Математические олимпиады: поиск новых форм (стр. 15 )

Какую кучку положили на левую чашу весов	Какую кучку положили на правую чашу весов	Весы	Вывод
1	2	=	Фальшивая монета в третьей кучке
2	1	=	Фальшивая монета в третьей кучке
1	3	<	Фальшивая монета в третьей кучке
3	1	>	Фальшивая монета в третьей кучке
2	3	<	Фальшивая монета в третьей кучке
3	2	>	Фальшивая монета в третьей кучке

Таким образом, после первого взвешивания мы определяем кучку, в которой находится фальшивая монета. Далее берем любые две монеты из трех и вышеизложенный процесс повторяется.

4. 180153 цента.

5. Эти величины равны (=6).

6. За минут. Можно смоделировать задачу, добавив в условие, что конфет было 30.

Суперлига.

Суперлига, №1.

1. 9 щук. После того как 7 щук насытятся, съев по 3 щуки, останутся еще 2 голодные щуки. Из 9 оставшихся щук насытиться смогут лишь две.

2. Возможный алгоритм переливания:

бочка	девятилитровое ведро	пятилитровый бидон
10	0	0
5	0	5
5	5	0
0	5	5
0	9	1
9	0	1
9	1	0
4	1	5
4	6	0

3. Через 5 лет.

4. а) ;

б) ;

в) .

5. 1941 и 470. Если второе слагаемое обозначить через , то получается, что ученик прибавил не , а . Значит, ошибка ученика составила . Получаем уравнение: , откуда .

6. Частное не изменится, а вот остаток уменьшится в 7 раз.

Суперлига, №2.

1. 10 км.

2. Например, , или , или .

3. В 1001 раз.

4. Из трех чисел всегда можно выделить или два четных числа, или два нечетных числа. Их сумма всегда четна, т. е. делится на 2.

5. У Ивана 7 овец, а у Петра 5 овец.

6. Разрез должен проходить через середину прямоугольника (точку пересечения диагоналей) и середину шоколадки:

Впрочем, разрезать торт можно и по-другому, только разрез в этом случае будет не прямолинейным.

Суперлига, №3.

1. а) 12 (в худшем случае 10 простых и 2 простых); б) 7 (в худшем случае 4 цветных и 3 простых).

2. Например: «Вы живете в этом городе?». Если Вы находитесь в городе , то и правдивец, и лгун ответят «Да», в городе они же ответят «Нет». Вообще, надо искать вопрос, на который бы и правдивец, и лжец ответили одинаково.

3. У первого игрока 7 шашек, у второго – 9. Так как пустых клеток в 3 раза больше, чем занятых шашками, то число шашек на доске составляет четвертую часть от числа клеток. Значит, на доске находятся шашек. Остальное просто.

4. В 12 раз (пешком школьники прошли расстояние в 3 раза меньше, а времени затратили в 4 раза больше).

5. 144. Имеем: , а . Из последнего равенства следует, что или , или . Но если , то , то есть . Это невозможно. Значит, . Тогда . Так как , то .

6. 17 ().

Суперлига, №4.

1. 1.

2.

.

3. Второй (второй арбуз по объему в 8 раз больше первого, а стоит он лишь в 6 раз дороже).

4. Да. Например, к основанию треугольной призмы приклеить прямоугольный параллелепипед с квадратным основанием, а сверху приклеить цилиндр.

5. Вертолет приземлится восточнее стартовой площадки. Это связано с тем, что меридианы не параллельны друг другу, а сходятся на полюсах. На рисунке дано наглядное пояснение (без соблюдения масштаба):

6. а) 48 (на первое место можно поставить любую из четырех цифр: 2, 4, 6 или 8, на второе – опять любую из четырех цифр: можно использовать три оставшиеся ненулевые цифры и цифру 0, на третье – любую из трех оставшихся цифр из пяти четных. Всего чисел);

б) 100 ();

в) 48. В числах 222, 444, 666, 888 повторяются все цифры. Таких чисел 4. Остается из количества всех чисел с четными цифрами вычесть количество чисел без повторов и те самые 4 числа: .

Суперлига, №5.

1. Таких чисел нет. Если произведение чисел нечетно, то все числа нечетны, но сумма четырех нечетных чисел четна.

2. В Смоленске – 1 февраля, в Вологде – 8 февраля, в Пскове – 1 марта, во Владимире – 8 марта. Поскольку Митя не мог провести один день в Смоленске и Вологде, значит, месяц начался во вторник. Второй месяц также начался во вторник. Такое возможно только в одном случае, когда один месяц – февраль, второй – март, причем год – не високосный.

3. 200 (всего между 300 и 700 находится 399 чисел, причем четных на 1 больше, чем нечетных).

4. 21 (6+5+4+3+2+1). Интересно отметить, что, если бы требовалось не открыть чемоданы, а лишь подобрать ключи к ним, то достаточно 15 попыток.

5. Таблица выглядит следующим образом:

*	1	2	3	4	5
1	*	0	1	1	1
2	1	*	0,5	0,5	0,5
3	0	0,5	*	0,5	1
4	0	0,5	0,5	*	0,5
5	0	0,5	0	0,5	*

6. Безымянный.

Суперлига, №6.

1. (двузначное число в кубе не может быть трехзначным, значит, А=2).

2. 12.

3. 37.

4. Через 15 минут. Если бы Яша вышел на 10 минут позже Пети, то он догнал бы своего брата у школы. Значит, если Яша вышел на 5 минут раньше брата, то он догонит его на середине пути, то есть через =15 минут.

5. В 12 раз.

6. 40.

Суперлига, №7.

1. Нет. Сумма чисел равна 21, то есть нечетна. При каждом ходе мы добавляем к этой сумме число 2. Значит, сумма все равно останется нечетной. Если все числа можно было бы сделать равными, то эта сумма делилась бы на 6, то есть была бы четной.

2. Например, так:

или так: .

3. . Пусть точка С – это то место, где Петя вспомнил о ручке:

Из условия задачи следует, что путь от С до дома и обратно занимает минут. Значит, от дома до С Петя шел 5 минут, или часть всего пути от дома в школу.

4. У рыжей коровы надои выше. В самом деле, 20 черных и 15 рыжих коров «уравновешивают» 12 черных и 20 рыжих. Число коров уменьшилось с 35 до 32, а надои не изменились. Легко заметить, что доля рыжих коров увеличилась. Значит, у рыжей коровы надои выше.

5. = = = , то есть полученное число делится на 9.

6. Никто. Никита съел 5 лепешек, значит, одну свою лепешку отдал охотнику. Павел съел также 5 лепешек, значит, охотнику отдал 4 лепешки. Поэтому Павел должен получить в 4 раза больше денег, чем Никита. Никита должен взять 3 рубля, а Павел 12 рублей.

Суперлига, №8.

1. На 20%.

2. В 19 м. Скорость Сережи составляет скорости Антона, а скорость Толи составляет скорости Сережи. Значит, скорость Толи равна скорости Антона. Поэтому, когда Антон финиширует, Толя пробежит 81 м.

3. 8-8-3 (количество букв в фамилии – порядковый номер в алфавите первой буквы фамилии – порядковый номер в алфавите последней буквы фамилии).

4. Да. Вначале переворачиваем первые три монеты, а затем - последние три.

5. .

6. Сестре - 12 лет, брату - 8 лет.

Пусть брату сейчас лет, сестре - лет. Из второго условия задачи следует, что сестра старше брата. Отметим, что в любой момент времени сестра старше брата на лет. Разберем первое предложение: «Сестре втрое больше лет, чем было брату тогда, когда сестре было столько лет, сколько брату теперь». Брату теперь лет. Когда сестре было лет, брату было лет. Получаем первое уравнение: .

Рассмотрим второе условие: «Когда брату будет столько лет, сколько сестре сейчас, им обоим вместе будет 28 лет». Когда брату будет лет, сестре будет лет. Значит, .

Осталось подобрать числа и , являющиеся решением системы уравнений

Суперлига, №9.

1. Да, можно:

Столбы остаются на месте, а «белый» квадрат (бассейн) достраивается «серыми» треугольниками.

2. При делении числа на 5 могут получиться остатки: 0, 1, 2, 3, 4. Так как чисел шесть, а возможных остатков пять, то из шести чисел найдутся хотя бы два числа, которые дают равные остатки при делении на 5. Их разность делится на 5.

3. 180.

4. 8. Пусть в серии тестов. Обозначим через число очков, набранных Джоном за предыдущие тесты. Тогда верны условия: . Отсюда . Осталось вычесть из первого уравнения второе: , .

5. Например, можно задать вопрос: «Что бы Вы мне ответили вчера на вопрос, какой стул неисправен?»

6. . В самом деле, .

Суперлига, №10.

1. а) Очевидная ничья; б) кошка (на 12-метровой отметке кошка и собака будут одновременно, а вот затем кошка беспрепятственно прыгнет на 14-метровую отметку, а собака вместо прыжка на 3 метра вынуждена будет прыгнуть лишь на 2 метра, что связано с потерей времени); в) собака (по той же причине, что и в предыдущем пункте).

2. 7500 долларов (обойщику – 200, маляру – 900, жестянщику – 800, электрику – 300, плотнику – 3000, каменщику – 2300 долларов).

3. 119. В самом деле, если - искомое число, то делится нацело на 2, 3, 4, 5 и 6, то есть делится на 60. Иными словами, может равняться 60, 120, 180, 240, …. Тогда может равняться 59, 119, 179, 239, …. Число 59 не делится на 7, а вот 119 удовлетворяет этому требованию.

4. За минуты. Математическая модель задачи: Отсюда Осталось сложить уравнения. Тогда , , а время прохождения одной мили равно .

5. Составим таблицу:

сделка	+	-
1	50 долларов	велосипед
2	велосипед	40 долларов
3	45 долларов	велосипед
итого	95 долларов + велосипед	40 долларов + 2 велосипеда

Если вычесть из итоговых «+» и «-» по 40 долларов и велосипеду, то получим: