1. 381.

2. 63 .

3. 47,8 м.

4. .

5. 25 км.

Высшая лига, №5.

1. 100 и 40.

2. .

3. На 128%; на 28%.

4. .

5. В 64 раза.

Суперлига.

Суперлига, №1.

1. Скорость велосипедиста равна 13,5 км/ч, скорость мотоциклиста – 48,6 км/ч.

2. .

3. 125%.

4. .

5. 5000000.

Суперлига, №2.

1. часа.

2. .

3. 0,62 .

4. 5,4 т.

5. 113,8368.

Суперлига, №3.

1. 12,3 м.

2. .

3. 360360.

4. 32.

5. 700 т.

Суперлига, №4.

1. 42.

2. 67,824 км/ч.

3. Замазана цифра 3. Пусть замазана цифра . Тогда число квартир равно . Число двухкомнатных и трехкомнатных квартир равно . Если число трехкомнатных квартир принять за , то получим уравнение: . Отсюда . Значит, делится на 3. Остальное очевидно.

4. 14.

5. Задача не имеет решения. Чтобы выигрывать по одной минуте на каждом километре, требуется проезжать километр на минуту быстрее, в нашем случае за 0 минут (ведь при скорости 60 км/ч машина проезжает километр ровно за одну минуту), что невозможно.

Суперлига, №5.

1. Да, например: .

2. .

3. .

4. 1,5 л.

5. 8.

Олимпиадная лига.

2 лига.

2 лига, №1.

1. .

2. «111100 км под водой».

3. .

4. 84 см2.

5. 2025.

2 лига, №2.

1. 77.

2. .

3. 1.

4. 2.

5. На 1 день.

2 лига, №3.

1. 0 и 0.

2. 1:300000.

3. а) при любых; б) при любых; в) ни при каких.

4. 750 кг.

5. Да, догонит. Скорость сближения волка и зайца 50 м/мин. Расстояние в 30 м волк сократит за минуты. Но за минуты заяц пробежит 330 м, то есть чуть-чуть не успеет забежать в укрытие.

2 лига, №4.

1. За два. Если бы было известно, легче бракованная деталь или тяжелее, то за одно.

2. -

3. 0, 3, 6 и 9.

4. 10.

5. 3 кг.

2 лига, №5.

1. Например: .

2. На 5. Первое произведение делится на 10, значит, оно оканчивается на 0; второе произведение нечетно и делится на 5, значит, оно оканчивается на 5.

3. 7.

4. 15 марта.

5. .

1 лига.

1 лига, №1.

1. Сумма пяти нечетных чисел нечетна, и поэтому не может равняться 48.

2.

3. РЕБУС = 79365.

4. 32.

5. 14 лет.

1 лига, №2.

1. 127 гусей. Несложно догадаться, что на седьмое озеро сел один гусь. И тогда восстанавливается вся цепочка: на шестое озеро прилетело 3 гуся, из которых 2 остались на этом озере; до пятого озера долетело 7 гусей, до четвертого – 15, до третьего – 31, до второго – 63, до первого – 127 гусей.

2. Из трех чисел всегда найдутся или два четных, или два нечетных. В любом случае сумма этих двух чисел четна, т. е. делится на 2.

3. 808 мм.

Несложно видеть, что конец одного просвета совпадает с началом другого. Поэтому для нахождения длины цепи нужно к длине 50 просветов прибавить толщину двух звеньев. .

4. Из четырех, пяти или шести. Это непосредственно следует из того, что (четыре цифры), а (шесть цифр).

5. Это число .

1 лига, №3.

1. Задача не имеет решения. В самом деле, построим таблицу условий (при этом расположение сосудов принимать во внимание не будем):

	бутылка	стакан	кувшин	банка
молоко	-	-		-
квас			-
вода	-			-
лимонад			-	-

Значит, решение единственно: