Математика с дополнительной специальностью Информатика (стр. 10 )

Применение комбинаторики к вычислению вероятности. Решение нестандартных задач. Различные аксиоматики евклидовой геометрии и их сравнение. Замечательные точки и линии в треугольнике. Точка Торричелли. Окружность девяти точек. Прямые Эйлера и Симпсона. Окружность Аполлония. Выпуклые, невыпуклые и звездчатые многоугольники. Теорема Жордана. Задача о 3-х домиках и 3-х колодцах. Эшера. Экстремальные задачи. Задача Герона, задача Штейнера, изопериметрическая задача и др. Многогранники: различные подходы к определению. Теорема Коши. Виды тетраэдра: ортоцентрический, равногранный, прямоугольный. Прямая Эйлера для ортоцентрического тетраэдра. Первая и вторая сферы Эйлера. Пространственный аналог теоремы Пифагора.

Общая трудоемкость дисциплины: 276 часов.

Составитель: , кандидат педагогических наук, доцент.

4 Дополнительные главы теории дифференциальных уравнений

Целью преподавания учебной дисциплины «Дополнительные главы теории дифференциальных уравнений» является усвоение студентами особенностей применения математических методов для моделирования физических и иных процессов, возможностей использования информационных технологий при работе с математическими моделями..

В результате освоения дисциплины «Дополнительные главы теории дифференциальных уравнений» обучающийся должен:

·  знать основные понятия, относящиеся к методологии математического моделирования ;

·  уметь применять математические методы при решении профессиональных задач;

·  владеть методами математического моделирования.

№	Тема или раздел
1.	Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) и разностные уравнения первого и второго порядка и их приложения.
2.	Конечно-разностные методы решения ОДУ и систем ОДУ.
3.	Решение ОДУ в системах компьютерной математики (СКМ).
4.	Уравнения в частных производных (УЧП) первого порядка.
5.	Решение УЧП 1-го порядка в СКМ.
6.	Уравнения математической физики (УМФ) и краевые задачи для них.
7.	Аналитические методы решения УМФ.
8.	Решение УМФ в СКМ.
9.	Конечно-разностные методы решения УМФ.
10.	Решение ОДУ и УЧП в СКМ Maple.
11.	Решение ОДУ и УЧП в СКМ Matlab.

Общая трудоемкость дисциплины: 276 часов.

Составитель: , кандидат физико-математических наук, доцент.

5 Элементы теории матриц и определителей

Целью преподавания данной дисциплины является обобщение и углубление знаний по общему курсу алгебры, формирование представление о его приложениях, о возможностях продолжения образования в области алгебры, о современных проблемах алгебры, а также формирование абстрактно-логического мышления и умения оперировать общематематическими понятиями.

Требования к уровню усвоения содержания дисциплины

В результате освоения дисциплины студент должен:

·  иметь представление о роли матричных методов в математике и смежных

·  знать определение евклидова и унитарного пространства, основные специальные классы матриц, специальные методы вычисления определителей

·  уметь самостоятельно изучать математическую литературу, систематизировать материал, выступать с докладами, приводить матрицы к жордановой форме, вычислять собственные значения линейных операторов различными способами.

Краткое содержание дисциплины

№ п/п	Наименование темы/раздела	Содержание
1.	Жордановы нормальные формы матриц	Вывод формулы, выражающей определитель квадратной матрицы, представляющей собой произведение двух прямоугольных матриц, через миноры матриц – множителей (Формула Бине-Коши). Инвариантные подпространства линейного оператора. Блочные матрицы. Понятие о клетке Жордана. Присоединённые векторы. Алгебраические и геометрические кратности собственных значений. Применение спектров матриц к приведению их к диагональной форме.
2.	Евклидовы и унитарные пространства.	Сопряжённое пространство. Полилинейные функции. Билинейные формы, определяющие скалярные произведения. Билинейные формы и их связь с линейными операторами. Эквивалентность билинейных форм. Квадратичные и эрмитовы формы. Приведение симметрических билинейных форм к каноническому виду. Сигнатуры. Закон инерции. Положительно определённые формы. Критерий Сильвестра. Евклидовы и унитарные векторные пространства. Связь между линейными операторами и билинейными формами в евклидовом векторном пространстве. Ортогональные и унитарные операторы.
3.	Многочленные матрицы и матричные многочлены	Понятия матричный многочлен и многочленная матрица. Элементарные преобразования многочленной матрицы. Основные операции над многочленными матрицами (Сложение и умножение матричных многочленов). Основные свойства этих операций. Правое и левое деление матричных многочленов. Обобщенная теорема Безу. Присоединённая матрица..
4.	Дополнительные главы теории матриц и определителей	Вычисление определителей матриц, зависящих от параметров, вычисление некоторых специальных определителей. Циркулянты. Линейная зависимость линейных форм. Системы линейных уравнений с параметрами и их геометрические приложения.
5.	Избранные вопросы теории линейных операторов и линейной алгебры	Нормальные, симметрические и кососимметрические, эрмитовы и положительные операторы и их матричное представление. Спектр и собственные векторы линейных операторов, их практическое приложение. Инвариантные и корневые подпространства линейных операторов, группы и алгебры линейных операторов. Нормы линейных операторов, сингулярные числа. Матричные многочлены. Системы линейных неравенств и их экономические приложения.

Общая трудоемкость дисциплины: 276 часов.

Составители: , доцент, , ассистент

4  Избранные вопросы теории алгебраических структур и теории чисел

Целью преподавания данной дисциплины является обобщение и углубление знаний по общему курсу алгебры и теории чисел, формирование представления об их приложениях, о возможностях продолжения образования в области алгебры и теории чисел, о современных проблемах математики, а также формирование абстрактно-логического мышления и умения оперировать общематематическими понятиями.

5  Краткое содержание дисциплины

№ п/п	Наименование темы/раздела	Содержание
1.	Группы и факторгруппы. Элементы теории представлений групп. Факториальные и евклидовы кольца. Идеалы	Группы, подгруппы. Нормальные делители групп. Факторгруппы. Изоморфизмы и гомоморфизмы групп. Циклические группы. Задание групп образующими элементами и определяющими соотношениями. Группа Галуа. Понятие кольца, подкольца, идеала кольца, области целостности. Сравнение по идеалу. Фактор-кольцо. Гомоморфизмы колец. Характеристика кольца. Понятие делимости в кольце. Факториальные кольца, примеры, простейшие свойства. Кольца главных идеалов. Евклидовы кольца. Факториальность кольца многочленов от одной и нескольких переменных над факториальным кольцом.
2.	Расширения полей. Конечные поля	Понятие поля, подполя, изоморфизм полей. Расширения полей. Алгебраические и конечные, простые и составные расширения. Алгебраические числа и их приближения. Применения к освобождению от иррациональности в знаменателе дроби. Вопрос о разрешимости уравнений в квадратных радикалах. Применение к задачам на построение с помощью циркуля и линейки. Нормальные расширения полей, поля разложений многочлена. Элементы теории Галуа. Конечные поля их общие свойства. Классификация. Вычислительные аспекты работы с данными полями. Приводимость многочленов над конечными полями. Круговые многочлены. Возможности применения конечных полей в теории кодирования.
3.	Элементы теории чисел. Квадратичные поля	Простые и составные числа. Простые числа специальных видов. Совершенные числа, простые числа Мерсенна и Ферма. Числовые функции. Мультипликативные теоретико-числовые функции. Конечные и бесконечные цепные дроби. Подходящие дроби как наилучшие приближения. Квадратичные вычеты и невычеты. Символ Лежандра. Символ Якоби. Двучленные сравнения по простому модулю. Сравнения высших степеней. Квадратические иррациональности и периодические цепные дроби. Квадратичные расширения. Квадратичные поля.
4.	Алгебры конечного ранга	Комплексные числа и их применение в геометрии. Тело кватернионов. Применение кватернионов. Октавы. Конечномерные алгебры.
5.	Кольцо многочленов от n переменных	Многочлены нескольких переменных. Симметрические многочлены и их приложения. Антисимметрические многочлены. Результант и дискриминант.

Общая трудоемкость дисциплины: 276 часов.

Составитель: , кандидат физико-математических наук, доцент.

5.Конструктивная геометрия

Основной целью спецкурса является более глубокое изучение тех вопросов курса геометрии, которые бегло представлены в систематическом курсе геометрии или совсем не затронуты в нем.

Содержание разделов и тем  

№ п/п	Наименование темы (раздела)	СОДЕРЖАНИЕ
1.	Обоснование построений циркулем и линейкой. Аксиоматика конструктивной геометрии.	Понятие задачи на построение и ее решения. Общие аксиомы геометрических построений. Инструменты построений, их аксиомы. Этапы решения задачи на построение. Основные построения и основные задачи. Решение основных задач классическим набором инструментов. Оценка простоты и точности построения.
2	Геометрические построения одной линейкой. Основные факты проективной геометрии как теоретическая база геометрических построений одной линейкой.	Определение и задание проективного соответствия в формах первой ступени. Теоремы Дезарга в применении к геометрическим построениям с различными ограничениями. Построение гармонических четверок элементов в формах 1 ступени. Теория полюсов и поляр, ее применение для решения задач с недоступными точками. Построение линейкой с эталоном длины. Построение двусторонней линейкой.
3	Построения одним циркулем и построения линейкой при однократном использовании циркуля.	Построения одним циркулем. Деление окружности на n равных частей. Теорема Гаусса. Построения линейкой с однократным использованием циркуля. Теорема Штейнера
4	Задачи, неразрешимые циркулем и линейкой. Классические задачи и задачи на восстановление треугольников.	Примеры задач, не имеющих решения, неразрешимых соответствующим набором инструментов. Критерий разрешимости задач на построение циркулем и линейкой. Классические задачи древности. Приближенные решения, решение их иными наборами инструментов. Неразрешимые задачи на построение на восстановление треугольников по некоторым его элементам
5	Преобразования инверсии, ее свойства и построение образов фигур при инверсии. Задача Аполлония.	Преобразование инверсии. Антипараллельные прямые. Построение образов фигур при инверсии. Аналитическое выражение инверсии. Примеры решения задач на доказательство и построение с помощью инверсии. Задача Аполлония.

Общая трудоемкость дисциплины:276 часов.

Составитель: , кандидат физико-математических наук, доцент.

ДПП. ДС

ДПП. ДС. Ф.1 Элементы абстрактной и компьютерной алгебры

Целью данной дисциплины является демонстрация того, как компьютер может быть применён для решения невычислительных математических задач, а также возможностей применения математических методов в информатике;

Требования к уровню освоения содержания дисциплины

В результате освоения дисциплины студент должен:

·  иметь представление о роли и месте фундаментального математического знания в компьютерных науках, о межпредметных связи на уроках математики и информатики, об основных задачах помехоустойчивого кодирования и криптографии;

·  знать о возможностях приложения математических методов в различных областях и быть готовым применить эти знания для повышения заинтересованности учащихся в изучении математики, для разработки соответствующих элективных курсов, знать определения основных алгебраических структур и их основные свойства, основные требования к представлению данных в компьютере.

уметь переводить целые и дробные числа из одной системы счисления в другую, выполнять операции с элементами конечных полей, применять простейшие алгоритмы для нахождения и исправления одной ошибки, выполнять простейшие символьные преобразования.

Краткое содержание дисциплины

№	Тема/ раздел	Содержание
1	Представление данных в компьютере. Алгоритмы символьных преобразований	Представление данных в компьютере. Позиционные системы счисления. Представление натуральных чисел. Представление дробей в компьютере. Дробные числа в позиционных системах счисления. Алгоритмы работы с обыкновенными дробями. Представления символьных данных. Общие сведения о программе Maple. Простейшие алгоритмы символьных преобразований (многочлены, дробно-рациональные выражения). Кольцо многочленов от одной переменной, теория делимости. Многочлены от нескольких переменных. Алгоритмы символьных преобразований (числа, многочлены, выражения, дифференцирование, интегрирование).
2	Элементы абстрактной алгебры	Понятие группы, кольца, поля, булевой алгебры. Алгебры и алгебраические системы. Теория делимости в кольце целых чисел. Кольца классов вычетов. Поле комплексных чисел. Подгруппы. Смежные классы по подгруппе, факторгруппы. Подкольца. Идеалы кольца, факторкольца. Расширения полей, алгебраические и конечные расширения. Конечные поля. их общие свойства. Классификация. Вычисления над конечными полями.
3	Элементы теории кодирования	Первоначальные представления о теории кодирования. Принципы помехоустойчивого кодирования, подгруппа линейных кодов и классы смежности. Алгоритмы с исправлением одной или двух ошибок, пути усовершенствования алгоритмов для исправления большего числа ошибок (применение конечных полей). Криптографические системы с открытым ключом.

Общая трудоемкость дисциплины: 72 часа.

Составитель: , к. б.н, доцент

ДПП. ДС. Ф.2 Уравнения математической физики

Целью преподавания учебной дисциплины «Уравнения математической физики» является усвоение студентами особенностей применения математических методов для моделирования физических и иных процессов, возможностей использования информационных технологий при работе с математическими моделями.

В результате освоения дисциплины «Уравнения математической физики» обучающийся должен:

·  знать основные понятия, относящиеся к методологии математического моделирования ;

·  уметь применять математические методы при решении профессиональных задач;

·  владеть методами математического моделирования биологических процессов.

Содержание разделов и тем

№	Тема или раздел	Содержание
1.	Понятие об уравнениях математической физики	Примеры задач, приводящих к уравнениям с частными производными. Линейные уравнения с частными производными второго порядка и их приведение к каноническому виду. Классификация линейных УЧП второго порядка (двумерный случай).
2.	Уравнения гиперболического типа.	Волновое уравнение. Краевые задачи для уравнений гиперболического типа. Метод характеристик. Формула Даламбера. Понятие о методе Фурье (методе разделения переменных) для уравнений с частными производными.
3.	Уравнения параболического типа.	Уравнение теплопроводности. Краевые задачи для уравнений параболического типа. Метод Фурье для уравнений параболического типа.
4.	Уравнения эллиптического типа.	Уравнение Лапласа. Понятие гармонической функции, примеры функций, гармонических во всей плоскости. Краевые задачи для уравнения Лапласа. Функции, гармонические в заданной области, и их восстановление по значениям на границе области. Метод Фурье.
5.	Численное интегрирование уравнений в частных производных.	Понятие о сеточных методах. Разностные уравнения и дифференциальные уравнения. Одномерные разностные схемы и их использование для решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Явные разностные схемы для краевых задач, порожденных уравнениями математической физики. Понятие о решении дифференциальных уравнений (обыкновенных и в частных производных) в компьютерных математических средах. Решение и визуализация решений дифференциальных уравнений средствами компьютерной математики.

Общая трудоемкость дисциплины: 72 часа.

Составитель: , кандидат физико-математических наук, доцент.

ДПП. ДС. Ф.3 Численные методы

Цель данной дисциплины - дать студентам представление о приближенных и в первую очередь численных методах решения задач.

В результате изучения дисциплины студент должен:

-  знать постановки задач, условия применимости методов их решения. Теоретические обоснования этих методов, условия сходимости итерационных методов и их алгоритмы;

-  уметь записывать алгоритмы решения задач на алгоритмических языках и в табличной форме;

-  уметь оценивать погрешности вычислений;

-  иметь навык

Краткое содержание дисциплины.

Численные методы решения нелинейных уравнений. Графический и аналитический методы отделения корней. Уточнение корней методом половинного деления, методом хорд, методом касательных, комбинированным методом, методом итераций. Сходимость методов. Оценка погрешностей. Устойчивость методов решения нелинейных уравнений.