Методические указания и контрольные задания по курсу «Прикладная физика» (стр. 9 )

Примеры решения задач

Пример 1. От двух когерентных источников S1 и S2 (λ = 0.8 мкм) лучи попадают на экран. На экране наблюдается интерференционная картина. Когда на пути одного из лучей перпендикулярно ему поместили мыльную пленку (n = 1.33), интерференционная картина изменилась на противоположную. При какой наименьшей толщине dmin пленки это возможно?

Решение

Изменение интерференционной картины на противоположную означает, что на тех участках экрана, где наблюдались интерференционные максимумы, стали наблюдаться интерференционные минимумы. Такой сдвиг интерференционной картины возможен при изменений оптической разности хода пучков световых воли на нечетное число половин длин волн, т. е.

, (1)

где – оптическая разность хода пучков световых волн до внесения пленки; – оптическая разность хода тех же пучков после внесения пленки; k = 0, ±1, ±2, ...

Наименьшей толщине dmin пленки соответствует k = 0. При этом формула (1)

примет вид

. (2)

Выразим оптические разности хода и . Из рис. 4.1 следует:

,

.

Подставим выражения и в формулу (2):

или .

Отсюда, .

Произведем вычисления: .

Пример 2. На дифракционную решетку в направлении нормали к ее поверхности падает монохроматический свет. Период решетки d = 2 мкм. Определить наибольший порядок дифракционного максимума, который дает эта решетка в случае красного (λ1 = 0.7 мкм) и в случае фиолетового (λ1 = 0.41 мкм) света.

Решение

Из формулы, определяющей положение главных максимумов дифракционной решетки, найдем порядок m дифракционного максимума:

, (1)

где d – период решетки; – угол дифракции; – длина волны монохроматического света. Так как не может быть больше 1, то число m не может быть больше , т. е.

. (2)

Подставив в формулу (2) значения величин, получим:

(для красных лучей);

(для фиолетовых лучей).

Если учесть, что порядок максимумов является целым числом, то для красного света тmax = 2 и для фиолетового тmax = 4.

Пример 3. Пучок естественного света падает на полированную поверхность стеклянной пластины, погруженной в жидкость. Отраженный от пластины пучок света образует угол 97° с падающим пучком (рис. 4.2). Определить показатель преломления n1 жидкости, если отраженный свет максимально поляризован.

Решение

Согласно закону Брюстера, пучок света, отраженный от диэлектрика, максимально поляризован в том случае, если тангенс угла падения численно равен относительному показателю преломления

,

где – показатель преломления второй среды (стекла) относительно первой (жидкости).

Относительный показатель преломления равен отношению абсолютных показателей преломления. Следовательно, .

Так как угол падения равен углу отражения, то и, следовательно,

, откуда .

Произведем вычисления: .

Пример 4. Плоскополяризованный монохроматический пучок света падает на поляроид и полностью им гасится. Когда на пути пучка поместили кварцевую пластину, интенсивность I пучка света после поляроида стала равна половине интенсивности пучка, падающего на поляроид. Определить минимальную толщину кварцевой пластины. Поглощением и отражением света поляроидом пренебречь, постоянную вращения a кварца принять равной 48.9 град/мм.

Решение

Полное гашение света поляроидом означает, что плоскость пропускания поляроида (штриховая линия на рис. 4.3) перпендикулярна плоскости колебаний (I – I) плоскополяризованного света, падающего на него. Введение кварцевой пластины приводит к повороту плоскости колебаний света на угол

, (1)

где l – толщина пластины.

Зная, во сколько раз уменьшится интенсивность света при прохождении его через поляроид, определим угол , который установится между плоскостью пропускания поляроида и новым направлением (II – II) плоскости колебаний падающего на поляроид плоскополяризованного света. Для этого воспользуемся законом Малюса

.

Заметив, что , можно написать

. (2)

Из равенства (2) с учетом (1) получим

.

Откуда искомая толщина пластины

.

Произведем вычисления во внесистемных единицах:

.

Пример 5. Определить импульс р и кинетическую энергию Wk электрона, движущегося со скоростью = 0.9 с, где с – скорость света в вакууме.

Решение

Импульсом частицы называется произведение массы частицы на ее скорость:

. (1)

Так как скорость электрона близка к скорости света, то необходимо учесть зависимость массы от скорости, определяемую по формуле

, (2)

где т – масса движущейся частицы; т0 – масса покоящейся частицы; – скорость частицы, выраженная в долях скорости света.

Заменив в формуле (1) массу т ее выражением (2) и приняв во внимание, что , получим выражение для релятивистского импульса:

. (3)

Произведем вычисления:

.

В релятивистской механике кинетическая энергия Wk частицы определяется как разность между полной энергией W и энергией покоя W0 этой частицы, т. е.

Wk = W – W0.

Так как W = тс2 и W0 = т0с2, то, учитывая зависимость массы от скорости, получаем

или .

Произведем вычисления:

.

Так как во внесистемных единицах т0с2 = 0.51 МэВ, то вычисления упрощаются:

Wk = 0.51∙1.29 МэВ = 0.66 МэВ.

Пример 6. Длина волны, на которую приходится максимум энергии в спектре излучения черного тела, = 0.58 мкм. Определить энергетическую светимость (излучательность) Rе поверхности тела.

Решение

Энергетическая светимость Rе абсолютно черного тела в соответствии с законом Стефана-Больцмана пропорциональна четвертой степени

термодинамической температуры и выражается формулой

, (1)

где – постоянная Стефана-Больцмана; Т – термодинамическая температура.

Температуру Т можно вычислить с помощью закона смещения Вина:

, (2)

где b – постоянная Вина.

Используя формулы (2) и (1), получаем

. (3)

Произведем вычисления:

.

Пример 7. Определить максимальную скорость фотоэлектронов, вырываемых с поверхности серебра: 1) ультрафиолетовым излучением с длиной волны = 0.155 мкм.

Решение

Максимальную скорость фотоэлектронов можно определить из уравнения Эйнштейна для фотоэффекта:

, (1)

где – энергия фотонов, падающих на поверхность металла; А – работа выхода; Wmax – максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов.

Энергия фотона вычисляется также по формуле

, (2)

где h – постоянная Планка; с – скорость света в вакууме; – длина волны.

Кинетическая энергия электрона может быть выражена или по классической формуле

, (3)

или по релятивистской формуле

(4)

в зависимости от того, какая скорость сообщается фотоэлектрону. Скорость фотоэлектрона зависит от энергии фотона, вызывающего фотоэффект: если энергия фотона много меньше энергии покоя W0 электрона, то может быть применена формула (3), если же сравнима по величине с W0, то вычисление по формуле (3) приводит к ошибке, поэтому нужно пользоваться формулой (4).

Вычислим энергию фотона ультрафиолетового излучения по формуле (2):

,

или .

Полученная энергия фотона (8 эВ) много меньше энергии покоя электрона (0.51 МэВ). Следовательно, для данною случая кинетическая энергия фото-электрона в формуле (1) может быть выражена по классической формуле (3):

,

откуда .

Проверим, дает ли полученная формула единицу скорости. Для этого в правую часть формулы (5) вместо символов величин подставим обозначения единиц:

.

Найденная единица является единицей скорости.

Подставив значения величин в формулу (5), найдем

.

Пример 8. В результате эффекта Комптона фотон при соударении с электроном был рассеян на угол  = 90°. Энергия рассеянного фотона = 0.4 МэВ. Определить энергию фотона до рассеяния.

Решение

Для определения энергии первичного фотона воспользуемся формулой Комптона:

, (1)

где – изменение длины волны фотона в результате рассеяния на свободном электроне; h – постоянная Планка; т0 – масса покоя электрона; с – скорость света в вакууме; – угол рассеяния фотона.

Преобразуем формулу (1):

1) заменим в ней на ;

2) выразим длины волн λ1 и λ2 через энергии и соответствующих фотонов, воспользовавшись формулой ;

3) умножим числитель и знаменатель правой части формулы на с.

Тогда .

Сократим на hc и выразим из этой формулы искомую энергию:

, (2)

где W0 = т0с2 – энергия покоя электрона.

Вычисления по формуле (2) удобнее вести во внесистемных единицах. Так как для электрона W0 = 0.511 МэВ, то

.

Пример 9. Пучок монохроматического света с длиной волны λ = 663 нм падает нормально на зеркальную плоскую поверхность. Поток излучения Фе = 0.6 Вт. Определить: 1) силу давления F, испытываемую этой поверхностью; 2) число фотонов ежесекундно падающих на поверхность.

Решение

1.  Сила светового давления на поверхность равна произведению светового давления р на площадь S поверхности:

F = pS. (1)

Световое давление может быть найдено по формуле

, (2)

где Ее – энергетическая освещенность; c – скорость света в вакууме; – коэффициент отражения.

Подставляя правую часть выражения (2) в формулу (1), получаем

. (3)

Так как EeS представляет собой поток излучения Фе, то

. (4)

Произведем вычисления, учитывая, что для зеркальной поверхности r = 1:

.

2. Произведение энергии одного фотона на число фотонов п1 ежесекундно падающих на поверхность, равно мощности излучения, т. е. потоку излучения: , а так как энергия фотона , то

,

откуда

. (5)

Произведем вычисления:

.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 4

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

4.1. Видимый свет. Свойства света. Геометрическая оптика. Законы отражения и преломления света. Показатель преломления среды. Полное внутреннее отражение света. Ход лучей в плоскопараллельной прозрачной пластине. Построение изображения в плоском зеркале.

4.2. Тонкие линзы. Собирающие и рассеивающие линзы. Ход лучей в собирающей линзе. Формула линзы. Увеличение. Очки. Лупа. Строение оптического микроскопа. Глаз.

4.3. Фотометрия. Световой поток. Сила света точечного источника. Освещенность поверхности. Законы освещенности. Яркость света. Светимость. Единицы измерения фотометрических величин.

4.4. Волновая оптика. Двойственная природа света (корпускулярно-волновой дуализм). Квант световой энергии. Постоянная Планка. Скорость света. Свет – электромагнитная волна. Когерентность и монохроматичность световых волн. Скорость света в различных средах. Абсолютный показатель преломления. Показатель преломления света на основе волновой природы. Оптическая длина пути световой волны.

4.5. Интерференция света. Интенсивность света. Сложение интенсивностей света при наложении двух монохроматических волн. Интерференционная картина от двух щелей. Оптическая разность хода лучей. Условия максимумов и минимумов на интерференционной картине. Ширина интерференционной полосы.

4.6. Интерференция света в тонких пленках. Интерференционная картина. Полосы равного наклона и равной толщины. Кольца Ньютона. Условия максимумов и минимумов интерференции. Применение явления интерференции света. Интерферометр Майкельсона.

4.7. Дифракция света. Основные положения принципа Гюйгенса-Френеля. Дифракция света по Френелю на круглом отверстии. Условия образования интерференционных максимумов при дифракции света.

4.8. Дифракция света по Фраунгоферу. Дифракция света по одной щели. Дифракционный спектр. Дифракция Фраунгофера на дифракционной решетке. Условия образования дифракционных максимумов (главных и дополнительных). Период дифракционной решетки.

4.9. Рентгеновские лучи. Источник рентгеновских лучей – рентгеновская трубка. Белое и характеристическое излучения. Прохождение рентгеновских лучей через вещество. Закон ослабления рентгеновских лучей при прохождении через вещество. Дифракция рентгеновских лучей. Формула Вульфа-Брэгга. Рентгеновский дифрактомер.

4.10. Взаимодействие света с веществом. Рассеивание света. Поглощение света. Закон Бугера. Спектры поглощения. Коэффициент отражения и прозрачности.

4.11. Дисперсия света. Дисперсия света при прохождении через призму. Разложение белого света на монохроматические лучи. Электронная теория дисперсии.

4.12. Поляризация света. Естественный и поляризованный свет. Плоскость поляризации. Закон Малюса. Закон Брюстера. Двойное лучепреломление. Вращение плоскости поляризации. Оптически активные вещества. Поляриметры. Сахариметры.

4.13. Тепловое излучение и его характеристики. Излучательность (или энергетическая светимость) тела. Мощность излучения. Закон Кирхгофа. Абсолютно черное тело.

4.14. Закон Стефана-Больцмана для излучательной способности тела. закон Стефана-Больцмана. Законы смещения Вина. Спектр энергетической светимости абсолютно черного тела при различных температурах.

4.15. Формула Планка. Формула Рэлея-Джинса. Формула Планка. Следствие из формулы Планка. Оптическая пирометрия. Пирометр.

4.16. Фотоэффект. Виды фотоэффекта. Законы фотоэффекта. Вольт-амперная характеристика. Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта. Фотон. Масса и импульс фотона.

4.17. Эффект Комптона. Эффект Комптона. Давление света.

4.18. Корпускулярно-волновой дуализм свойств вещества. Формула де-Бройля. Свойства волн де-Бройля. Волновое число. Элементы квантовой механики.

4.19. Соотношение неопределенностей Гейзенберга. Соотношения через неопределенности координат и импульса частиц. Соотношения через неопределенности координат и скоростей. Соотношения через неопределенности энергии частицы и времени наблюдения.

4.20. Волновая функция. Ее статистический смысл. Вероятность нахождения частицы в элементе объема. Условия нормировки. Принцип причинности в квантовой механике.

4.21. Общее уравнение Шредингера – основное уравнение квантовой механики. Уравнение Шредингера для стационарных состояний силовых полей, в которых движется элементарная частица. Движение свободной частицы согласно уравнению Шредингера.

4.22. Решение уравнение Шредингера для частицы, находящейся в одномерной прямоугольной потенциальной яме. Условия квантования энергии частицы в потенциальной яме. Квантование энергии.

4.23. Решение уравнение Шредингера для случая прохождения частицы сквозь потенциальный барьер. Туннельный эффект. Линейный гармонический осциллятор в квантовой механике.

4.24. Элементы квантовой статистики (I). Квантовая статистика. Квантовая статистика Бозе-Эйнштейна. Бозоны. Числа заполнения. Функция распределения для газа фотонов. Фононная теория теплоемкости кристаллов.

4.25. Элементы квантовой статистики (I). Распределение Ферми-Дирака. Фермионы. Вырожденный электронный газ в металлах. Энергия Ферми. Уровень Ферми для электронного газа в металлах.

ЗАДАЧИ

4.1. На какой угол повернется луч, отраженный от плоского зеркала, при повороте последнего на угол ?

4.2. В выпуклом сферическом зеркале получается уменьшенное в десять раз изображение предмета, находящееся на расстоянии 180 см от зеркала. Определить радиус кривизны этого зеркала.

4.3. Предмет и его изображение стоят от главного фокуса вогнутого сферического зеркала на расстояниях 8 и 72 см. Определить радиус зеркала и линейное увеличение предмета.

4.4. Показатель преломления воды 1.3, стекла – 1.5. Найти показатель преломления стекла относительно воды.

4.5. Луч света переходит из воздуха в стекло с показателем преломления 1.7. Определить угол падения луча, если угол преломления равен 28°.

4.6. Луч света переходит из воздуха в стекло (n = 1.5). Угол между отраженным и преломленным лучом равен 90°. Каковы угол падения и угол преломления?

4.7. Луч переходит из воды в стекло. Угол падения равен 35°. Найти угол преломления.

4.8. В дно водоема глубиной 2 м вбита свая, на 0.5 м выступающая из воды. Найти длину тени от сваи на дне водоема при угле падения лучей 70°.

4.9. Луч падает под углом 60° на стеклянную пластину толщиной 2 см с параллельными гранями. Определить смещение луча, вышедшего из пластины.

4.10. Луч падает под углом 50° на прямую треугольную стеклянную призму с преломляющим углом 60°. Найти угол преломления луча при выходе из призме.

4.11. Радиусы кривизны двояковыпуклой линзы r1 = 20 см и r2 = –30 см, показатель преломления 1.5. Вычислить главное фокусное расстояние линзы.

4.12. На каком расстоянии от собирающей линзы с фокусным расстоянием 12 см следует поставить предмет, чтобы его действительное изображение было втрое больше самого предмета?

4.13. Расстояние от освещенного предмета до экрана L = 100 см. Линза, помещенная между ними, дает четкое изображение предмета на экране при двух положениях, расстояние между которыми l = 20 см. Найти фокусное расстояние линзы.

4.14. Источник света находится на расстоянии d = 35 см от собирательной линзы с фокусным расстоянием F1 = 20 см. По другую сторону линзы на расстоянии l = 38 см расположена рассеивающая линза с фокусным расстоянием F2 = 12 см. Где будет находится изображение источника?

4.15. Какие частоты колебаний соответствуют крайним красным ( = 0.76 мкм) и крайним фиолетовым ( = 0.4 мкм) лучами видимой части спектра?

4.16. Для данного света длина волны в воде 0.46 мкм. Какова длина волны в воздухе?

4.17. Между стеклянной пластиной и лежащей не ней плосковыпуклой линзой находится жидкость. Найти показатель преломления жидкости, если радиус r3 третьего темного кольца Ньютона при наблюдении в отраженном свете с длиной волны  = 0.6 мкм равен 0.82 мм. Радиус кривизны линзы R = 0.5 м. 

4.18. Какой световой поток испускает точечный источник света силой 25 кд внутрь телесного угла в 0.64 ср?

4.19. На круглое матовое стекло диаметром 0.45 м падает световой поток 120 лм. Какова освещенность этого стекла?

4.20. Слева от фотометра на расстоянии 30 м от него находится лампочка в 10 кд. Определить силу света второй лампочки, расположенной справа от фотометра на расстоянии 60 см, если обе половины фотометра освещены одинаково.

4.21. Лампа в 400 кд находится на расстоянии 1 м от экрана. На каком расстоянии следует поставить позади лампы плоское зеркало, параллельное экрану, чтобы освещенность в центре экрана увеличилась на 100 лк?

4.22. Для освещения улицы на высоте 3 м от поверхности земли на столбе висит фонарь силой света 500 кд. Найти освещенность поверхности земли на расстоянии 4 м от основания столба.

4.23. На высоте 5 м над проездом висят две лампы по 200 кд каждая. Расстояние между лампами 12 м. Определить освещенность на земле под каждой лампой и в точке, равноотстоящей от обеих ламп.

4.24. Микроскоп состоит из объектива с фокусным расстоянием 2 мм и окуляра с фокусным расстоянием 40 мм. Расстояние между фокусами объектива и окуляра равно 18 см. Найти увеличение, даваемое микроскопом.

4.25. Расстояние L от щелей до экрана в опыте Юнга равно 1 м. Определить расстояние между щелями, если на отрезке длиной l = 1 см укладывается N = 10 темных интерференционных полос. Длина волны  = 0.7 мкм. 

4.26. На стеклянную пластину положена выпуклой стороной плосковыпуклая линза. Сверху линза освещена монохроматическим светом длиной волны  = 500 нм. Найти радиус R линзы, если радиус четвертого, тёмного кольца Ньютона в отраженном свете r4 = 2 мм.

4.27. На стеклянную пластину нанесен тонкий слой прозрачного вещества с показателем преломления n = 1.3. Пластина освещена параллельным пучком монохроматического света с длиной волны  = 640 нм, падающий на пластину нормально. Какую минимальную толщину dmin должен иметь слой, чтобы отраженный пучок имел наименьшую яркость? 

4.28. На мыльную пленку падает белый свет под углом 45° к поверхности планки. При какой наименьшей толщине пленки отраженные лучи будут окрашены в желтый цвет ( = 600 нм)? Показатель преломления мыльной воды n = 1.33. 

4.29. Между двумя плоскопараллельными пластинами на расстоянии L = 10 см от границы их соприкосновения находится проволока диаметром d = 0.01 мм, образуя воздушный клин. Пластины освещаются нормально падающим монохроматическим светом ( = 0.6 мкм). Определить ширину b интерференционных полос, наблюдаемых в отраженном свете.

4.30. Какое наименьшее число Nmin штрихов должна содержать дифракционная решетка, чтобы в спектре второго порядка можно было видеть раздельно две желтые линии натрия с длинами волн  = 589.0 нм и = 589.6 нм? Какова длина l такой решетки, если постоянная решетки d = 5 мкм? 

4.31. На дифракционную решетку падает нормально параллельный пучок белого света. Спектры третьего и четверного порядка частично накладываются друг на друга. На какую длину волны в спектре четвертого порядка накладывается граница ( = 780 нм) спектра третьего порядка? 

4.32. На грань кристалла каменной соли падает параллельный пучок рентгеновского излучения. Расстояние d между атомными плоскостями равно 280 пм. Под углом  = 65° к атомной плоскости наблюдается дифракционный максимум первого порядка. Определить длину волны рентгеновского излучения.

4.33. На непрозрачную пластину с узкой щелью падает нормально плоская монохроматическая световая волна ( = 600 нм). Угол отклонения лучей, соответствующих второму дифракционному максимуму,  = 20°. Определить ширину а щели.

4.34. Определить угол отклонения лучей зеленого света ( = 0.55 мкм) в спектре первого порядка, полученном с помощью дифракционной решетки, период которой равен 0.02 мм.

4.35. На дифракционную решетку падает нормально монохроматический свет ( = 410 нм). Угол между направлениями на максимумы первого и второго порядков равен 2°21¢. Определить число n штрихов на 1 мм дифракционной решетки.

4.36. Определить угловую дисперсию дифракционной решетки для  = 5890 Å в спектре первого порядка. Постоянная решетки равна 2.5∙10–4 см.

4.37. Угловая дисперсия дифракционной решетки для  = 668 нм в спектре первого порядка равна 2.02∙105 рад/м. Найти период дифракционной решетки.

4.38. Пластинку кварца толщиной d = 2 мм поместили между параллельными николями, в результате чего плоскость поляризации монохроматического света повернулась на угол  = 53°. Какой наименьшей толщины dmin следует взять пластинку, чтобы поле зрения поляриметра стало совершенно темным?

4.39. При прохождении света через трубку длиной l1 = 20 см, содержащую раствор сахара концентрацией С1 = 10%, плоскость поляризации света повернулась на угол = 13.3°. В другом растворе сахара, налитом в трубку длиной l2 = 15 см, плоскость поляризации повернулась на угол  = 5.2°. Определить концентрацию С2 второго раствора.

4.40. Угол между плоскостями пропускания поляроидов равен 50°. Естественный свет, проходя через такую систему, ослабляется в n = 8 раз. Пренебрегая потерей света при отражении, определить коэффициент поглощения k света в поляроидах.