Логика Добра (стр. 21 )

Мне хотелось бы также верить, что на основе модели «субъектная онтология» может быть сформулирован универсальный новый научный язык, способный обеспечить единый словарь и взаимоперевод естественных и гуманитарных наук. Предложенные выше примеры концептуализаций может быть и не следует принимать как окончательные решения. Моя задача состояла скорее в том, чтобы показать, что возможен новый тип синтетического языка, на котором можно без больших разрушений исходной гуманитарной интуиции и в то же время достаточно точно выразить эту интуицию в рациональной форме (см. также Приложение 4). Я не знаю никакого другого языкового средства, которое с такой степенью могло бы соединить дополнительные требования гуманитарной адекватности и строгости. Все имеющиеся сегодня неклассические знаковые системы, например, язык синергетики и теории катастроф, язык теории автоматов или теории множеств, язык теории систем или исследования операций, язык экологии или поэтики, язык феноменологии или математической теории категорий, - все они и им подобные либо слишком разрушительны для гуманитарного дискурса, либо недостаточно валидны для него, либо недостаточно точны, а если и содержат нечто удачное, то, как правило, удача эта скрывает за собой такие концепты, которые всегда и достаточно адекватно могут быть выражены на языке субъектных онтологий. Типичными примерами такого рода удачных концептов являются понятие «целевая функция» в исследовании операций или понятие «функция благополучия» в математической экологии. За обоими конструкциями символизирует себя универсальная интуиция единой ценностной меры субъектных активностей, явно выражающая себя в таком виде в понятии y-функции в теории субъектных онтологий. В этом смысле идеи субъектных онтологий ни в коей мере не отвергают всех плодотворных достижений современной неклассической рациональности, но, по моему убеждению, скорее понятие субъектной онтологии из всех имеющихся на сегодня концептуальных средств может обеспечить тот смысловой центр, опираясь на который можно было бы начать формирование нового синтетического языка, проповедующего философию витализма.

Даже простое формулирование на языке субъектных онтологий простейших видов субъектных активностей – помощи, эмоций, диалога, избегания опасности, рефлексии, игры – уже благотворно сказывается на состоянии личности, позволяя созерцать в субъектном бытии движение структур, пульсацию субъектного логоса, понимать неслучайность и смысл несущегося потока жизни. Мыслитель достигает здесь уникальной возможности отслоить от себя очень «липкую» среду повседневности, которая при всех иных подходах кажется такой непрозрачной и неподатливой для разума. В этом смысле язык субъектных онтологий может как послужить средством интеллектуальной медитации, так и в свою очередь потребовать от мыслителя некоторого минимального достижения такой медитативной отстраненности.

Может быть, с последним условием в какой-то мере связано достаточно удивившая меня в последние годы некоторая явная трудность восприятия этого языка. Я много раз выступал перед самой разной аудиторией – от гуманитариев-иностранцев до профессиональных российских физиков, пытаясь пропагандировать свою модель субъекта. Мне всегда казалось, что столь явная аналогия этой модели с понятиями «фазовое пространство» и «поле» в теоретической физике должны по крайней мере сделать эту модель особенно доступной для физиков. Оказалось, ничего подобного. Более того, порой те же физики мне признавались, что просто ничего не поняли в моих идеях. В лучшем случае возникало «финитное понимание», когда достигалось понимание модели, но этим все и ограничивалось. Человек не был способен мыслить, просматривать мир «сквозь» эту модель. По-видимому, это можно в какой-то степени объяснить феноменом своего рода «условного мышления», когда мышление протекает не вообще на почве всякой предметности, но только в рамках некоторой ограниченной семантики. Например, физики не могут представить y-поле, но способны представить только физическое поле.

Может показаться, что среди математиков такого рода условность мышления преодолена в наибольшей степени. Но и здесь выяснилось, что математическое мышление всегда очень семантически нагружено, и, как правило, это опять та же физическая предметность. Если вы покажете математику физическую плодотворность математических структур, тогда они могут вызвать интерес. Если нет – это только математическая игрушка.

Кроме того, как мне показалось, многие математически мыслящие люди сегодня связывают прорывы в неклассической рациональности с особенно маргинальной математикой, которая, например, развивается в современной физике элементарных частиц или общей теории относительности. В то же время модель субъектных онтологий очень классична с точки зрения таких физико-математических понятий – используется идея потенциального поля, идея силы, и т. д. Но, во-первых, я хотел бы заметить, что в свое время наиболее классические разделы физики во многом опирались на идею соответствия физической и психологической реальности. Например, понятия «силы», «энергии», «напряжения» во многом несут на себе первично антропологические смыслы, которые лишь затем были обработаны для нужд физики. Отсюда не удивительно, что возвращение сегодня к антропологическим проблемам начинает возрождать в новой форме классические понятия самой физики. Во-вторых, как и в любой науке, в гуманитарных дисциплинах есть своя феноменология, которая хорошо описывается, как я неоднократно пытался показать, конструкциями субъектных онтологий. По крайней мере, эта феноменология имеет свой непреходящий момент истинности. В-третьих, маргинальность, как известно, вырастает из медиальности, и современная маргинальная математика новых физических теорий органично произросла из некоторого классического ядра. По-видимому, нечто подобное должно будет произойти и в гуманитарном знании. Поэтому здесь придется пройти через свой период классики.

Затем я надеялся на молодых, много выступал перед аспирантами, студентами, перед школьниками. Оказалось, что это одна из наиболее консервативно мыслящих групп населения. Обычно они только-только освоили какие-то идеи, и, как правило, эти идеи имеют ментальный возраст, примерно соответствующий возрасту самих мыслителей. Идеи, заложенные в модель субъектных онтологий, как я в связи с этим выяснил, достаточно ментально старые и лучше могут быть восприняты зрелым мыслителем, у которого логос уже пророс до субъектности. Лучше всего, как ни странно, в содержательном смысле меня понимали люди гуманитарно ориентированные, но для них очень трудны и практически недоступны были более формальные средства модели, которые только и могли бы позволить двинуться дальше основных определений. Так что самые интересные стороны модели, выраженные в ее следствиях, для них как правило оставались мало понятны.

В итоге у меня возникло после первого вдохновения первое отчаяние, сменившееся вторым вдохновением, и я решил написать эту книгу.

Надеюсь также, что, как и было обещано во вступлении, читатель вместе со мной утвердился еще раз в убеждении субъектно-онтологической нагруженности русской философии всеединства. Живая вселенная разворачивается перед взором философа всеединства, законы которой и сами живы, выступая иерархически высокими Существами, и определяют бытие как Субъектное Целое. Логос такой вселенной является логикой реальной и нормативной жизнедеятельности существ, Логикой Добра.

Завершая этот труд, я хотел бы вернуться к вопросу, что же такое Добро? Как бы ни разворачивались все тонкости нравственного логоса, но главным пожалуй можно считать уже то, что этот логос существует и он объективен. Он вытекает из иерархического субъект-бытия мира и выражает неотменяемую истину принадлежности каждого из нас некоторому Месту Бытия. Оно есть тайна каждой индивидуальности, которую существо будет разгадывать всю свою жизнь. В конечном итоге, по-видимому, свое место можно будет постичь, лишь побывав на всех местах мира вообще. Добро и есть это великое путешествие по Местам Бытия.

Приложения

В Приложениях я даю более формальные решения или предлагаю зарисовки отдельных тем, так или иначе связанных с основным текстом книги.

Приложение 1. L-противоречивая деонтическая логика

Ниже я постараюсь выразить в более строгой форме отмеченную выше идею Соловьева об антиномическом характере деонтической модальности. Утверждение «S должен А» одновременно означает, иными словами, что «S необходимо А» и «Не верно, что S необходимо А». В самом деле, когда я говорю «я должен быть добрым», то я одновременно ощущаю и необходимость в этом утверждении, запрещающую мне быть не добрым, и в то же время свою свободу не быть добрым. Как я уже упоминал выше, идея модальной логики D, где принимается дополнительно к К-аксиоме L(pÉq)É(LpÉLq) также аксиома D LpÉMp, не кажется мне полностью адекватной для выражения деонтической модальности. Семантика логики D – это в точности сериальные фреймы, т. е. фреймы, не содержащие «мертвых концов» (dead ends) – таких возможных миров, у которых пуста область достижимости. В качестве семантики для D могут выступить и сериальные нерефлексивные фреймы, в которых возможный мир может не принадлежать своей области достижимости. Если в качестве такового рассматривать наш актуальный мир (мир сущего), то нравственно-должное будет относиться к его области достижимости, которая в себя мир сущего не включает. В таком виде и предлагается интерпретировать идею должного в этике. Но в этом случае должное просто отделено от мира сущего, и не может распространять на него нравственные определения. Поэтому такое выражение деонтической модальности кажется мне не вполне удовлетворительным.

Ниже я предлагаю рассмотреть другую возможность выражения деонтической модальности – как антиномической Т-необходимости. Под Т-необходимостью я имею в виду логику необходимости как она выражается в модальной логике Т, которая, кроме К-аксиомы, принимает аксиому Т LpÉp. Семантика логики Т – в точности рефлексивные фреймы, и в таком виде такая логика также неприменима для выражения деонтической модальности. Но если создать бесконечную последовательность Т-логик все более высокого ранга, выражающих все более масштабную Т-необходимость, то на такой последовательности можно будет воспроизвести L-противоречивую теорию, и именно ее рассмотреть как выражение деонтической модальности.

Ниже я перехожу к технической реализации этой идеи.

Пусть дана некоторая теория Т, в которой тем или иным способом можно определить бесконечные последовательности формул {pk} и понятие предела последовательности формул . Пусть также в синтаксис теории входит бесконечная последовательность модальных операторов {Lk}, где Lk – оператор k-необходимости, а также введен модальный оператор L. Положим, что теория Т строится как модальное исчисление высказываний, и в теории Т принимаются следующие аксиомы

Kk. Lk(pÉq)É(LkpÉLkq) для каждого k=1,2,3,…

Tk. LkpÉLk-1p для каждого k=1,2,3,… , где L0p – это p

K. L(pÉq)É(LpÉLq)

T. LpÉp

и правила вывода исчисления высказываний (например, modus ponens), а также правила необходимости:

Nk. Lk-1p ® Lkp для каждого k=1,2,3,…

N. p ® Lp

Для определения семантики теории Т предположим существование бесконечной последовательности множеств возможных миров {Wk}, где Wk ÍWk+1 и Wk ¹ Wk+1. Через W обозначим объединение всей этой бесконечной последовательности. Семантику формул Lkp и Lp определим на основе следующих правил:

|Lkp|w = 1 если только если "w’(Rk(w, w’) É |p|w’ = 1)

|Lp|w = 1 если только если "w’(R(w, w’) É |p|w’ = 1), где w, w’ÎW

Здесь Rk – отношение k-достижимости, т. е. отношение достижимости на k-мирах, где Rk(w, w’) º R(w, w’) Ù wÎWk Ùw’ÎWk, и R(w, w’) – отношение достижимости на мирах из W.

Положим также, что пределом последовательности {Lk} операторов k-необходимости является оператор L.

Пусть также в Т существует предельная последовательность формул {pk}, где для любого k=1,2,3,… верно Lkpk Ù ùLk+1pk. В качестве предела этой последовательности формул должна быть определена формула (Lkpk Ù ùLk+1pk) = (Lk)(pk) Ù ù(Lk+1)(pk) = LpÙùLp, где p = pk. Таким образом, в качестве предела получим в этом случае противоречие. Следовательно, вся последовательность формул {Lkpk Ù ùLk+1pk} представляет из себя L-противоречие.

Будем использовать здесь следующие символические преобразования. Представим последовательность {Lkpk Ù ùLk+1pk} в форме {Lk Ù ùLk+1}{pk} - применения метамодального оператора {Lk Ù ùLk+1} к бесконечной последовательности формул {pk}. Сам оператор {Lk Ù ùLk+1} обозначим через <lÙùl> и будем читать как «должно быть так, что» или «необходимо и не необходимо так, что». Именно через такого рода метамодальный оператор я предлагаю выражать деонтическую модальность.

Пусть, например, суждение pk есть «человек подчиняет страсти k-разуму». Поскольку в теории Т верно, что Lkpk Ù ùLk+1pk, то мы получим, что pk выполнено во всех k-мирах, но не выполнено в некоторых (k+1)-мирах. Поскольку k-миры – это одновременно и (k+1)-миры, то невыполнение pk возможно из всех (k+1)-миров только в мирах из Wk+1 \ Wk. Назовем миры из W \ Wk k-неидеальными мирами, а k-миры будем называть также k-идеальными мирами. Так вот, суждение pk, будучи выполненным во всех k-идеальных мирах, окажется невыполненным в каком-то k-неидеальном (k+1)-мире. В k-неидеальных мирах k-разум уже не может подчинить себе страсти, т. е. страсти k-неидеальных миров слишком «буйные» для k-разума. Но эти страсти в пределах (k+1)-миров может подчинить себе (k+1)-разум, который таким образом оказывается более мощным, чем k-разум.

В этом случае бесконечная последовательность суждений {pk} будет выражать транс-суждение {«человек подчиняет страсти k-разуму»}, предполагающую бесконечную уровневость разума и страстей. В рамках этой уровневости есть и момент подчинения страстей разуму ({Lkpk}), и момент неподчинения ({ùLk+1pk}). Если мы будем понимать, что транс-разум человека есть бесконечная иерархия всех его уровневых разумов, и момент отождествления себя возможен с любым из этих уровней, то в этом случае мы должны будем признать, что транс-разум в любой момент может проявить себя и как k-разум и как (k+1)-разум, и как какой-то еще уровневый разум. Аналогично ведет себя и транс-необходимость ({Lk}), представляющая из себя бесконечную последовательность уровневых необходимостей. В любой момент ресурсы этой необходимости могут отождествить себя в субъектной онтологии с той или иной уровневой необходимостью – и с k-необходимостью, и с (k+1)-необходимостью, и с любой другой уровневой необходимостью. Бытие таких сущностей оказывается уже выразимой только логикой бесконечных последовательностей суждений – логикой транс-суждений. В частности, здесь возможны ситуации, выразимые транс-суждением {Lkpk Ù ùLk+1pk}, которое станет противоречием не только в пределе, но и если разум отождествит себя с k-разумом, а необходимость переотождествит себя от k-необходимости к (k+1)-необходимости, сохраняя в этих переходах момент самотождества. Такие парадоксы всегда возможны в транс-определенности, выражающей себя не в отдельной сущности, но в предельной бесконечной последовательности сущностей разных уровней, с каждой из которых возможно достижение состояние самоотождествления. Как мне представляется, именно такого рода структуру транс-бытия мы встречаем в сфере сознания и его нравственностных определений. Вот почему так повышенно неуловимы состояния сознания и связанные с ними определения, в частности – нравственные законы. Они всегда предполагают бесконечную уровневость как сознания, так и необходимости, так что k-сознание, будучи свободным по отношению к более низким уровням бытия, оказывается подчиненным определениям более высоких уровней. В то же время сознание и не может быть сведено только к одному своему уровню или только к бесконечной их последовательности. Сознание всегда содержит в себе текущее Я, которое образует область отождествления полноты сознания с некоторым ее фрагментом. Эта область самотождества постоянно пульсирует и переживается субъектом как живое противоречие, живой парадокс своего транс-бытия. В такой среде законы всегда также уровневы, совмещая с собою уровневые беззакония. Такую антиномическую природу мы и находим в метамодальном операторе долженствования <lÙùl>. Этот оператор предполагает бесконечную последовательность уровней нравственной онтологии, в которой каждый последующий (k+1)-уровень образован пополнением за счет k-неидеальных миров, где нарушается нравственная k-необходимость, но продолжает выполняться более мощная (k+1)-необходимость. Обладая сквозящим через все уровни бытием, личность всегда обнаруживает в себе как момент совпадения себя с каждой из необходимостей, так и момент выхождения за их границы – все зависит от типа отождествления себя с тем или иным уровнем или типом представления всей последовательности уровней. Последняя может браться и как таковая, и как сдвиг самой себя на то или иное число уровней в ту или иную сторону. Отношение первичной и сдвинутой последовательности даст особый тип отношения себя к себе-иному. Такого рода транс-отношение мы как раз и наблюдаем в метаоператоре <lÙùl>, где первичная последовательность необходимостей {Lk} соотносится со сдвинутой на один шаг влево той же последовательностью необходимостей {Lk+1}. Эти последовательности не тождественны, но имеют один предел. Они выступают как одно, взятое с разных позиций и введенное в отношение с собою. Так разнится внутри себя, оставаясь собою, антиномическое бытие субъектности и нравственности. По-видимому, подобную антиномичность мы и переживаем, когда слышим слово «должен», мерцающее между полюсами свободы и закона.

Приложение 2. Исчисление обобщенных градиентов

Рассмотренные ниже конструкции являются более строгим и формальным представлением приведенных в Разделе I, Главе 2, § 2 «Проблема субъектной силы» идей о воле субъектов как некотором векторном объекте.

Пусть Y(А) – множество функций y, определенных на некотором множестве А и принимающих значения на отрезке [0,1]. Е – неотрицательное вещественное число.

Рассмотрим далее функции вида Еy, где Е³0, y ÎY(А). Предположим, что на таких функциях определены следующие операции:

1. Некоторая операция Å:

Е1y1 Å Е2y2 = Е3y3,

для которой выполнены свойства коммутативности и ассоциативности, а также следующие свойства

(*)(E1y1 + С1) Å (E2y2 + С2) º (E1y1 Å E2y2) + С3, где С1, С2, С3 – вещественные числа

(* ’) E1y Å E2y º E3y + С, где С – вещественное число

(* ’ ‘) Ey Å 0 º Ey

(* ‘’’) Е1y1 Å Е2y2 = Е3y3, где Е3 = f(E1, E2)

2. Операция взятия противоположного элемента:

- Еy = Е(1-y)

3. Операция умножения на вещественное число b:

b(Еy) = (bЕ)y, если b³0,

b(Еy) = (|b|Е)(1-y), если b<0,

Далее рассмотрим множество объектов вида

±(Ey, а, а+)

где а - некоторый элемент множества А,

а+ - такой элемент из А, что y+ = y(а+), где y+ = {y(x)}, и

+ (Ey, а, а+) = (Ey, а, а+)

– (Ey, а, а+) = (E(1-y), а, а-),

где а- - такой элемент из А, что y- = y(а-), где y - = {y(x)}.

Для объекта (Ey, а, а+) введем отображение || || (“величина”) по следующему правилу:

|| (Ey, а, а+) || = | E(y+ - y(а)) | = E(y+ - y(а))

Для объектов вида ±(Ey, а, а+) также определим следующие операции:

1.  Операцию * по правилу:

(E1y1, а, а1+) * (E2y2, а, а2+) = (E3y3, а, а3+)),

где E3y3 = E2y2 Å E1y1,

Здесь, как обычно, аi+ - такой элемент из А, что yi+ = yi(а+), где yi+ = {yi(x)}. Далее для операции * я также буду использовать символ Å и называть ее «суммой».

2.  Операцию взятия противоположного элемента:

– [±(Ey, а, а+)] = (Ey, а, а+)

В частности, если yºconst, то полагаем, что -(Ey, а, а) = (E(1-y), а, а).

3.  Операцию умножения на вещественное число b:

b[±(Ey, а, а+)] = ±(b(Ey), а, а+), если b³0,

b[±(Ey, а, а+)] = (|b|(Ey, а, а+), если b<0,

Для операции Å потребуем выполнения следующих свойств:

(**) Для любого вещественного числа b верно: b((E1y1, а, а1+) Å (E2y2, а, а2+)) = [b(E1y1, а, а1+)] Å [b(E2y2, а, а2+)] – свойство левой дистрибутивности

(***) Для любых вещественных чисел b и g верно: (b+g)(Ey, а, а+) = [b(Ey, а, а+)] Å [g(Ey, а, а+)] – свойство правой дистрибутивности

На множестве D объектов (Ey, а, а+) введем далее следующее отношение эквивалентности:

(E1y1, а, ±а1+) » (E2y2, а, ±а2+) если только если Е1y1 º Е2y2 + С, где С – вещественное число. Замечу, что для такой эквивалентности достаточно только соотношения первых элементов троек, а третьи элементы в этом случае во внимание не принимаются.

На основе этого отношения разбиваем множество D на классы эквивалентности. Пусть D* - множество классов эквивалентности на D, а Grad(Еy(а)) = (Ey, а, а+)* - тот класс эквивалентности, который содержит элемент (Ey, а, а+). Объект Grad(Еy(а)) я буду далее называть «обобщенным градиентом». На классах эквивалентности введем следующие операции:

1.  Операцию “суммы” Å, где

Grad(Е1y1) Å Grad(Е2y2) = (E1y1, а, а1+)* Å (E2y2, а, а2+)* =

(Е1y1ÅE2y2, а, а3+)* = Grad(Е1y1 Å Е2y2)

2.  Операцию умножения на вещественное число b:

b(Grad(Еy)) = (b(Ey, а, ±а+))* = Grad((bЕ)y)

Докажем следующие леммы.

Лемма 1. Операция Å корректна.

Доказательство. Необходимо показать, что операция Å не зависит от конкретного элемента класса эквивалентности, т. е., если (E1y1, а, а1+) » (E2y2, а, а2+) и (E3y3, а, а3+) » (E4y4, а, а4+), то (E1y1, а, а1+) Å (E3y3, а, а3+) » (E2y2, а, а2+) Å (E4y4, а, а4+). Пусть (E1y1, а, а1+) » (E2y2, а, а2+) и (E3y3, а, а3+) » (E4y4, а, а4+). Тогда Е1y1 º Е2y2 + С1 и Е3y3 º Е4y4 + С2. Отсюда E1y1 Å E3y3 = (E2y2 +С1) Å (E4y4 + С2) º (E2y2 Å E4y4) + С3, в силу свойства (*). Тем самым лемма доказана.

Лемма 2. Операция умножения класса эквивалентности Grad(Еy(а)) на вещественное число корректна.

Доказательство. 1) Пусть b - неотрицательное вещественное число, и (E1y1, а, а1+) » (E2y2, а, а2+). Тогда Е1y1 º Е2y2 + С. bЕ1y1 º bЕ2y2 + bС º bЕ2y2 + С*, где С* = bС. 2) Пусть b - отрицательное вещественное число, и вновь (E1y1, а, а1+) » (E2y2, а, а2+). Тогда Е1y1 º Е2y2 + С. Отсюда |b| Е1(1-y1) º |b| Е1 - |b| Е1y1 º |b| Е1 - |b| (Е2y2 + С) º |b|Е1 - |b| Е2y2 - |b|С + |b|Е2 - |b|Е2º |b|Е2 - |b| Е2y2 + |b|(Е1 - С - Е2) º |b| Е2 (1- y2) + С*, где С* º |b|(Е1 - С - Е2). Т. о. получаем, что b(E1y1, а, а1+) » b(E2y2, а, а2+).

Лемма 3. Множество D* вместе с операцией Å образует абелеву группу.

Доказательство. Корректность операции Å следует из Леммы 1. Так как операция Å на классах эквивалентности сводится к подобной операции на тройках, а последняя – к соответствующей коммутативной и ассоциативной операции на первых элементах троек, то операция Å на классах эквивалентности коммутативна и ассоциативна. Нейтральным элементом операции Å является элемент 0* = Grad(0). Элементом, противоположным элементу Grad(Еy), является элемент - Grad(Еy).

Теорема 1. Множество D* является линейным пространством над полем вещественных чисел.

Доказательство. Корректность операций Å и умножения на вещественное число следует из Леммы 1 и Леммы 2. Лемма 3 доказывает групповые свойства операции Å как операции сложения элементов D*. Для доказательства утверждения теоремы остается проверить свойства ассоциативности и унитарности операции умножения на число, свойства правой и левой дистрибутивности. Первые два свойства прямо вытекают из определения операции умножения на число. Вторые два свойства следуют из (**) и (***).

Теорема 2. Если (Е1y1, а, а1+) » (Е2y2, а, а2+), то ||(Е1y1, а, а1+)|| = ||(Е2y2, а, а2+)||.

Доказательство. Пусть (Е1y1, а, а1+) » (Е2y2, а, а2+). Тогда Е1y1 º Е2y2 + С. Отсюда получаем: ||(Е1y1, а, а1+)|| = Е1((y1)+ - y1(а)) = Е1(y1)+ - Е1y1(а) = (Е1y1)+ - (Е1y1)(а) = (Е2y2 + С)+ - (Е2y2 + С)(а) = (Е2y2)+ + С - (Е2y2)(а) – С = (Е2y2)+ - (Е2y2)(а) = (Е2y2)+ - (Е2y2)(а) = Е2((y2)+ - y2(а)) = ||(Е2y2, а, а2+)||.

Доказанная теорема позволяет ввести понятие «величины» для обобщенного градиента по следующему правилу:

||Grad(Еy(а))|| = ||(Еy, а, а+)*|| = ||(Еy, а, а+)||.

Теорема 3. Операция Å существует.

Доказательство. Можно проверить, что операция Å, такая, что

Grad(Е1y1) Å Grad(Е2y2) = Grad(E3y3),

где Е3 = Е1 + Е2,

y3 = .

удовлетворяет всем предъявленным выше требованиям.

Рассмотрим один специальный случай определения Grad(Еy).

Пусть функция y дифференцируема, и

Grad(y(а)) =(y, а, а+)*, где y(а+) = y+ = y(а) + grady(а)×,

вектор = dt, и ||grad(Еy(а))|| - длина вектора grad(Еy(а)).

Тем самым предполагается, что Еy+ = {Еy(x)}= Еy(а) + gradЕy(а)× = Еy(а) + ||grad(Еy(а))||dt. Замечу также, что равенство y+ = {y(x)}= y(а) + ||grad(Еy(а))||dt предполагает, что множество А – это бесконечно-малая окрестность точки а (как известно, максимальной производной по направлению является производная по направлению вектора градиента, и величина этой производной равна модулю градиента. Поскольку производная по направлению выражает отношение бесконечно малого приращения функции к бесконечно малому приращению векторного аргумента в указанном направлении, то величина этой производной, умноженная на бесконечно малую величину любой независимой переменной, будет равна указанному бесконечно малому приращению функции. Следовательно, величина ||grad(Еy(а))||dt будет соответствовать максимальному приращению функции Еy в бесконечно малой окрестности точки а, и это приращение будет достигаться по направлению вектора градиента от точки а, т. е. вектор (а+ - а) будет сонаправлен вектору градиента. Точка а+ будет лежать от точки а в направлении и на расстоянии вектора (а+ - а). Точка а- в этом случае - это точка а-(а+ - а), лежащая от точки а в направлении вектора –grad(Еy(а)). В этом случае точка а- окажется точкой максимального приращения функции Е(1-y) в бесконечно малой окрестности точки а. Отсюда получим: –Grad(y(а)) = ((1-y), а, а-)*. Это позволяет нам и в общем случае объекта (Еy, а, а+)* рассматривать пару (а, а+) как указатель направления данного объекта. Кроме того, в силу гладкости функции Еy, эта функция приближается в бесконечно малой окрестности точки а как линейное отображение, которое принимает максимальное значение только на границах бесконечно малой окрестности. Но точки, лежащие на границах, максимально удалены от точки а сравнительно со всеми точками окрестности. Отсюда следует, что любые бесконечно малые величины будут меньше расстояния до этих точек, в том числе это относится и к любым бесконечно малым приращениям ||grad(Еy(а))||dt функции Еy. Следовательно, точка а+ должна лежать на границе бесконечно малой окрестности точки а.

Рассмотрим далее консервативную механическую систему, на которую действует сила (а), равная градиенту кинетической энергии К(а) системы: (а) = gradK(а), где а – точка конфигурационного пространства системы. Пусть функция y такова, что y(а) = , где Е – полная энергия системы (в этом случае верен закон сохранения полной энергии системы, и величина Е не зависит от а). Имеем: yÎ[0,1], т. е. y ÎY(А), где А – бесконечно-малая окрестность точки а. Отсюда для силы (а) можем записать: (а) = gradK(а) = grad(Еy(а)).

Введем отображение j: F(а) ® D*, где F – множество сил (а) = gradK(а) = grad(Еy(а)) консервативных систем в точке а, D* = {(Ey, а, а+)*: (Ey, а, а+)ÎD}, такое, что j((а)) = Grad(y(а)), где

Grad(y(а)) =(y, а, а+)*, и y(а+) = y+ = y(а) + grady(а)×.

Теорема 4. Отображение j является линейным изоморфизмом.

Доказательство.

1.  Покажем, что j - биекция. Пусть 1(а) ¹2(а). Тогда 1(а) = grad(Е1y1(а)) ¹ grad(Е2y2(а)) = 2(а). Предположим, что при этих условиях j(1(а)) = j(2(а)), т. е. (y1, а, а1+)* =(y2, а, а2+)*. Тогда Е1y1(а) = Е2y2(а) + С, и, следовательно, grad(Е1y1(а)) = grad(Е2y2(а)), т. е. 1(а) =2(а), что неверно. Полученное противоречие доказывает, что j - инъекция. Покажем, что j - сюръекция. Пусть Grad(y)ÎD*. Тогда Grad(y) = (y, а, а+)* = j((а)), где (а) = grad(Еy(а)), т. е. (а) Î F(а).

2.  Пусть 1(а) = gradК1 = grad(Е1y1(а)), 2(а) = gradК2 = grad(Е2y2(а)). (а) = gradК = grad(Еy(а)) = 1(а)+2(а) = grad(Е1y1(а)) + grad(Е2y2(а)) = grad(Е1y1(а) + Е2y2(а)) = grad(К1+К2). Положим, что в этом случае Е = Е1 + Е2 и К = К1 + К2. Тогда Еy = Е = (Е1 + Е2) = (Е1 + Е2) = Е1y1 Å Е2y2. Отсюда получаем: j((а)) = j(1(а)+ 2(а)) = j(1(а)) Å j(2(а)).