Методические указания и контрольные задания по курсу «Прикладная физика» (стр. 2 )

Пример 2. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону j = A + Вt + Сt2, где A = 10 рад, В = 20 рад/c, C = –2 рад/с2. Найти полное ускорение точки, которая находится на расстоянии r = 0.1 м от оси вращения, для момента времени t = 4 с.

Решение

j = А + Bt + Сt2 А = 10 рад B = 20 рад/с С = –2 рад/с2 r = 0.1 м t = 4 с	Полное ускорение точки a, которая движется по окружности, находится как геометрическая сумма тангенциального ускорения at, направленного по касательной к траектории и нормального ускорения an, направленного к центру кривизны траектории (рис. 1.1): . Т. к. векторы at и an взаимно перпендикулярны, то модуль ускорения . (1)
a – ?

Модули тангенциального и нормального ускорения точки вращающегося тела выражаются формулами , an = w2r,

где w – модуль угловой скорости тела, – модуль его углового ускорения.

Подставляя выражения at и an в формулу (1), найдем

. (2)

Угловую скорость w найдем, взяв первую производную угла поворота по времени:

= B + 2Ct.

В момент времени t = 4 с модуль угловой скорости

w = [20 + 2(–2)×4] рад/с = 4 рад/с.

Угловое ускорение найдем, взяв первую производную от угловой скорости по времени:

= 2С = –4 рад/с2.

Подставляя значения w, и r в формулу (2), получим

.

Пример 3. Ледяная гора составляет угол 30° с горизонтом. По ней пускают снизу вверх небольшой предмет, который за 2 секунды проходит расстояние 16 м, после чего соскальзывает вниз. Найти коэффициент трения между предметом и поверхностью и время соскальзывания.

Решение

30°	Это одна из задач на движение тел вдоль наклонной плоскости. В ней требуется и кинематический, и динамический анализ условия. Рассмотрим один из вариантов решения. При движении вверх скорость уменьшается до нуля в верхней точке, предмет движется равнозамедленно прямолинейно.

При движении вниз начальная скорость равна нулю, предмет движется равноускоренно. Путь, пройденный предметом, в обоих случаях одинаков и выражается следующим образом:

, ,

где и – ускорение и время при движении вверх, и – то же при соскальзывании.

Приравняв правые части уравнений, получим , то есть ускорения и квадраты времени движения связаны обратно пропорциональной зависимостью. Выразим отношение ускорений:

(1)

из этого соотношения можно выразить искомое время через отношение ускорений, для этого нужно провести динамический анализ движения.

Следует учесть и показать на рисунках все силы, действующие на предмет при движении вверх (рис. 1.2) и вниз (рис. 1.3) в некоторой промежуточной точке. Векторы всех сил будем считать приложенными в одной точке – центре тяжести предмета.

Рис. 1.2.	Рис. 1.3.

В обоих случаях предмет взаимодействует с Землей и плоскостью, при этом на него действуют: сила тяжести , направленная вертикально вниз, сила реакции опоры , направленная перпендикулярно плоскости, и сила трения скольжения , направленная противоположно направлению движения. Длина отрезка, изображающего каждую силу, на рис. 1.2 и 1.3 должна быть одинакова. Равнодействующая сил в обоих случаях направлена вдоль наклонной плоскости вниз; согласно закону Ньютона так же направлено ускорение:

.

Свяжем систему отсчета для обоих случаев движения с неподвижной точкой, ось Ox направим вдоль ускорения, ось Oy – перпендикулярно к ней. Система отсчета приведена на рис. 1.2.

Запишем II закон Ньютона в векторной форме для движения вверх:

,

Спроектируем все члены уравнения на оси:

(2)

. (3)

При небольших скоростях сила трения скольжения прямо пропорциональна силе, прижимающей движущийся предмет к поверхности :

, (4)

где – коэффициент трения.

Выразив из (3) и подставив в уравнение (2), получаем:

. (5)

Запишем далее II закон Ньютона в векторной форме для движения вниз:

,

в проекциях на оси:

ось : , (6)

ось : . (7)

После преобразований, аналогичных предыдущим, получим:

. (8)

Выразив из уравнения (5) и из уравнения (8), имеем:

. (9)

Приравняем правые части уравнений (1) и (9):

,

откуда искомое время .

Неизвестный здесь коэффициент трения выразим из уравнения (5) с учетом того, что . Получим:

.

Здесь все известно. Наименования единиц всех членов правой части выражения одинаковы, в результате получается безразмерное число.

Производим вычисления:

.

Получено число, удовлетворяющее условию задачи, оно меньше единицы, как и должно быть.

.

Время соскальзывания больше времени движения вверх, что следует из соответствующего соотношения ускорений.

Пример 4. Шар массой m1, который движется горизонтально с некоторой скоростью , столкнулся с неподвижным шаром массой m2. Удар абсолютно упругий, прямой, центральный. Какую часть своей кинетической энергии первый шар передал второму?

Решение

m1 m2	Часть энергии, переданная первым шаром второму выражается соотношением , (1) где Wk1 – кинетическая энергия первого шара до удара; u2 и Wk1 – скорость и кинетическая энергия второго шара после удара.
Ε – ?

Как видно из формулы (1), для определения необходимо найти u2. Согласно условию задачи импульс системы двух шаров относительно горизонтального направления не изменяется и механическая энергия шаров в другие виды не переходит. Следовательно

, (2)

. (3)

Решив совместно уравнения (2) и (3) имеем

.

Подставив выражение для u2 в формулу (1), получим

.

Из соотношения видно, что часть переданной энергии зависит только от массы столкнувшихся шаров.

Пример 5. Через блок в виде цельного диска, масса которого m = 80 г, перекинута тонкая гибкая нить, к концам которой подвешены грузы массами m1 = 100 г и m2 = 200 г. Определить ускорение, с которым будут двигаться грузы. Трением и массой нити пренебречь.

Решение

m = 80 г = 0.08 кг m1 = 100 г =0.1 кг m2 = 200 г =0.2 кг g = 9.8 м/с2	Рассмотрим силы, которые действуют на каждый груз и на блок отдельно. На каждый груз действуют две силы: сила тяжести и сила упругости (сила натяжения нити). Направим ось х вертикально вниз и напишем для каждого груза уравнение движения (второй закон Ньютона) в проекции на эту ось.
a – ?

Для первого груза m1g – T1 = – m1a, (1)

для второго груза m2 g – T2 = m2 a. (2)

Под действием моментов сил і относительно оси z, перпендикулярной плоскости рисунка и направлена за рисунком, блок приобретает угловое ускорение . В соответствии с основным уравнением динамики вращательного движения

, (3)

где ; – момент инерции блока (цельного диска) по отношению к оси .

В соответствии с третьим законом Ньютона, с учетом невесомости нити  = T1 и  = T2. Используя эти равенства, подставим в уравнение (3) вместо и выражения T1 и T2, получив их предварительно из уравнений (1) и (2):

.

После преобразований найдем

. (4)

Подставим в (4) численные значения, данные по условию задачи:

.

Проверим размерность результата .

Пример 6. Точка совершает гармонические колебания с частотой ν = 10 Гц. В начальный момент точка имела максимальное смещение хmax = 1 мм. Написать уравнение колебаний точки и начертить график.

Решение

хmax = 1 мм = 10–3м = 10 Гц	Уравнение колебаний точки запишем в следующем виде: х = Asin(), (1) где х – смещение; А – амплитуда колебаний; – циклическая частота; – начальная фаза.
x – ?

По определению амплитуда колебаний

А = хmax. (2)

Циклическая частота связана с частотой соотношением

. (3)

Для момента времени t = 0 формула (1) имеет вид хmax = A sin, отсюда начальная фаза

= arcsin (хmax/А) = arcsin 1; . (4)

С учетом равенств (2)-(4) уравнение колебаний примет вид

x = 10–3 sin (20p t + p/2) м.

График соответствующего гармонического колебания приведен на рис. 1.5.

Пример 7. Тело массой m = 0.01 кг совершает гармонические колебания с периодом T = 2 с. Полная энергия колебаний тела W = 0.1 мДж. Определить амплитуду колебаний А и максимальное значение силы Fmax, действующей на тело.

Решение

m = 0,01 кг T = 2 с W = 0.1 мДж = 10–4Дж	Для определения амплитуды А колебаний воспользуемся выражением для полной энергии тела , где . Отсюда амплитуда . (1)
A – ? Fmax – ?

Тело совершает гармонические колебания под действием квазиупругой силы, которая может быть выражена соотношением , где k – коэффициент квазиупругой силы, х – смещение колеблющегося тела. Сила будет максимальной при максимальном смещении хmax, равном амплитуде:

Fmax = kA. (2)

Коэффициент k выразим через период колебаний

. (3)

Подставив выражения (1) и (3) в (2) и сделав преобразования, получим

Fmax = /T.

Подставим значения:

, .

Проверим размерность результата:

,

.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

  1.1. Кинематика материальной точки. Материальная точка. Система отсчета. Число степеней свободы. Траектория. Путь. Перемещение. Размерности физических величин. Скорость. Единицы измерения скорости. Мгновенная скорость. Средняя скорость. Прямолинейное равномерное движение. Относительность движения. Графики пути и скорости при прямолинейном равномерном движении.

  1.2. Ускорение. Ускорение при прямолинейном движении. Уравнение равнопеременного движения. Формулы пути и скорости при равнопеременном движении. Ускорение свободного падения. Движение тела, брошенного вертикально вверх, вниз. Графики равнопеременных движений.

  1.3. Криволинейное движение. Нормальное и тангенциальное составляющие ускорения при криволинейном движении. Общее ускорение при криволинейном движении. Классификация движений при анализе ускорений. Движение тела, брошенного горизонтально и под углом к горизонту.

  1.4. Вращательное движение материальной точки. Равномерное движение по окружности. Линейная и угловая скорости при вращательном движении. Радианная мера угла. Период и частота вращения. Связь угловой скорости с периодом и частотой вращения. Единицы измерения угловой скорости, периода и частоты. Центростремительное ускорение.

  1.5. Угловое ускорение. Единицы измерения угловой скорости и углового ускорения. Направление вектора углового ускорения. Основное уравнение кинематики вращательного движения. Связь линейных и угловых величин.

  1.6. Динамика. Инерциальные и неинерциальные системы отсчета. Инерция. Первый закон Ньютона – закон инерции. Масса тела. Сила. Единицы измерения. Инертная и гравитационная масса. Второй закон Ньютона. Третий закон Ньютона. Принцип независимости действия сил.

  1.7. Силы в механике. Сила упругости. Закон Гука (для пружины). Сила реакции опоры. Сила натяжения нити. Физическая природа силы упругости. Сила трения. Трение покоя. Трение качения. Трение скольжения. Закон всемирного тяготения. Гравитационная постоянная. Центростремительная сила. Движение тела под действием нескольких сил (примеры).

  1.8. Импульс тела. Замкнутая система. Главный вектор внешних сил. Центр масс. Основное уравнение динамики поступательного движения. Уравнение движения тела переменной массы. Закон сохранения импульса тела. Реактивное движение (примеры). Упругие и неупругие соударения (примеры). Центральный удар.

  1.9. Механическая работа. Элементарная и интегральная работа. Единицы измерения работы. Консервативные и диссипативные силы. Работа силы упругости. Работа силы тяжести. Работа силы трения. Мощность. Единицы измерения мощности.

  1.10. Механическая энергия. Кинетическая и потенциальная энергия. Полная механическая энергия. Связь работы и энергии. Энергия как функция состояния системы. Понятие о градиенте скалярной функции координат. Закон сохранения механической энергии. Примеры. Всеобщий закон сохранения энергии. Коэффициент полезного действия (КПД).

  1.11. Динамика вращательного движения. Абсолютно твердое тело. Движение твердого тела. Движение центра инерции твердого тела. Вращение твердого тела. Момент силы. Направление момента силы относительно оси вращения. Момент пары сил. Правило моментов (примеры).

  1.12. Статика. Элементы статики. Сложение и разложение сил. Равнодействующие и уравновешивающие силы. Точка приложение силы. Равновесие тел, имеющих ось вращения. Равновесие тел, не имеющих оси вращения. Примеры.

  1.13. Момент инерции. Момент инерции тела относительно оси вращения. Единицы измерения момента инерции. Вычисление момента инерции однородного сплошного цилиндра. Примеры значений момента инерции для тел различной формы. Теорема Штейнера.

  1.14. Работа и энергия при вращательном движении твердого тела. Кинетическая энергия тела вращения. Полная энергия тела, совершающего одновременно поступательное и вращательное движение. Основное уравнение динамики вращательного движения.

  1.15. Момент импульса. Направление момента импульса тела относительно оси вращения. Связь момента импульса с моментом инерции и угловой скоростью вращения. Основное уравнение динамики вращательного движения тела относительно оси. Закон сохранения момента импульса. Свободные оси. Гироскоп. Прецессия.

  1.16. Гидростатика и аэростатика. Сплошные среды. Несжимаемая жидкость. Давление. Единицы измерения давления. Атмосферное давление. Барометры. Закон Паскаля. Давление жидкости на дно и стенки сосуда. Закон Архимеда. Определение плотностей жидких и твердых тел гидростатическим взвешиванием (вывод формулы).

  1.17. Элементы гидродинамики. Течение. Поток. Линии тока. Трубка тока. Ламинарное и турбулентное течение. Уравнение неразрывности струи. Идеальная жидкость. Уравнение Бернулли (вывод). Статическое, динамическое и гидростатическое давление. Манометры. Водоструйный насос. Реальные жидкости.

  1.18. Механические колебания. Свободные гармонические колебания и их характеристики. Математический маятник. Уравнение свободных незатухающих колебаний математического маятника. Амплитуда, период, частота и фаза колебаний. Единица измерения частоты колебаний.

  1.19. Физический маятник. Пружинный маятник. Уравнение свободных незатухающих колебаний физического маятника и колебаний тела на пружине. График координаты при незатухающих колебаниях.

  1.20. Скорость и ускорение при гармоническом колебательном движении. Вывод уравнений. Графики ускорения при колебательном движении. Энергия гармонических колебаний.

  1.21. Сложение гармонических колебаний. Сложение колебаний вдоль одной прямой. Вывод уравнения. Биение. Сложение двух взаимно перпендикулярных колебаний. Вывод уравнения. Фигуры Лисажу.

  1.22. Затухающие механические колебания. Уравнения затухающих колебаний и его решение. Амплитуда затухающих колебаний. Логарифмический декремент затухания и коэффициент затухания. Автоколебания.

  1.23. Вынужденные механические колебания. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение. Резонанс колебаний. Резонансные явления в технике.

  1.24. Механические волны. Длина волны. Скорость распространения волны. Виды волн (продольные, поперечные, плоские, сферические). Фронт волны. Луч. Принцип Гюйгенса. Уравнение бегущей волны. Интерференция волн. Стоячие волны. Групповая скорость. Волновой пакет. Плотность потока. Вектор Умова.

  1.25. Акустика. Звук. Ультразвук. Инфразвук. Энергия звуковой волны. Плотность энергии. Поток звуковой энергии. Интенсивность звука. Громкость звука. Высота звука. Шум. Уровень громкости. Скорость звука в различных средах. Эффект Доплера.

ЗАДАЧИ

1.1. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью  м/с. Когда оно достигло верхней точки полета из того же начального пункта, с той же скоростью  м/с вертикально вверх было брошено второе тело. На каком расстоянии h от начального пункта встретятся тела? Сопротивлением воздуха пренебречь. 

1.2. Материальная точка движется прямолинейно с ускорением . Определить, на сколько путь, пройденный точкой в n–ю секунду, больше пути, пройденного в предыдущую секунду. Принять = 0. 

1.3. Две автомашины движутся по дорогам, угол между которыми 60°. Скорость автомашин  км/ч и  км/ч. С какой скоростью удаляются машины одна от другой? 

1.4. Эскалатор метро поднимает неподвижно стоящего на нем пассажира в течение 1 мин. По неподвижному эскалатору пассажир поднимается за 3 мин. Сколько времени будет подниматься идущий вверх пассажир по движущемуся эскалатору?

1.5. Легковой автомобиль движется со скоростью 20 м/с за грузовым, скорость которого 16.5 м/с. В момент начала обгона водитель легкового автомобиля увидел встречный междугородный автобус, движущийся со скоростью 25 м/с. При каком наименьшем расстоянии до автобуса можно начинать обгон, если в начале обгона легковая машина была в 15 м от грузовой, а к концу обгона она должна быть впереди грузовой на 20 м?

1.6. Катер, переправляясь через реку, движется перпендикулярно течению реки со скоростью 4 м/с в системе отсчета, связанной с водой. На сколько метров будет снесен катер течением, если ширина реки 800 м, а скорость течения 1 м/с?

1.7. Велосипедист ехал из одного пункта в другой. Первую треть пути он проехал со скоростью = 18 км/ч. Далее половину оставшегося времени он ехал со скоростью = 22 км/ч, после чего до конечного пункта он шел пешком со скоростью = 5 км/ч. Определить среднюю скорость велосипедиста. 

1.8. Во сколько раз скорость пули в середине ствола ружья меньше, чем при вылете из ствола?

1.9. Уклон горы длиной 100 м лыжник прошел за 20 с, двигаясь с ускорением 0.3 м/с2. Какова скорость лыжника в начале и в конце уклона?

1.10. Поезд, двигаясь под уклон, прошел за 20 с путь 340 м и развил скорость 19 м/с. С каким ускорением двигался поезд и какой была скорость в начале уклона?

1.11. Движения двух автомобилей по шоссе заданы уравнениями и . Описать картину движения. Найти: а) время и место встречи автомобилей; б) расстояние между ними через 5 с от начала отсчета времени; в) координату первого автомобиля в тот момент времени, когда второй находился в начале отсчета.

1.12. Материальная точка движется в плоскости ху согласно уравнениям и , где b1 = 7 м/с, с1 = –2 м/с2, в2 = –1 м/с, с2 = 0.2 м/с2. Найти модули скорости и ускорения в момент времени t = 5 с. 

1.13. Поезд, идя по горизонтальному пути со скоростью 36 км/ч, переходит на равноускоренное движение и проходит 600 м, имея в конце пути скорость 45 км/ч . Определить ускорение и время ускоренного движения. Построить график зависимости скорости от времени.

1.14. Тело брошено под углом 30° к горизонту со скоростью = 30 м/с. Каковы будут нормальное an и тангенциальное aτ ускорения тела через время t = 1 c после начала движения? 

1.15. Минутная стрелка часов в 3 раза длиннее секундной. Найти отношение скоростей концов стрелок.

1.16. Пловец, спрыгнув с пятиметровой вышки, погрузился в воду на глубину 2 м. Сколько времени и с каким ускорением он двигался в воде?

1.17. Сколько времени падало тело, если за последние 2 с оно прошло 60 м?

1.18. Тело брошено вертикально вверх со скоростью 30 м/с. На какой высоте и через сколько времени скорость тела (по модулю) будет в три раза меньше, чем в начале подъема?