Математические олимпиады: поиск новых форм (стр. 18 )

	бутылка	стакан	кувшин	банка
молоко	-	-	+	-
квас	-	-	-	+
вода	-	+	-	-
лимонад	+	-	-	-

Но расставить их в ряд согласно условиям невозможно.

2. 7 фазанов и 12 кроликов.

3. 2760 .

4. На 50 минут. Девочки встретились в 850.

5. 102354.

1 лига, №4.

1. Например:

-2	3	-4
1	5	7
-8	9	-6

Главное – расставить отрицательные числа по углам таблицы.

2. Ни при каких.

3. 45 .

4. Нет, не мог. Если разорвать любой лист бумаги на три части, то количество кусков увеличится на 2, а если его разорвать на пять частей, то количество кусков увеличится на 4. Так как было три листа, то после каждого действия Васи количество кусочков бумаги останется нечетным, следовательно, получиться ровно 2000 кусочков не может.

5. 64 . Возможен рисунок в виде «генеалогического дерева» или непосредственный подсчет.

1 лига, №5.

1. .

2. Задание имеет бесконечно много решений. Например: .

3. Пусть во второй клетке стоит цифра . Тогда далее цифры расставляются автоматически:

7

7

7

7

Значит, осталось проследить, чтобы и были цифрами. Задача имеет 5 решений: .

4. .

5. 49. Пусть , тогда частное должно быть в семь раз меньше делимого и в 7 раз больше делителя . Имеем , а . Следовательно, , то есть, частное равно 49.

Высшая лига.

Высшая лига, №1.

1. 103.

2. 1; 1; 1 и 2; 2; 2 и 1; 2; 2.

3. 36.

4. 12.

5. Правдолюбцем. Очевидно, что К – лжец. А дальше роли не играет: М – правдолюбец или лжец. В любом случае Р – правдолюбец.

Высшая лига, №2.

1. 1092 .

2. 30. Квадраты имеют размер 8×8.

3. 12 .

4. Таких цифр нет. Это видно из таблицы:

последняя цифра числа	последняя цифра квадрата числа	последняя цифра куба числа
0	0	0
1	1	1
2	4	8
3	9	7
4	6	4
5	5	5
6	6	6
7	9	3
8	4	2
9	1	9

Кстати, попутно получили вывод: если кубы чисел оканчиваются на одну цифру, то и сами числа оканчиваются на одну цифру.

5. 33 человека. Это видно из того, что , а .

Высшая лига, №3.

1. В 2 раза. Если даны два числа и , где , то по условию задачи , откуда .

2. 4 ботинка и 3 носка.

3. 72%. Это следует из того, что .

4. Было 22 станции, построили еще 2. В самом деле, если было станций, а построили , то по условию задачи . Это возможно только при выполнении системы:

5. Два. Одно – решение уравнения , другое - решение уравнения .

Высшая лига, №4.

1. 23. Решение сводится к подбору натурального решения системы , где - число правильных ответов, - число ошибок.

2. 256 м2.

3. 390. Задача решается «с конца». Так как четвертому покупателю досталась треть последнего остатка и еще 32 яблока, то он получил яблок. Добавляем 32 яблока. Полученные 80 яблок составляют остатка для третьего покупателя. Значит, до третьего покупателя у продавщицы было яблок. Аналогично, до второго покупателя у продавщицы было яблок, о первоначально яблок.

4. Вторая подруга неправа. Правильный ответ в 2 раза меньше, т. е. 6 электричек. Дело в том, что в течение часа подруги увидят не только те поезда, которые в течение этого часа выедут им навстречу, но и те поезда, которые уже находятся в пути (выехавшие не более часа назад).

5. а) 195 способов. Для выбора девочки имеется 15 вариантов. Для каждой девочки имеется по 13 вариантов выбора мальчика. Всего способов.

б) 378 способов. Для выбора первого дежурного имеется 28 вариантов. Для каждого их них имеется 27 способов выбора второго дежурного. Всего способов. Но среди этих 756 пар есть одинаковые. Для простоты рассуждений перенумеруем учеников (в списке каждый ученик имеет свой номер). Тогда ясно, что, например, пара «ученик №1, ученик №12» и пара «ученик №12, ученик №1» это одна и та же пара. Т. е., рассуждая таким образом, мы каждую пару посчитали дважды. Значит, полученный результат надо уменьшить вдвое: .

Высшая лига, №5.

1. 15.

2. К вечеру 10 января.

3. Например:

	◊		◊
	◊	◊
◊	◊
◊	◊	◊	◊

4. .

5. Например:

Возможны и совершенно другие по размеру квадраты.