Математические олимпиады: поиск новых форм (стр. 21 )

1. .

2. 1.

3. .

4. .

5. Да. Взвесить две монеты. Если они одинаковые, то фальшивая – третья.

6. Нет, ибо, если , то .

7. На 21%.

8. по двум сторонам (, - общая сторона) и углу между ними, значит, .

9. 2.

10. Коза - кора - кара - фара - фарс - барс.

9 класс, команда №1.

1. 3 .

2. . . Вершина параболы - точка , тогда .

3. 5. Вторая степень числа с цифрами содержит или цифр, четвертая степень - от до цифр. ; .

4. 5. Первые пятеро - лжецы, остальные – правдолюбцы.

5. Второй, ибо он всегда сможет сделать так, чтобы после его хода число делилось на 5.

6.

Пусть дан и - его медиана. Достроим до параллелограмма и рассмотрим , в котором , . Тогда по свойству сторон треугольника имеем: , или, . Аналогично: , . Сложив все неравенства, получим: .

Построим все три медианы и пусть точка - их пересечение. Тогда , , . Сложим эти три неравенства и учтем, что . Имеем: . Отсюда .

9 класс, команда №2.

1. К биологии (стриж, сорока, ласточка).

2. 25.

3. 1064. ; .

делится на 19 при наименьшем . Но тогда

4.

Центр квадрата плюс 4 отрезка на расстоянии 1 и 4 «четвертинки» окружности.

5. 55.

6.

7. Мужчин - 2, женщин - 3, детей – 5. Пусть мужчин , женщин , а детей . Тогда по условию: Вычитая из второго уравнения первое, имеем: . Но тогда может равняться только 2.

8. Построить окружность, затем взять дугу в 190 ровно 19 раз, получим угол в 3610, а, значит, и в 10.

9 класс, команда №3.

1. .

2. 2 .

3. .

4. .

5. Гипербола с асимптотами и :

6. 1 рубль 10 копеек.

7. 125%.

8. Сумма цифр равна 39, что делится на 3, но не делится на .

9. .

10. При .

Межклассная математическая олимпиада №3.

5 класс, команда №1.

1. 39, 21 и 12. Задачу лучше решать с конца:

	№1	№2	№3
стало	24	24	24
3 шаг	12	12	48
2 шаг	6	42	24
1 шаг	39	21	12

2. 11 см.

3. 10. Используется метод половинного деления.

4. 10. В самом деле, 11 банок взять уже нельзя, т. к. можно взять 6 банок клубничного варенья и 5 банок малинового.

5 класс, команда №2.

1. 1081.

2. .

3. 83.

4. 132.

5. 900 км.

5 класс, команда №3.

1. 373.

2. 1431:27=53.

3. 8.

4.

5. и .

6. 465.

5 класс, команда №4.

1. 33292.

2. .

3. 11 м 96 см.

4. 9.

5. 55.

6. 110.

7. 2.

6 класс, команда №1.

1. 18.

было
стало

.

2. Шестая мышь от белой по часовой стрелке (если и считать по часовой стрелке).

Решить проще всего так: рисуем 13 точек по кругу, отмечаем произвольно точку №1. Проделав алгоритм, последнюю точку «превращаем» в белую мышь и смотрим, где оказалась точка №1 относительно этой точки.

3. Джуди.

4. . Из следует, что , т. е. делится на 10. Или , или . Если , то ; а если , то равно или 2, или . Подходит только пара .

6 класс, команда №2.

1. 2.

2. .

3. 21, 28 и 33 рубля.

4. 6 часов 50 минут. .

5. 17.

6 класс, команда №3.

1. 40 и 80.

2. Нет .

3. .

4. 270000 мм3.

5. .

6. На 40.

6 класс, команда №4.

1. Да, например, 0,33; да, например, 1,255.

2. 12.

3. 3,725.

4. .

5. 60.

6. .

7. 90 га.

7 класс, команда №1.

1. 7а класс сажает 80 цветов, а 7б - 120 цветов. Если 7а сажает цветов, то 7б должен посадить цветов. Тогда ; .

2. Вот один из возможных путей:

*17	16		4	*3	2	*1	А
18	*15		*5	6	*7	8	*57
*19	14	*13	12	*11	10	*9	56
20	*29	30		40	*41	54	*55
*21	28	*31		*39	42	*53	52
22	*27	32	*37	38	*43	50	*51
*23	26	*33	36		44	*49	48
24	*25	34	*35		*45	46	*47

3. А - одессит, Б - ленинградец, В - киевлянин, Г - туляк, Д - харьковчанин, Е - москвич.

4. Любое число можно представить в виде , или . Тогда равно , или . В любом случае при делении на 3 дает в остатке 0 или 1. Тогда делится на 3 только тогда, когда и , и делятся на 3. Отсюда и , и делятся на 3, но тогда и тоже делится на 3. Мы применили метод доказательства от противного.

7 класс, команда №2.

1. .

2. .

3. .

4.

5. На 50% ().

7 класс, команда №3.

1. .

2. Например, .

3. На 6.

21, 25, 29, ..., 24к+1 ® оканчиваются на 2;

22, 26, 210, ..., 24к+2 ® 4;

23, 27, 211, ..., 24к+3 ® 8;

24, 28, 212, ..., 24к ® 6

4. 900, 450, 450.

5. .

6. 11..единиц).

7 класс, команда №4.

1. На 1200.

2. 12 см.

3. .

4. .

5. 64 и 20.

6. .

7. 60.

8 класс, команда №1.

1. 15. Это следует из уравнения: , где - объем текста. Отсюда .

2. 35.

3. рассуждал так: «Бумажки у моих конкурентов белые, а у меня бумажка может быть белой или черной. Предположим, что она черная. Тогда имеет основания достоверно заявить о цвете своей бумажки, так как он может сказать себе: «Я вижу, что у бумажка черная, а у - белая. Если бы у меня была черная бумажка, то , видя две черные бумажки (из двух возможных), сразу бы сказал, что у него белая бумажка. Но он молчит, значит, у меня белая бумажка». Но тоже молчит, значит, у меня белая бумажка». Аналогично рассуждали и , и .

4. Да, например, 5599999 и 5600000. Пусть - искомые числа. Тогда и делятся на 11. Значит, и их разность тоже делится на 11. Минимальное . Остальное легко подобрать.

8 класс, команда №2.

1. ; 2.

2. .

3. 115. Данное число . . Отсюда . Т. к. и , то может равняться только 1. Тогда и .

4. 6 км/час. .

5. . . Из подобия треугольников и .

8 класс, команда №3.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. (треугольник-то подчиняется теореме Пифагора).

6. Да .

8 класс, команда №4.

1. 36.

2. .

3. (лучше всего сложить уравнения).

4. 32.

5. .

6. Прямая .

7. 1 км. Достаточно решить уравнение .

9 класс, команда №1.

1. Пусть скорость ветра равна , а скорость самолета . Тогда при ветре . Без ветра . Очевидно, что .

2. При .

; .

3. Полковник - связист, майор - артиллерист, капитан - летчик, лейтенант - кавалерист, старшина - минометчик, сержант - сапер, ефрейтор - танкист, солдат – пехотинец.

4. Двумя. Пусть .

. Отсюда, во-первых, 200 делится на , а во-вторых, , т. е. . Отсюда равно 2, 4, 5, 8 или 10. Только при и получаем целые . Итого: 100=18+19+20+21+22 и 100=9+10+11+12+13+14+15+16.

9 класс, команда №2.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. Парабола с двумя «выколотыми» точками: и .

9 класс, команда №3.

1. .

2. .

3. .

4. 300 и 1500.

5. .

6. 689.

9 класс, команда №4.

1. Парабола с вершиной .

2. .

3. 2.

4. 20 и 26.

5. .

6. .

7. .