Методические указания и контрольные задания по курсу «Прикладная физика» (стр. 7 )

Следовательно, ,

т. е. за вторую секунду выделится теплоты в семь раз больше, чем за первую.

Пример 5. Элементы цепи, схема которой изображена на рис. 3.5, имеют следующие значения:  = 1.50 В,  = 1.60 В, R1 = 1.00 кОм, R2 = 2.00 кОм. Определить показания вольтметра, если его сопротивление RV = 2.00 кОм. Сопротивлением источников напряжения и соединительных проводов пренебречь.

Решение

Здесь требуется найти разность потенциалов между точками a и b, которую измеряет вольтметр, подключенный к этим точкам. В данном случае сопротивление RV одного порядка с R1 и R2, поэтому пренебречь током I в цепи вольтметра нельзя. Таким образом, здесь имеется разветвленная цепь, по трем участкам которой текут, вообще говоря, разные токи: I1, I2, I3 (рис. 3.5). Задачу можно решить двумя способами, используя правила Кирхгофа для разветвленных цепей или применив первое правило Кирхгофа и закон Ома для участка неоднородной цепи. Рассмотрим оба способа.

1. Искомая разность потенциалов по закону Ома равна

. (1)

Чтобы определить силу тока I в цепи вольтметра, применим правила Кирхгофа. Обозначив на рис. 3.5 направления всех токов (для тока I делаем это лишь предположительно), согласно первому правилу Кирхгофа запишем для узла а:

I2 – I1 – I =

Для составления остальных двух независимых уравнений воспользуемся вторым правилом Кирхгофа. Предварительно выбрав направление обхода замкнутых контуров, например по часовой стрелке, и учитывая правило знаков, получим соответственно для контуров аR1bа и аbR2bа (вместо этого контура можно было бы взять контур аR1bR2а):

I1R1 – IRV = E1, (3)

I2R2 + IRV = ε. (4)

Решив систему трех уравнений (2), (3), (4) с тремя неизвестными I1, I2 относительно тока I, найдем

. (5)

Подставив это значение I в (1) и произведя вычисления, получим

. (6)

Знак « – »в ответе означает, что , и в действительности ток в цепи вольтметра имеет направление, противоположное тому, что мы предположили, т. е. от точки b к точке а.

2. Применим закон Ома для участка неоднородной цепи поочередно к трем участкам: aR1b, aR2b, aRVb. Тогда, учитывая правило знаков, запишем соответственно три уравнения:

; ; .

Подставим эти значения сил токов в уравнение (2):

.

Решив это уравнение относительно величины , найдем ответ, совпадающий с формулой (6).

Пример 5. Два литра воды при начальной температуре 20°C закипают за 600 с. Сила тока, потребляемая электрическим водонагревателем, 6 А. Напряжение в электрической сети 230 В. Удельная теплоемкость воды равна 4.182∙10³ Дж/(кг∙°C) при 20°C. Определить коэффициент полезного действия водонагревателя.

Решение

КПД электрического водонагревателя равен отношению полезно затраченной теплоты Q1 к израсходованной Q:

.

Затраченная на нагревание воды полезная теплота равна:

.

Вся израсходованная теплота

.

Тогда формула КПД примет вид

.

Вычислим: , .

Пример 6. По отрезку прямого провода длиной l = 80 см течет ток I = 50 А. Определить магнитную индукцию В поля, создаваемого этим током, в точку А, равноудаленной от концов отрезка провода и находящейся на расстоянии r0 = 30 см от его середины.

Решение

Для решения задач воспользуемся законом Био-Савара-Лапласа и принципом супернозиции магнитных полей. Закон Био-Савара-Лапласа позволяет определить магнитную индукцию , создаваемую элементом тока Idl. Заметим, что вектор в точке А направлен за плоскость чертежа. Принцип суперпозиции позволяет для определения воспользоваться геометрическим суммированием (интегрированием):

, (1)

где символ l означает, что интегрирование распространяется на всю длину провода.

Запишем закон Био-Савара-Лапласа в векторной форме:

,

где dB – магнитная индукция, создаваемая элементом провода длиной dl с током І в точке, определяемой радиусом-вектором r; m0 – магнитная постоянная; m – магнитная проницаемости среды, в которой находится провод (в нашем случае для воздуха m = 1). Заметим, что векторы от различных элементов тока сонаправлены (рис. 3.6), поэтому выражение (1) можно переписать и скалярной форме:

где

В скалярном выражении закона Био-Савара-Лапласа угол есть угол между элементом тока и радиусом-вектором . Таким образом,

(2)

Преобразуем подынтегральное выражение так, чтобы была одна переменная – угол . Для этого выразим длину элемента провода dl через угол : (рис. 3.6).

Рис. 3.6.	Рис. 3.7.

Тогда подынтегральное выражение запишем в виде Заметим, что переменная r, зависит от a:

.

Следовательно,

Таким образом, выражение (2) можно записать в виде:

где a1 та a2 – пределы интегрирования.

Выполним интегрирование:

(3)

Заметим, что при симметричном расположении точки А относительно отрезка провода . С учетом этого, формула (3) примет вид

(4)

Из рис. 3.6 следует:

Подставив выражение в формулу (4), получим:

(5)

Произведя вычисления по формуле (5), найдем

В = 26.7 мкТл.

Направление вектора магнитной индукции поля, создаваемого прямым током, можно определить по правилу буравчика (правилу правого винта). Для этого проводим магнитную силовую линию (пунктирная линия на рис. 3.7) и по касательной к ней в интересующей нас точке проводим вектор . Вектор магнитной индукции в точке А (рис. 3.6) направлен перпендикулярно плоскости чертежа от нас.

Пример 8. Протон, прошедший ускоряющую разность потенциалов U = 600 В, влетел в однородное магнитное поле с индукцией В = 0.3 Тл и начал двигаться по окружности. Вычислить радиус R окружности.

Решение

Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле будет происходить по окружности только в том случае, когда частица влетит в магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции ^. Так как сила Лоренца перпендикулярна вектору , то она сообщит частице (протону) нормальное ускорение .

Согласно второму закону Ньютона,

(1)

где m – масса протона.

На рис. 3.8 совмещена траектория протона с плоскостью чертежа и дано (произвольно) направление вектора . Силу Лоренца направим перпендикулярно вектору к центру окружности (векторы и сонаправлены).

Рис. 3.8.

Используя правило левой руки, определим направление магнитных силовых линий (направление вектора ).

Перепишем выражение (1) в скалярной форме (в проекции на радиус):

, (2)

В скалярной форме . В нашем случае поскольку ^, тогда . Так как нормальное ускорение , то выражение (2) перепишем следующим образом:

.

Отсюда находим радиус окружности:

.

Заметив, что есть импульс протона (р), это выражение можно записать в виде:

(3)

Импульс протона найдем, воспользовавшись связью между работой сил электрического поля и изменением кинетической энергии протона, т. е. А = DW, или

где U – ускоряющее напряжение, W1 и W2 – начальная и конечная кинетические энергии протона.

Пренебрегая начальной кинетической энергией протона (W1 » 0) и выразив кинетическую энергию W2 через импульс р, получим

Найдем из этого выражения импульс и подставим его в формулу (3):

(4)

Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу длины (м):

Подставим в формулу (4) числовые значения физических величин и произведем вычисления:

Пример 9. Соленоид с сердечником из немагнитного материала содержит N = 1200 витков провода, плотно прилегающих друг к другу. При силе тока I = 4 А магнитный поток Ф = 6 мкВб. Определить индуктивность L соленоида и энергию W магнитного поля соленоида.

Решение

Индуктивность L связана с потокосцеплением и силой тока І соотношением:

. (1)

Потокосцепление, в свою очередь, может быть определен через поток и число витков N (при условии, что витки плотно прилегают друг к другу):

. (2)

Из формул (1) та (2) находим индуктивность соленоида:

. (3)

Энергия магнитного поля соленоида

Выразив индуктивность согласно (3), получим

.

Подставим в формулы (3) и (4) числовые значения физических величин и произведем вычисления:

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 3

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

3.1. Электростатика. Электрический заряд. Единица измерения электрического заряда. Заряженные частицы. Электрон. Взаимодействие заряженных частиц. Одноименные и разноименные заряды. Закон сохранения заряда. Закон Кулона. Диэлектрическая проницаемость среды.

3.2. Электростатическое поле. Напряженность электрического поля. Единицы измерения напряженности. Принцип суперпозиции полей. Напряженность поля точечного заряда (вывод формулы). Силовые линии электрического поля. Работа электростатического поля по перемещению точечного заряда (вывод формулы). Циркуляция вектора напряженности электростатического поля. Теорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поля.

3.3. Поток вектора напряженности электрического поля. Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме. Применение теоремы Гаусса к расчету электростатического поля точечного заряда. Применение теоремы Гаусса к расчету электростатических полей (в вакууме). Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости (вывод формулы). Поле двух бесконечно заряженных параллельных разноименно заряженных плоскостей, поле равномерно заряженной сферической поверхности, поле объемно-заряженного шара (вывод формулы). Линейная плотность заряда.

3.4. Потенциал электростатического поля. Потенциал поля точечного заряда. Разность потенциалов. Принцип суперпозиций потенциалов полей. Связь между напряженностью электростатического поля и потенциалом. Градиент потенциала. Эквипотенциальные поверхности.

3.5. Вычисление потенциала электростатического поля по напряженности. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости. Поле двух бесконечно заряженных параллельных плоскостей. Поле равномерно заряженной сферической поверхности. Поле равномерно заряженного шара. Поле цилиндра.

3.6. Электроемкость. Электроемкость уединенного проводника. Единица измерения электроемкости. Конденсаторы. Электроемкость плоского конденсатора, цилиндрического конденсатора, сферического конденсатора.

3.7. Конденсаторы. Параллельное, последовательное и смешанное соединение конденсаторов. Расчет электроемкостей при таких соединениях конденсаторов. Распределение зарядов и разностей потенциалов.

3.8. Энергия электрического поля. Энергия уединенного проводника. Энергия системы зарядов. Энергия заряженного конденсатора. Энергия электрического поля. Плотность энергии.

3.9. Постоянный электрический ток. Электрический ток в металлах. Сила тока. Плотность тока. Единицы измерения силы тока и плотности тока. Амперметр. Соединение амперметра в цепи для измерения силы тока на участке цепи.

3.10. Источники электрического тока. Сторонние силы. Электродвижущая сила источника тока. Электрическое напряжение. Единицы измерения напряжения. Связь разности потенциалов с электродвижущей силой (ЭДС) и напряжением.

3.11. Закон Ома для участка цепи. Схема подключения амперметра и вольтметра к участку цепи. Электрическое сопротивление. Единица измерения электрического сопротивления. Электропроводность. Зависимость электрического сопротивления от линейных размеров. Удельное сопротивление проводника (резистора). Зависимость электрического сопротивления от температуры. Последовательное и параллельное соединение проводников (резисторов). Смешанное соединение проводников. Распределение токов и напряжений при соединении проводников.

3.12. Работа и мощность электрического тока. Работа электрического тока на резисторе. Единица измерения работы электрического тока и мощности. Связь единицы работы электрического тока с единицей измерения механической работы. Закон Джоуля-Ленца. Превращение электрической энергии в другие виды энергии (в тепловую, механическую). Коэффициент полезного действия при этих превращениях. Примеры.

3.13. Закон Ома для неоднородного участка цепи. Закон Ома для неоднородного участка цепи в интегральной форме. Рассмотреть частный случай – закон Ома для замкнутой цепи. Закон Ома для неоднородного участка цепи в дифференциальной форме.

3.14. Правила Кирхгофа для разветвленных электрических цепей. Первое и второе правила Кирхгофа. Разобрать пример – измерительный мост Уитстона.

3.15. Электрический ток в различных средах. Электрический ток в газах. Носители электрических зарядов. Ионизация газов. Самостоятельный и несамостоятельный разряды. Дуговой, искровой разряды. Плазма.

3.16. Электрический ток в жидкостях. Электролиты. Носители электрических зарядов в жидкостях. Законы Фарадея. Электрохимический и химический эквиваленты вещества. Электролитическая диссоциация. Электролиз.

3.17. Магнитное поле токов. Направление магнитного поля прямого и кругового тока. Правило правого винта (правило буравчика). Силовые линии магнитного поля. Магнитная индукция. Напряженность магнитного поля. Единицы измерения магнитной индукции и напряженности магнитного поля.

3.18. Закон Био-Савара-Лапласа. Принцип суперпозиции магнитных полей. Магнитная проницаемость среды. Закон Био-Савара-Лапласа для расчета магнитного поля прямого проводника с током и для магнитного поля в центре кругового проводника с током. Магнитное поле соленоида и тороида.

3.19. Закон Ампера. Сила, действующая на проводник с током. Взаимодействие параллельных токов. Сила, действующая на заряд, движущийся в магнитном поле (сила Лоренца). Магнитное поле движущегося заряда. Ускорители элементарных частиц. Циклотрон, фазотрон, синхрофазотрон.

3.20. Циркуляция вектора магнитной индукции. Поток магнитной индукции. Единицы измерения магнитного потока. Теорема Гаусса для вектора магнитной индукции. Плотность магнитного потока. Расчет потока вектора магнитной индукции через соленоид. Работа по перемещению проводника в магнитном поле. Работа по перемещению контура (рамки) в магнитном поле.

3.21. Явление электромагнитной индукции. Опыты Фарадея. Правило Ленца. Индуктивность соленоида. Токи при размыкании и замыкании цепи. Время релаксации. Взаимная индукция. Трансформаторы. Первичная и вторичная обмотка трансформатора. Понижающий и повышающий трансформатор. Коэффициент трансформации. Энергия магнитного поля. Вихревые токи Фуко.

3.22. Электромагнитные колебания. Колебательный контур. Электромагнитные колебания в колебательном контуре. Уравнение свободных электромагнитных колебаний в колебательном контуре и его решение. График свободных электромагнитных колебаний. Формула Томсона.

3.23. Затухающие и вынужденные электромагнитные колебания. Затухающие электромагнитные колебания. Уравнение затухающих электромагнитных колебаний и его решение. График затухающих колебаний. Вынужденные электромагнитные колебания. Уравнение вынужденных электромагнитных колебаний и его решение.

3.24. Переменный электрический ток. Переменный ток. Генераторы переменного тока. Активное и реактивное сопротивление. Закон Ома для цепи, содержащего активное и реактивное сопротивления. Векторная диаграмма. Закон Ома для цепи переменного тока, содержащей параллельное соединение активных и реактивных сопротивлений. Резонанс токов и напряжений. Мощность в цепи переменного тока.

3.25. Электромагнитные волны. Открытый колебательный контур. Вибратор Герца. Дифференциальное уравнение электромагнитной волны. Фазовая скорость электромагнитной волны. График колебаний векторов напряженностей электрического и магнитного полей при распространении электромагнитной волны. Свойства электромагнитных волн. Энергия электромагнитной волны. Объемная плотность энергии. Вектор Умова-Пойнтинга. Интенсивность электромагнитных волн.

ЗАДАЧИ

3.1. Точечные заряды q1 = 20 мкКл, q2 = –10 мкКл находятся на расстоянии d = 5 см друг от друга. Определить напряженность поля в точке, удаленной на r1 = 3 см от первого и на r2 = 4 см от второго заряда. Определить также силу F, действующую в этой точке на точечный заряд q = 1 мкКл. 

3.2. Три одинаковых точечных заряда q1 = q2 = q3 = 2 нКл находятся в вершинах равностороннего треугольника со сторонами а = 10 см. Определить модуль и направление силы F, действующей на один из зарядов со стороны двух других. 

3.3. Два одинаково заряженных шарика подвешены в одной точке на нитях одинаковой длины. При этом нити разошлись на угол . Шарики погружают в масло. Какова плотность масла, если угол расхождения нитей при погружении в масло остается неизменным? Плотность материала шариков = 1.5∙103 кг/м3, диэлектрическая проницаемость масла = 2.2.

3.4. Четыре одинаковых заряда q1 = q2 = q3 = q4 = 40 нКл закреплены в вершинах квадрата со стороной а = 10 см. Найти силу F, действующую на один из зарядов со стороны трех остальных. 

3.5. Точечные заряды q1 = 30 мкКл, q2 = –20 мкКл находятся на расстоянии d = 20 см друг от друга. Определить напряженность поля Е в точке, удаленной на r1 = 30 см от первого и на r2 = 15 см от второго заряда.

3.6. В вершинах квадрата находятся одинаковые заряды q1 = q2 = q3 = q4 = 8∙10–10 Кл. Какой отрицательный заряд q нужно поместить в центре квадрата, чтобы сила взаимного отталкивания положительных зарядов была уравновешена силой притяжения отрицательного заряда? 

3.7. По тонкому полукольцу радиуса R = 10 см равномерно распределен заряд с линейной плотностью  = 1 мкКл/м. Определить напряженность Е электрического поля, создаваемого распределенным зарядом в точке О, совпадающей с центром кольца. 

3.8. Тонкое кольцо несет распределенный заряд q = 0.2 мкКл. Определить напряженность Е электрического поля, создаваемого распределенным зарядом в точке А, равноудаленной от всех точек кольца на расстояние r = 20 см. Радиус кольца R = 10 см.

3.9. На двух концентрических сферах радиусом R и 2R равномерно распределены заряды с поверхностными плотностями и . Требуется: 1) используя теорему Остроградского-Гаусса, найти зависимость Е(r) напряженности электрического поля от расстояния для трёх областей: I, II и III. Принять , ; 2) вычислить напряженность Е в точке, удаленной от центра на расстояние r, и указать направление вектора Е. Принять = 0.1 мкКл/м2, r = 3R; 3) Построить график Е(r). 

3.10. На двух бесконечных параллельных плоскостях равномерно распределены заряды с поверхностными плотностями и . Требуется: 1) используя теорему Остроградского-Гаусса и принцип суперпозиции электрических полей, найти выражение Е(х) напряженности электрического поля в трёх областях: I, II, III. Принять , ; 2) вычислить напряженность Е поля в точке, расположенной слева от плоскостей, и указать направление вектора Е, принять = 40 нКл/м2; 3) построить график Е(x). 

3.11. Два точечных заряда q1 = 6 нКл и q2 = 3 нКл находятся на расстоянии d = 60 см друг от друга. Какую работу необходимо совершить внешним силам, чтобы уменьшить расстояние между зарядами вдвое? 

3.12. Электрическое поле создано заряженным шаром, потенциал которого 300 В. Определить работу сил поля по перемещению заряда q = 0.2 мкКл из точки 1 в точку 2. 

3.13. Две параллельные заряженные плоскости, поверхностные плотности заряда которых = 2 мкКл/м2 и  = –0.8 мкКл/м2, находятся на расстоянии d = 0.6 см друг от друга. Определить разность потенциалов U между плоскостями. 

3.14. Диполь с электрическим моментом р = 100 пКл∙м свободно установился в свободном электрическом поле напряженностью Е = 200 кВ/м. Определить работу внешних сил, которую необходимо совершить для поворота диполя на угол  = 180°.

3.15. Четыре одинаковых капли ртути, заряженных до потенциала  = 10 В, сливаются а одну каплю. Каков потенциал образовавшей капли? 

3.16. Тонкий стержень согнут в кольцо радиусом R = 10 см. Он равномерно заряжен с линейной плотностью заряда = 800 нКл/м. Определить потенциал в точке, расположенной на оси кольца на расстоянии h = 10 см от его центра

3.17. Электрическое поле образовано бесконечно длинной заряженной нитью, линейная плотность заряда которой  = 20 пКл/м. Определить разность потенциалов U двух точек поля, отстоящих от нити на расстоянии r1 = 8 см и r2 = 12 см. 

3.18. Тонкая квадратная пластинка равномерно заряжена с линейной плотностью заряда  = 200 пКл/м. Определить потенциал поля в точке пересечения диагоналей. 

3.19. Электрон, обладавший кинетической энергией W = 10 эВ, влетел в однородное электрическое поле в направлении силовых линий поля. Какой скоростью будет обладать электрон, пройдя в этом поле разность потенциалов U = 8 B. 

3.20. Электрон, пройдя в плоском конденсаторе путь от одной пластины до другой, приобрел скорость  = 105 м/с. Расстояние между пластинами d = 8 мм. Найти: 1) разность потенциалов U между пластинами; 2) поверхностную плотность заряда на пластинах. 

3.21. Конденсаторы емкостью С1 = 5 мкФ и С2 = 10 мкФ заряжены до напряжений U1 = 60 B и U2 = 100 B соответственно. Определить напряжение на обкладках конденсаторов после их соединения обкладками, имеющими одноименные заряды. 

3.22. Конденсатор емкостью С1 = 10 мкФ заряжен до напряжения U = 10 B. Определить заряд на обкладках этого конденсатора после того, как параллельно ему был подключен другой, незаряженный, конденсатор емкостью С2 = 20 мкФ.

3.23. Конденсаторы емкостями C1 = 2 мкФ, С2 = 5 мкФ и С3 = 10 мкФ соединены последовательно и находятся под напряжением U = 850 В. Определить напряжение и заряд на каждом из конденсаторов. 

3.24. Два конденсатора емкостями C1 = 2 мкФ, С2 = 5 мкФ заряжены до напряжений U1 = 100 B и U2 = 150 В соответственно. Определить напряжение на обкладках конденсаторов после их соединения обкладками, имеющими разноименные заряды. 

3.25. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено двумя слоями диэлектрика: стекла толщиной d1 = 0.2 см и слоем парафина толщиной d2 = 0.3 см. Разность потенциалов между обкладками U = 300 B. Определить напряженность Е поля и падение потенциала в каждом из слоев. 

3.26. Плоский конденсатор с площадью пластин S = 200 см2 каждая заряжен до разности потенциалов U = 2 кВ. Расстояние между пластинами d = 2 см. Диэлектрик – стекло. Определить энергию W поля конденсатора и плотность энергии поля.