Математические олимпиады: поиск новых форм (стр. 19 )

Суперлига.

Суперлига, №1.

1. Да, можно. Сумма чисел от 1 до 8 равна 36. Значит, нужно попытаться расставить числа так, чтобы сумма чисел в вершинах каждой грани равнялась 18. Приведем лишь один из примеров:

2. Решение показано на рисунке:

3. Ока. Пусть за некоторый промежуток времени Ока сделает прыжков по метров каждый. Тогда Умка за то же время сделает прыжков по метров. Значит, Ока за некоторый промежуток времени пробежит метров, а Умка за тот же период пробежит = метров, то есть меньше Оки.

4. или .

5. . Решение: = = = .

Суперлига, №2.

1. 24.

2. . В самом деле, . Значит, осталось вычислить .

3. .

4. 120 рублей.

5. Перенумеруем ящики: №1, №2, …, №9. В каждом из них лежит по 10 деталей. Какой мешок бракованный, мы не знаем. Возьмем из первого ящика 1 деталь, из второго – 2 детали, …, из 9 ящика – 9 деталей. Если бы все детали были стандартными, то вес всех 45 взятых из ящиков деталей был бы 4500 г. Но среди них есть бракованные, поэтому вес 45 деталей будет больше, чем 4500 г. Если вес деталей равен г, то именно в ящике № и лежат бракованные детали.

Суперлига, №3.

1. 384. Возможны два сочетания гласных и согласных букв в слове: ГСГСГ или СГСГС. Слов первого вида может быть , слов второго вида - . Итого пятибуквенных слов может быть .

2. Не успеет. Вася не успеет прибыть на олимпиаду к запланированному сроку, так как пешком он шел (км) со скоростью, в 2,5 раза меньше запланированной, следовательно, и преодолел за это время расстояние в 2,5 раза меньше запланированного. Поскольку (км), то в момент посадки на попутную машину Вася уже должен был по плану приехать на олимпиаду, значит, ответ не будет зависеть от скорости машины.

3. Во-первых, очевидно, что число городов не может быть больше 10. Это видно из того, что каждый город соединен не более чем с тремя другими:

Осталось доказать, что такая схема авиалиний существует (вышеприведенная схема не удовлетворяет условию).

4. 13 литров. В самом деле, неизменная масса кислоты вначале занимала 70% объема, а затем 5% объема. Значит, объем смеси вырос в 14 раз. А для этого надо добавить 13 литров воды.

5. -

Суперлига, №4.

1. И не выиграл, и не проиграл. Если первоначальная стоимость коровы рублей, то потратил почтальон рублей, а приобрел рублей.

2. 550. Минутная стрелка отклонится от вертикального положения на 600, а часовая – на 50.

3. 600 м, 10 м/с. Задача сводится в системе условий:

4. 1, 3, 7. В самом деле, . Отсюда видно, что 5 делится на . Значит, может равняться или .

5. 0 партий. Общее количество сыгранных партий не может быть меньше, чем 25. Следовательно, Петя сыграл не меньше, чем партий. Но, так как ни один из мальчиков не отдыхает больше, чем одну партию подряд, то Ваня не мог отдыхать больше, чем 13 раз, значит, Петя не мог сыграть больше, чем 13 партий. Таким образом, получается, что общее количество партий не может быть больше, чем 25. Следовательно, Коля играл все партии подряд, не выбывая.

Суперлига, №5.

1. Не сможет. Можно привести примеры таких наборов орехов, что их нельзя разбить на две кучки требуемым образом: а) 9 орехов весят по 11 г и 1 орех весит 1 г; б) 9 орехов весят по 11,11 г и 1 орех весит 0,01 г. В приведенных примерах количество «больших» орехов нечетно и разница между любым «большим» орехом и единственным «маленьким»: а) равна 10 г; б) больше 10 г. Поэтому, их нельзя разбить на две кучки так, чтобы бельчата не обиделись, независимо от того, сколько орехов будет в каждой кучке.

К верному ответу и приведенным примерам могут привести, в частности, следующие рассуждения, которые не требуются от учащихся. Назовем орех «большим», если он весит более 10 г, в противном случае назовем орех «маленьким». Если количество больших орехов четно, то и маленьких четно, поэтому белка сможет поделить поровну сначала большие орехи так, чтобы разница была меньше 10 г, затем, аналогичным образом, маленькие орехи, и составить две кучи по 5 орехов так, что бельчата не обидятся.

Для того чтобы белка не смогла нужным образом разделить орехи, количество больших орехов должно быть нечетно и вес любого из них должен превышать сумму весов маленьких орехов более, чем на 10 г. Так как вместе орехи весят 100 г, а каждый из них - не более 12 г, то если взять больших орехов меньше, чем 9, то оставшиеся маленькие орехи могут «скомпенсировать» разницу. Значит, больших орехов должно быть ровно 9.

Отметим, что в пункте а) приведен единственно возможный пример с целыми весами орехов. В пункте б) привести пример с целыми весами орехов невозможно. Если веса орехов выражены не целыми числами, то в обоих пунктах можно привести сколько угодно примеров.

2. В 4 раза.

Ситуация, возникшая через час после начала движения показана на рисунке 1. Еще через час велосипедист окажется в той же точке, где сейчас - мотоциклист, поэтому встретиться (то есть оказаться на одинаковом расстоянии от А) именно в этот момент они не смогут. Значит для того, чтобы выполнялось условие задачи, мотоциклист за второй час должен проехать за пункт А (рис. 2). Пусть за каждый час велосипедист проезжал км, тогда за второй час мотоциклист проехал км (рис. 2), то есть его скорость в 4 раза больше.

Рис. 1.

Рис. 2.

3. Маленький мальчик не мог видеть яйца, лежащего на высоком шкафу.

4. Не верно. Проведем в двух соседних клеточках диагонали, удовлетворяющие условию. Рассмотрим третью клеточку, соседнюю с первой и расположенную по диагонали от второй: две соседние ее вершины уже «заняты», и поэтому ни одной диагонали провести нельзя.

5. 90. Пусть данное трехзначное число . Тогда = - = = . Данное число делится на 43, если делится на 43. Учитывая, что и - цифры, приходим к выводу, что . Осталось определить количество чисел вида . Вместо можно поставить любую из 9 цифр, а вместо - любую из 10 цифр. Итого получаем чисел.

Финальная игра.

Вариант 1.

1. .

2. , -2.

3. 62.

4. Первоначальное и конечное числа равны.

5. Любое число вида , где - простое число, например, 16, или 81, или 625 и т. д.

Вариант 2.

1. 1.

2. , .

3. .

4. Через первую.

5. а) ≈7,2 км; б) ≈4 ч; в) через ≈2,5 ч и через ≈11 ч.

Вариант 3.

1. .

2. .

3. Таких чисел не существует (слева стоит нечетное число).

4. 18,5 км/ч.

5. 20 дней.

Вариант 4.

1. .

2. .

3.  числа 14 больше 9,3.

4. 126 градусов.

5.  часа.

Вариант 5.

1. .

2. .

3. НОД = 30, НОК = 2250.

4. Собственная скорость равна 14,35 км/ч, скорость течения реки равна 0,85 км/ч.

5. 10%.

Вариант 6.

1. .

2. .

3. 8.

4. 14 ч - день, 10 ч - ночь.

5. Например, .

Вариант 7.

1. .

2. .

3. НОК = 720.

4. 10,5 км.

5. 54 градуса.

Вариант 8.

1. .

2. 0,6.

3.

.