Методические указания и контрольные задания по курсу «Прикладная физика» (стр. 3 )

1.19. Мальчик бросил горизонтально мяч из окна, находящегося на высоте 20 м. Сколько времени летел мяч до земли, и с какой скоростью он был брошен, если он упал на расстоянии 6 м от основания дома?

1.20. Дальность полета тела, брошенного в горизонтальном направлении со скоростью = 10 м/с, равна высоте бросания. С какой высоты h брошено тело?

1.21. Снаряд, вылетевший из орудия под углом к горизонту, находился в полете 12 с. Какой наибольшей высоты достиг снаряд?

1.22. С балкона, расположенного на высоте 20 м, бросили мяч под углом 30° вверх от горизонта со скоростью 10 м/с. Направив ось x вдоль поверхности земли вправо, а ось y вдоль стены дома вверх, написать уравнения зависимости координат от времени х = x(t) и у = y(t) и уравнение траектория у = у(х). Найти: а) координаты мяча через 2 с; б) через какой промежуток времени мяч упадет на землю; в) горизонтальную дальность полета.

1.23. По краю равномерно вращающейся с угловой скоростью платформы идет человек и обходит платформу за время t = 9.9 с. Каково наибольшее ускорение а движения человека относительно Земли? Принять радиус платформы R = 2 м. 

1.24. С тележки, свободно движущейся по горизонтальному пути со скоростью = 3 м/с в сторону, противоположную движению тележки, прыгает человек, после чего скорость тележки изменилась и стала равной u1 = 4м/с. Определить горизонтальную составляющую скорости u2x человека при прыжке относительно тележки. Масса тележки m1 = 210 кг, масса человека m2 = 70 кг. 

1.25. Орудие, жестко закрепленное на железнодорожной платформе, производит выстрел под углом 30° к линии горизонта. Определить скорость u2 отката платформы, если снаряд вылетает со скоростью u1 = 480 м/с. Масса платформы с орудием и снарядами m2 = 18 т, масса снаряда m1 = 60 кг. 

1.26. Конькобежец, стоя на коньках на льду, бросает камень массой m1 = 2.5 кг под углом 30° к горизонту со скоростью  = 10 м/с. Какова будет начальная скорость движения конькобежца, если масса его m2 = 60 кг? Перемещением конькобежца во время броска пренебречь. 

1.27. Снаряд, летевший со скоростью  = 400 м/с, в верхней точке траектории разорвался на два осколка. Меньший осколок, масса которого составляет 40% от массы снаряда, полетел в противоположном направлении со скоростью u1 = 150 м/с. Определить скорость u2 большего осколка. 

1.28. В деревянный шар массой m1 = 8 кг, подвешенный на нити длиной l = 1.8 м, попадает горизонтально летящая пуля массой m2 = 4 г. С какой скоростью летела пуля, если нить с шаром и застрявшей в нем пулей отклонилась от вертикали на угол 3°. Размером шара пренебречь. Удар пули считать прямым, центральным. 

1.29. По небольшому куску мягкого железа, лежащему на наковальне массой m1 = 300 кг, ударяет молот массой m2 = 8 кг. Определить КПД удара, если удар неупругий. Полезной считать энергию, затраченную на деформацию куска железа. 

1.30. Шар массой m1 = 1 кг движется со скоростью = 4 м/c и сталкивается с шаром массой m2 = 2 кг, движущимся навстречу ему со скоростью = 3 м/с. Каковы скорости u1 и u2 шаров после удара? Удар считать абсолютно упругим, прямым, центральным. 

1.31. Шар массой m1 = 3 кг движется со скоростью = 2 м/c и сталкивается с покоящимся шаром массой m2 = 5 кг. Какая работа будет совершена при деформации шаров? Удар считать абсолютно неупругим, прямым и центральным. 

1.32. Два шара массами m1 = 6 кг и m2 = 4 кг сталкиваются со скоростями = 8 м/c и = 3 м/с и после неупругого удара движутся как единое целое. Определить скорость шаров после удара, если до удара они двигались вдоль одной прямой в одну сторону; в противоположные стороны под углом 60°.

1.33. Стоящий на льду человек массой m1 = 60 кг ловит мяч массой m2 = 0.5 кг, который летит горизонтально со скоростью = 20 м/с. На какое расстояние откатится человек с мячом по горизонтальной поверхности льда, если коэффициент трения = 0.05?

1.34. Спортсмен массой 65 кг, прыгая с десятиметровой вышки, входит в воду со скоростью 13 м/с. Найти среднюю силу сопротивления воздуха.

1.35. Поезд массой 3000 т движется вниз под уклон, равный 0.003. Коэффициент сопротивления движению равен 0.008. С каким ускорением движется поезд, если сила тяги локомотива равна: а) 300 кН; б) 150 кН; в) 90 кН?

1.36. С каким ускорением а скользит брусок по наклонной плоскости с углом наклона 30° при коэффициенте трения = 0.2.

1.37. Автомобиль массой 2 т проходит по выпуклому мосту, имеющему радиус кривизны 40 м, со скоростью 36 км/ч. С какой силой автомобиль давит на мост в его середине?

1.38. С какой максимальной скоростью может ехать мотоциклист по горизонтальной плоскости, описывая дугу радиусом 100 м, если коэффициент трения резины о почву 0.4? На какой угол от вертикального положения он при этом отклоняется?

1.39. Брусок массой 400 г под действием груза массой 100 г (рис. 1.6) проходит из состояния покоя путь 80 см за 2 с. Найти коэффициент трения.

1.40. На шнуре, перекинутом через неподвижный блок, помещены грузы массами 0.3 кг и 0.2 кг. С каким ускорением движутся грузы? Какова сила натяжения шнура во время движения?

1.41. Движение материальной точки описывается уравнением х = 5 – 8t + 4t2. Приняв ее массу равной 2 кг, найти импульс через 2 с и через 4 с после начала отсчета времени, а также силу, вызвавшую это изменение импульса.

1.42. С судна массой 750 т произведен выстрел из пушки в сторону, противоположную его движению, под углом 60° к горизонту. На сколько изменилась скорость судна, если снаряд массой 30 кг вылетел со скоростью 1 км/с относительно судна?

1.43. Из шахты глубиной h = 600 м поднимают клеть массой m1 = 3.0 т на канате, каждый метр которого имеет массу m = 1.5 кг. Какая работа А совершается при поднятии клети на поверхность Земли? Каков коэффициент полезного действия подъемного устройства?

1.44. Пружина жесткостью k = 500 H/м сжата силой F = 100 H. Определить работу А внешней силы, дополнительно сжимающей пружину ещё на ∆l = 2 см.

1.45. Из пружинного пистолета с пружиной жесткостью k = 150 Н/м был произведен выстрел пулей массой m = 8 г. Определить скорость пули при вылете её из пистолета, если пружина была сжата на ∆х =  4 см. 

1.46. Какая работа А должна быть совершена при поднятии с земли материалов для постройки цилиндрической дымоходной трубы высотой h = 40 м, наружным диаметром d1 = 3 м и внутренним диаметром d2 = 2 м? Плотность материала принять равной 2.8·103 кг/м3.

1.47. По касательной к шкиву маховика в виде диска диаметром d = 75 см и массой m = 40 кг приложена сила F = 1 кН. Определить угловое ускорение и частоту вращения маховика через время t = 10 c после начала действия силы, если радиус r шкива равен 12 см. Силой трения пренебречь. 

1.48. На обод маховика диаметром d = 60 см намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m = 2 кг. Определить момент инерции J маховика, если он, вращаясь равноускоренно под действием силы тяжести груза, за время t = 3 c приобрел угловую скорость = 9 рад/с. 

1.49. Нить с привязанными к её концам грузами массами m1 = 50 г и m2 = 60 г перекинута через блок диаметром d =4 см. Определить момент инерции J блока, если под действием силы тяжести грузов он получил угловое ускорение  = 1.5 рад/c2. Трением и проскальзыванием нити по блоку пренебречь. 

1.50. Стержень вращается вокруг оси, проходящей через его середину, согласно уравнению , где А = 2 рад/с, В = 0.2 рад/с3. Определить вращающий момент М, действующий на стержень через время t = 2 c после начала вращения, если момент инерции стержня J = 0.048 кг·м2. 

1.51. Блок, имеющий форму диска массой m = 0.4 кг, вращается под действием силы натяжения нити, к концам которой подвешены грузы массами m1 = 0.3 кг, m2 = 0.7 кг. Определить силы натяжения Т1 и Т2 нити по обе стороны блока.

1.52. К концам лёгкой и нерастяжимой нити, перекинутой через блок, подвешены грузы массами m1 = 0.2 кг и m2 = 0.3 кг. Во сколько раз отличаются силы, действующие на нить по обе стороны от блока, если масса блока m = 0.4 кг, а его ось движется вертикально вверх с ускорением a = 2 м/с2? Силами трения и проскальзывания нити по блоку пренебречь. 

1.53. Платформа в виде диска диаметром d = 3 м и массой m1 = 180 кг может вращаться вокруг вертикальной оси. С какой угловой скоростью будет вращаться эта платформа, если по её краю пойдет человек массой m2 = 70 кг со скоростью  = 1.8 м/с относительно платформы? 

1.54. Однородный стержень длиной l = 1.0 м может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через один из его концов. В другой конец абсолютно неупруго ударяет пуля массой m1 = 7 г, летящая перпендикулярно стержню и его оси. Определить массу m2 стержня, если в результате попадания пули он отклонится на угол a = 60°. Принять скорость пули = 360 м/с. 

1.55. С поверхности Земли вертикально вверх пущена ракета со скоростью  = 5 км/с. На какую высоту она поднимется? 

1.56. Какую скорость должен иметь искусственный спутник, чтобы обращаться по круговой орбите на высоте 600 км над поверхностью Земли? Каков период его обращения?

1.57. По круговой орбите вокруг Земли обращается спутник с периодом Т = 90 мин. Определить высоту спутника. Ускорение свободного падения у поверхности Земли и её радиус R считать известными. 

1.58. Груз массой 60 кг подвешен на кронштейне АВС (рис. 1.7). Угол между горизонтальным стержнем АВ и подкосом ВС равен 60°. Определить усилие, сжимающее подкос ВС и растягивающее стержень АВ.

1.59. На кронштейне АВС (рис. 1.8), горизонтальная поперечина которого равна 48 см, а подкос 80 см, висит груз 12 кг. Определить действие веса груза на составляющие кронштейна.

1.60. Уличный фонарь массой 20 кг висит на двух стержнях, прикрепленных к стене дома на расстоянии 60 см друг от друга (рис. 1.9). Длина стержня АС равна 90 см, ВС = 120 см. Определить силу, растягивающую стержень АС и сжимающую стержень ВС.

1.61. Груз 60 кг висит на двух тросах, причем угол АСВ = 120° (рис. 1.10). Определить силы, растягивающие тросы АС и ВС.

1.62. Нить с шаром массой 50 г отклонена от положения равновесия на угол 30°. Найти силу, стремящуюся возвратить шарик в положение равновесия и силу натяжения нити.

1.63. Две параллельные силы 20 Н и 30 Н приложены к концам твердого стержня длиной 1.5 м. Определить величину равнодействующей силы и точку ее приложения.

1.64. На балке, лежащей на двух опорах А и В, необходимо подвесить груз 14000 Н. Длина балки 7 м. Где следует подвесить данный груз, чтобы на опору А он давил с силой 5000 Н?

Рис. 1.7.	Рис. 1.8.
Рис. 1.9.	Рис. 1.10.

1.65. Концы балки, длина которой 10 м и масса 10 т, лежат на двух опорах. На расстоянии 2 м от левого конца на балке лежит груз массой 5 т. Определить силы реакции опор.

1.66. К стержню длиной 120 м приложены три параллельные силы одинакового направления: у левого конца стержня 30 Н, в середине 80 Н и у правого конца 90 Н. Чему равна равнодействующая этих сил? Где лежит точка ее приложения?

1.67. В воде с глубины 5 м поднимают до поверхности камень объемом 0,6 м3. Плотность камня 2500 кг/м3. Найти работу по подъему камня.

1.68. Какую работу надо совершить, чтобы лежащий на земле однородный стержень длиной 2 м и массой 100 кг поставить вертикально?

1.69. Какую работу надо совершить, чтобы по плоскости с углом наклона 30° втащить груз массой 400 кг, прикладывая силу, совпадающую по направлению с перемещением, на высоту 2 м при коэффициенте трения 0.3? Каков при этом КПД?

1.70. Насос, двигатель которого развивает мощность 25 кВт, поднимает 100 м 3 нефти на высоту 6 м за 8 мин. Найти КПД установки.

1.71. Скорость течения воды в широкой части трубы 10 см/с. Какова скорость ее течения в узкой части, диаметр которой в 4 раза меньше диаметра широкой части?

1.72. Малый поршень гидравлического пресса за один ход опускается на 25 см, а большой поднимается на 5 мм. Определить силу давления, передаваемую на большой поршень, если на малый поршень действует сила 198 Н.

1.73. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, уравнения которых и , где А1 = 8 см, А2 = 4 см, с–1. Написать уравнение траектории и построить её. Показать направление движения точки. 

1.74. Точка совершает простые гармонические колебания, уравнения которых , где А = 5 см,  с–1. В момент времени, когда точка обладала потенциальной энергией Wp = 0.1 мДж, на неё действовала возвращающая сила F = 5 мН. Найти этот момент времени.

1.75. Определить частоту простых гармонических колебаний диска радиусом R = 20 см около горизонтальной оси, проходящей через середину радиуса диска перпендикулярно его плоскости.

1.76. Найти логарифмический декремент затухания математического маятника, если за 1 мин амплитуда колебаний уменьшилась в 2 раза. Длина маятника 1 м.

1.77. Материальная точка совершает простые гармонические колебания так, что в начальный момент времени смещение х0 = 4 см, а скорость = 10 см/с. Определить амплитуду А и начальную фазу колебаний, если их период Т = 2 с. 

1.78. Складываются два колебания одинакового направления и одинакового периода: и , где А1 = А2 = 3 см,  с–1,  с. Определить амплитуду А и начальную фазу результирующего колебаний. Написать его уравнение. Построить векторную диаграмму для момента времени t = 0. 

II. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА

Основы молекулярно-кинетической теории идеальных газов

и термодинамики

Идеальный газ – это газ, в котором пренебрегаются взаимодействия между молекулами и их линейные размеры.

Молекулярная масса вещества т0 – масса одной молекулы, измеряется в атомных единицах массы (а.е.м.). 1 а.е.м. = 1.66∙10–27 кг.

Молярная масса – масса моля вещества

М = т0 NA,

где т0 – масса одной молекулы, число Авогадро NA = 6.02∙1023 моль-1.

Единица измерения молярной массы – кг/моль.

Количество вещества – отношение числа молекул N в данном веществе к числу молекул NA в одном моле:

= , [ ] = моль.

Количество вещества можно находить также по формулам:

или ,

где m – масса вещества, V – объем, – объем моля вещества, масса m любого количества вещества:

m = m0 N = ×M.

Идеальные газы подчиняются уравнению состояния Менделеева – Клапейрона

,

где р – давление газа, V – его объем, Т – термодинамическая температура, т – масса газа, R = 8.31 Дж/(моль∙К) –газовая постоянная.

По закону Дальтона давление р смеси газов равно сумме их парциальных давлений рі, т. е. тех давлений, которые имел бы каждый из газов в отдельности, если бы он при данной температуре один заполнял весь объем

.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов имеет вид

, ,

где n – число молекул в единице объема, – средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы, – масса молекулы, – средняя квадратичная скорость молекул. Эти величины определяются следующими формулами:

, ,

где Дж/К – постоянная Больцмана.

Энергия теплового движения молекул (внутренняя энергия) газа

,

где і – число степеней свободы молекул.

Количество теплоты Q, необходимое для нагревания тела массой m

, [Q] = Дж,

где с – удельная теплоемкость [с] = Дж/(кг∙К), , – начальная и конечная температуры по шкале Цельсия.

Связь между абсолютной температурой по шкале Кельвина (Т) с температурой по шкале Цельсия (t°):

T, K = 273° + t°.

Связь между молярной СМ и удельной с теплоёмкостями следует из их определения:

СМ = М∙с.

Молярная теплоемкость при постоянном объеме

;

молярная теплоемкость при постоянном давлении

.

Молярные теплоемкости при постоянном объеме СV и при постоянном давлении Сp, определяются числом степеней свободы і молекул газа:

для одноатомного газа (і = 3)

СV = 12.5 Дж/(моль∙К), Сp = 20.8 Дж/(моль∙К);

для двухатомного газа (і = 5)

СV = 20.8 Дж/(моль∙К), Сp = 29.1 Дж/(моль∙К);

для многоатомного газа (і = 6)

СV = 24.9 Дж/(моль∙К), Сp = 33.2 Дж/(моль∙К).

Закон распределения молекул по скоростям (закон Максвелла) позволяет найти число молекул ∆N, относительные скорости которых лежат в интервале от и до и+∆и:

.

Здесь – относительная скорость, – данная скорость, – наиболее вероятная скорость молекул, – интервал относительных скоростей.

Средняя арифметическая скорость молекул

.

Барометрическая формула дает закон убывания давления газа с высотой в поле силы тяжести:

.

Здесь р – давление газа на высоте h, р0 – давление на высоте h = 0, g = 9.8 м/с2 – ускорение свободного падения.

Абсолютной влажностью р называется парциальное давление водяного пара, находящегося в воздухе. Относительной влажностью называется отношение абсолютной влажности р к парциальному давлению рн водяного пара, насыщающего пространство при данной температуре.

Поверхностное натяжение [Н/м] численно равно силе, приложенной к единице длины края поверхностной пленки жидкости:

.

При изменении площади пленки на совершается работа

.

Добавочное давление, вызванное кривизной поверхности жидкости, определяется формулой Лапласа

,

где R1 и R2 – радиусы кривизны двух взаимно перпендикулярных сечений поверхности жидкости.

Высота поднятия жидкости в капиллярной трубке

,

где – радиус трубки, – плотность жидкости, – краевой угол. При полном смачивании , при полном несмачивании .

Средняя длина свободного пробега молекул газа

,

где – средняя арифметическая скорость, – среднее число столкновений каждой молекулы с остальными в единицу времени, – эффективный диаметр молекулы, п – число молекул в единице объема (концентрация молекул).

Общее число столкновений всех молекул в единице объема за единицу времени

.

Механика жидкостей и газов

Первый закон Фика – масса вещества, перенесенная за время ∆t при диффузии

,

где – градиент плотности в направлении, перпендикулярном к площадке , – коэффициент диффузии ( – средняя арифметическая скорость, – средняя длина свободного пробега молекул).

Импульс, перенесенный газом за время , определяет силу внутреннего трения Fтр в газе:

,

где – градиент скорости течения газа в направлении, перпендикулярном к площадке , – динамическая вязкость. .

Формула Стокса (сила сопротивления движению шарика радиусом r со скоростью )

.

Уравнение Бернулли:

,

где – динамическое давление, – статическое давление. [p] = Па (паскаль) = Н/м2.

Количество теплоты, перенесенное за время вследствие теплопроводности, определяется формулой

,

где – градиент температуры в направлении, перпендикулярном к площадке , – коэффициент теплопроводности.

Первое начало термодинамики

δQ=dU+δA,

где δQ – количество теплоты, полученное телом, – изменение внутренней энергии , δA=pdV – работа, совершаемая телом при изменении его объема. Полная работа объема газа

.

Уравнение теплового баланса (без учета теплопотерь сумма теплот , отданное холодным телам, равно сумме теплот , принятой этими телами)

.

Работа, совершаемая при изотермическом изменении объема газа

.

Давление газа и его объем связаны при адиабатическом процессе уравнением Пуассона

, ,