Методические указания и контрольные задания по курсу «Прикладная физика» (стр. 10 )

4.41. Пучок света, идущий в стеклянном сосуде с глицерином, отражается от дна сосуда. При каком угле падения отраженный пучок света максимально поляризован?

4.42. Анализатор в k = 2 раза уменьшает интенсивность света, приходящего к нему от поляризатора. Определить угол между плоскостями пропускания поляризатора и анализатора. Потерями интенсивности света в анализаторе пренебречь.

4.43. Угол между плоскостями пропускания поляризатора и анализатора равен 45°. Во сколько раз уменьшится интенсивность света, выходящего из анализатора, если угол увеличить до 60°?

4.44. Частица движется со скоростью , где с – скорость света в вакууме. Какую долю энергии покоя составляет кинетическая энергия частицы?

4.45. Протон с кинетической энергией Wk = 3 ГэВ при торможении потерял треть этой энергии. Определить, во сколько раз изменился релятивистский импульс -частицы.

4.46. При какой скорости (в долях скорости света) релятивистская масса любой частицы вещества в n = 3 раза больше массы покоя?

4.47. Определить отношение релятивистского импульса р-электрона с кинетической энергией Wk = 1.53 МэВ к комптоновскому импульсу m0c электрона.

4.48. Скорость электрона  = 0.8 c (где с – скорость света в вакууме). Зная энергию покоя электрона в мегаэлектрон-вольтах, определить в тех же единицах кинетическую энергию Wk электрона. 

4.49. Во сколько раз релятивистская масса электрона, обладающего кинетической энергией Wk =1.53 МэВ, больше массы покоя m0?

4.50. Какую скорость (в долях скорости света) нужно сообщить частице, чтобы её кинетическая энергия была равна удвоенной энергии покоя? 

4.51. Релятивистский электрон имел импульс р1 = m0c. Определить конечный импульс этого электрона (в единицах m0c), если его энергия увеличилась в 2 раза. 

4.52. Вычислить истинную температуру Т вольфрамовой раскаленной ленты, если радиационный пирометр показывает температуру Трад = 2.5 кК. Принять, что поглощательная способность для вольфрама не зависит от частоты излучения и равна = 0.35. 

4.53. Черное тело имеет температуру Т1 = 500 К. Какова будет температура Т2 тела, если в результате нагревания поток излучения увеличится в 5 раз? 

4.54. Температура абсолютно черного тела Т = 2000 К. Определить длину волны , на которую приходится максимум энергии излучения, и спектральную плотность энергетической светимости (излучательности) для этой волны. 

4.55. Определить температуру Т и энергетическую светимость (излучательность) Re абсолютно черного тела, если максимум энергии излучения приходится на длину волны = 600 нм. 

4.56. Из смотрового окошечка печи излучается поток Фе = 4 кДж/мин. Определить температуру Т печи, если площадь окошечка S = 8 см2. 

4.57. Поток излучения абсолютно черного тела Фе = 10 кВт. Максимум энергии излучения приходится на длину волны  = 0.8 мкм. Определить площадь S излучающей поверхности.

4.58. Определить поглощательную способность аТ серого тела, для которого температура, измеренная радиационным пирометром, Трад = 1400 К, тогда как истинная температура Т тела равна 3200 К. 

4.59. Муфельная печь, потребляющая мощность Р = 1 кВт, имеет отверстие площадью S = 100 см2. Определить долю мощности, рассеиваемой стенками печи, если температура её внутренней поверхности равна 1000 К.

4.60. Найти красную границу фотоэффекта для калия.

4.61. Длинноволновая (красная) граница фотоэффекта для меди 282 нм. Найти работу выхода электроном из меди (в эВ).

4.62. К вакуумному фотоэлементу, у которого катод выполнен из цезия, приложено запирающее напряжение 2 В. При какой длине волны падающего на катод света появится фототок?

4.63. Какое запирающее напряжение надо подать, чтобы электроны, вырванные ультрафиолетовым светом с длинной волны 100 нм из вольфрамового катода, не могли создать ток в цепи?

4.64. Определить энергию фотонов, соответствующих наиболее длинным ( = 760 нм) и наиболее коротким ( = 380 нм) волнам видимой части спектра.

4.65. Каков импульс фотона, энергия которого равна 3 эВ?

4.66. Источник света мощностью 100 Вт испускает 5∙1020 фотонов за 1 с. Найти среднюю длину волны излучения.

4.67. Найти длину волны рентгеновских лучей ( = 20 пм) при комптоновском рассеянии под углом 90°.

4.68. Длина волны рентгеновских лучей после комптоновского рассеивания увеличилось на 0.3 пм. Найти угол рассеяния.

4.69. Красная граница фотоэффекта для цинка = 310 нм. Определить максимальную кинетическую энергию Wmax фотоэлектронов в электрон-вольтах, если на цинк падает свет с длиной волны  = 200 нм.

4.70. На поверхность калия падает свет с длиной волны  = 150 нм. Определить максимальную кинетическую энергию Wmax фотоэлектронов.

4.71. На фотоэлемент с катодом из лития падает свет с длиной волны  = 200 нм. Найти наименьшее значение задерживающей разности потенциалов Umin, которую нужно приложить к фотоэлементу, чтобы прекратить фототок.

4.72. Какова должна быть длина волны -излучения, падающего на платиновую пластину, чтобы максимальная скорость фотоэлектронов была = 3 Мм/с?

4.73. На металлическую пластину направлен пучок ультрафиолетового излучения ( = 0.25 мкм). Фототок прекращается при минимальной задерживающей разности потенциалов Umin = 0.96 В. Определить работу выхода А электронов из металла.

4.74. На металлическую пластину направлен монохроматический пучок света с частотой = 7.3∙1014 Гц. Красная граница фотоэффекта для данного материала равна 560 нм. Определить максимальную скорость фотоэлектронов.

4.75. На цинковую пластину направлен монохроматический пучок света. Фототок прекращается при задерживающей разности потенциалов U = 1.5 B. Определить длину волны света, падающего на пластину.

4.76. Фотон при эффекте Комптона на свободном электроне был рассеян на угол . Определить импульс р (в МэВ/с), приобретенный электроном, если энергия фотона до рассеяния была = 1.02 МэВ. 

4.77. Давление р света с длиной волны = 40 нм, падающего нормально на черную поверхность, равно 2 нПа. Определить число N фотонов, падающих за время t = 10 c на площадь S = 1 мм2 этой поверхности. 

4.78. Определить коэффициент отражения поверхности, если при энергетической освещенности Ее = 120 Вт/м2 давление р света на неё оказалось равным 0.5 мкПа. 

V. ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

Элементы кристаллографии

Молярный объем кристалла

,

где М – молярная масса вещества; – плотность кристалла.

Объем V элементарной ячейки в кристаллах:

при кубической сингонии

;

при гексагональной сингонии

.

Здесь а и с – параметры решетки.

Число Zm элементарных ячеек в одном моле кристалла

или ,

где k – число одинаковых атомов в химической формуле соединения; NА – число Авогадро; п – число одинаковых атомов, приходящихся на элементарную ячейку.

Число Z элементарных ячеек в единице объема кристалла

, или в общем случае ;

для кристалла, состоящего из одинаковых атомов (k = 1), .

Параметр а кубической решетки

.

Для обозначения узлов, направлений и плоскостей в решетке вводятся специальные индексы.

Индексы узлов в кристаллической решетке записывают в двойных квадратных скобках [[mnp]]. Для отрицательных индексов над буквой ставится знак минус.

Индексы направлений записываются в одинарных квадратных скобках [mnp]. Индекс направления совпадает с индексом узла, через который проходит прямая, если эта прямая одновременно проходит и через начало координат [[000]] (рис. 5.1).

Угол между прямыми [т1п1р1] и [т2п2р2] в кубической решетке выражается формулой

.

Индексы плоскости (индексы Миллера) записывают в круглых скобках (hkl). Изменение всех индексов на обратные отвечает тому же семейству плоскостей.

Индексы Миллера связаны с минимальными отрезками, отсекаемыми плоскостью на осях координат.

Для нахождения отрезков следует взять обратные величины индексов Миллера (1/h;l/k;1/l) и привести их к наименьшему целому, кратному каждому из полученных чисел. Полученные значения и есть наименьшие отрезки, отсекаемые плоскостью (hkl) на осях координат.

Свойства твердых тел

Упругая линейная продольная деформация. Нормальную силу Fn, отнесенную к площади поверхности тела S, называют механическим напряжением (). Если напряжение распределено равномерно по сечению стержня (см. рис. 5.2), то

.

Размерность напряжения в СИ – [] = 1 Н/м2 = 1 Па. В технических единицах используют размерность [] = 1 кГ/мм2 или кгс/мм2, где 1 кГ (или 1 кгс) = 9.8Н.

Относительная деформация продольного растяжения или сжатия образца имеет вид

,

где  – начальная длина образца,  длина образца после приложения растягивающей силы, – абсолютная деформация образца.

Закон Гука: чем больше деформация тела , больше механическое напряжение .

Для линейной упругой продольной деформации закон Гука имеет вид:

,

где Е – модуль упругости (или модуль Юнга).

Изменение длины стержня при деформации сопровождается соответствующим изменением поперечных размеров тела . Относительная деформация поперечного растяжения или сжатия образца цилиндрической формы имеет вид:

,

где – абсолютная поперечная деформация.

Коэффициент Пуассона – это отношение к :

.

Потенциальная энергия упругой деформации тела имеет вид:

,

где V – объем тела.

Плотность энергии равна .

Упругая деформация сдвига. Сила, направленная по касательной к площади грани (рис. 5.3), называется тангенциальной. При равномерном распределении силы по всей поверхности грани площадью S в любом сечении, параллельном ей, возникает тангенциальное напряжение

.

Величина   – называется абсолютной сдвиговой деформацией. Из треугольника ВВ1А относительная сдвиговая деформация при малых углах сдвига

.

Закон Гука для упругой деформации сдвига устанавливает связь между и :

,

где G – модуль сдвига.

Потенциальная энергия деформированного тела через модуль сдвига имеет вид:

.

Тепловое расширение твердых тел. Тела при нагревании расширяются по законам:

для объемного расширения,

где – объем тела при 0°С, а V – при температуре t°С;

для линейного расширения,

где – длина тела при 0°С, а l – при температуре t°С.

и  – коэффициенты линейного и объемного теплового расширения

.

С учетом закона Гука для продольной линейной деформации между механическим напряжением и перепадом температур ∆Т имеется следующая связь

,

где Е – модуль упругости, – коэффициент линейного расширения.

Фононы – кванты колебаний атомов кристаллической решетки. Фононы – квазичастицы с квазиимпульсом и энергией , где h – постоянная Планка, и – длина волны и частота акустических колебаний.

Фононы ответственны за теплоемкость, теплопроводность и скорость движения звука через твердые тела.

Скорость звука связана с коэффициентом теплопроводности К и теплоемкостью кристалла

,

где – средняя длина свободного пробега фононов.

Скорость звука в твердых телах связана с упругими свойствами.

Скорость распространения продольных волн равна

,

а поперечных волн

,

где E, G – модули упругости и сдвига, r – плотность.

Теплоемкость твердых тел. В общем случае общая теплоемкость твердых тел , в основном, состоит из решетчатой и электронной составляющих:

.

Для неметаллов основной вклад в общую теплоемкость вносит решетчатая составляющая, а для металлов – решетчатая и электронная составляющие.

Закону Дюлонга-Пти: молярная теплоемкость твердых тел есть величина постоянная, одинаковая для всех веществ и независящая от температуры

,

где R – универсальная газовая постоянная.

Для химически сложных веществ, состоящих из различных атомов закон Дюлонга-Пти записывается в виде

– закон Неймана-Коппа,

где – общее число атомов в химической формуле соединения.

Закон Дюлонга-Пти хорошо согласуется с экспериментом лишь при высоких температурах, а с уменьшением температуры ниже резко понижается до нуля по закону

,

где – постоянная Больцмана.

Молярная внутренняя энергия кристалла по Дебаю

,

где – молярная нулевая энергия кристалла по Дебаю, – характеристическая температура Дебая.

Теплопроводность твердых тел. С макроскопической точки зрения явление теплопроводности заключается в переносе теплоты dQ от более горячего участка тела с температурой Т1 к холодному участку с температурой Т2 через площадь поперечного сечения S в течение времени dt.

.

где  – коэффициент теплопроводности , – перепад (градиент) температуры, S – площадь поперечного сечения, t – время.

В общем случае коэффициент теплопроводности l состоит из решеточной и электронной составляющих .

Для неметаллов , а для металлов – .

Поляризация диэлектриков. Поляризованность Р (при однородной поляризации) диэлектрика равна

,

где  – электрический момент отдельной (i-й) молекулы (или атома); N – число молекул, содержащихся в объеме ∆V.

Связь поляризованности с напряженностью E среднего макроскопического поля в диэлектрике

,

где – диэлектрическая восприимчивость; – электрическая постоянная.

Связь диэлектрической проницаемости с диэлектрической восприимчивостью

.

Полупроводники. Удельная проводимость собственных полупроводников

,

где е – заряд электрона, n – концентрация носителей заряда (электронов и дырок), и – подвижность электронов и дырок.

Эффект Холла: возникновение разности потенциалов UH в полупроводниках и металлах в магнитном поле при пропускании электрического тока.

Напряжение UH на гранях образца при эффекте Холла

,

где RH – постоянная Холла; В – индукция магнитного поля, l – ширина пластины; j – плотность тока.

Постоянная Холла для полупроводников типа алмаза, кремния, Германия и др., обладающих носителями заряда одного вида (п или р),

,

где n – концентрация носителей заряда.

Удельная электрическая проводимость проводника

,

где е и т – заряд и масса электрона; п – концентрация электронов; – средняя длина их свободного пробега; и – средняя скорость хаотического движения электронов.

Закон Видемана-Франца

,

где  – теплопроводность,  – удельная электропроводность, Т –температура, L – число Лоренца.

Элементы квантовой статистики. Распределение свободных электронов в металле по энергиям при 0 К

,

где – концентрация электронов, энергия которых заключена в пределах от до ; m – масса электрона. Это выражение справедливо при (где – энергия или уровень Ферми).

Энергия Ферми в металле при Т = 0 К:

,

где п – концентрация электронов в металле.

Контактные и термоэлектрические явления. Внутренняя контактная разность потенциалов

,

где и – энергия Ферми соответственно для первого и второго металлов; е – заряд электрона.

Примеры решения задач

Пример. 1. Определить число n узлов, приходящихся на одну элементарную ячейку в гранецентрированной кубической решетке.

Решение

Выделим элементарную ячейку в кубической решетке (рис. 5.4) и определим, скольким элементарным ячейкам принадлежит тот или иной узел выделенной ячейки. В этой ячейке имеются узлы двух типов: А (находящиеся в вершинах куба) и В (находящиеся на гранях куба в точке пересечения диагоналей).

Узел А принадлежит одновременно восьми элементарным ячейкам. Следовательно, в данную ячейку узел А входит с долей 1/8. Узел В входит одновременно только в две ячейки и, следовательно, в данную ячейку узел В входит с долей 1/2. Если учесть, что число узлов типа А в ячейке равно восьми, а число узлов типа В шести, т. е. числу граней, то общее число узлов, приходящихся на одну элементарную ячейку в гранецентрированной решетке, узла.

Так как число узлов равно числу атомов, то соответствующее структуре на элементарную ячейку приходится четыре атома.

Пример. 2. Написать индексы направлений прямой, проходящей через узлы [[100]] и [[001]] кубической примитивной решетки.

Решение

Изобразим кубическую примитивную ячейку, отметим на ней узлы с индексами [[100]] и [[001]] и проведем через эти узлы прямую (рис. 5.5).

Если бы прямая проходила через начало координат, то индексы ее направления совпадали бы с индексами узла, ближайшего к началу координат, через который проходит прямая.

Заданная прямая не проходит через начало координат. Но этого можно достигнуть, перенеся начало координат в один из узлов, через которые проходит прямая.

Рис. 5.5.

Если перенести начало координат в узел [[100]] (рис. 5.5), то узел, лежащий на той же прямой и ближайший к выбранному началу координат, будет иметь индексы [[01]], а искомое направление в этом случае определится индексами [01].

Если же начало координат перенести в узел [[001]] (рис. 5.5), то соответственно индексы искомого направления будут [01]. Итак, индексы искомого направления в кристалле [01] или [01].

Пример 3. К стальному стержню сечением 2.0 см2 и длиной 0.50 м подвешен груз массой 5.0 т. Каким запасом прочности обладает стержень, если предел прочности (разрушающее напряжение) при растяжении для стали 1.25·109 Па? Каково относительное удлинение стержня? Какова энергия упругой деформации стержня? Массой стержня пренебречь.

Решение

m = 5.0·103 кг l = 0.5 м S = 2.0∙10–4 м2 g = 9.8 м/с2 = 1.25·109 Па Е = 2.2·1011 Па	Запас прочности найдем по формуле , где , a , откуда . Относительное удлинение найдем по формуле . Зная деформирующую силу и абсолютную деформацию , определим энергию упругой деформации Wp: , где .
п – ?  – ? Wp – ?

Очевидно, .

Подставляя числовые данные, получим значения искомых величин:

,