Математика с дополнительной специальностью Информатика (стр. 7 )

·  уметь понимать и воспроизводить доказательства важнейших результатов математического анализа, иллюстрировать основные положения теории примерами и контрпримерами; решать типовые задачи математического анализа (находить пределы последовательностей и функций, производные и дифференциалы функций одной и нескольких переменных, неопределенные и определенные интегралы в случаях, когда первые выражаются через элементарные функции, вычислять двойные, тройные и криволинейные интегралы, в том числе с помощью замен переменных; строить разложения функций в степенные и тригонометрические ряды, исследовать сходимость разложений); применять средства дифференциального исчисления к исследованию функций одной и нескольких переменных, к решению задач на экстремумы геометрического и практического содержания, к решению некоторых алгебраических задач; применять средства интегрального исчисления к вычислению геометрических и физических величин; использовать идеи и методы математического анализа для решения некоторых задач элементарной математики; строить модели некоторых геометрических, физических, … объектов на языке математического анализа;

·  владеть языком, символикой и формальным аппаратом математического анализа;

·  иметь представление о специфике математического анализа по сравнению с другими математическими дисциплинами, его связях с этими дисциплинами, об истории развития математического анализа, его месте в современной математике и ее приложениях, о некоторых философских аспектах развития математического знания.

Краткое содержание дисциплины

Действительные числа: аксиоматическое построение множества действительных чисел, действительные числа как бесконечные десятичные дроби, расстояние во множестве действительных чисел. Предел числовой последовательности, бесконечно малые и бесконечно большие последовательности, теоремы о пределах, подпоследовательности и частичные пределы, полнота пространства действительных чисел. Предел числовой функции, теоремы о пределах, сравнение бесконечно малых функций, бесконечно больших функций.[1] Дифференцируемые функции одной переменной, производная и дифференциал, правила дифференцирования, производные и дифференциалы высших порядков. Основные теоремы дифференциального исчисления. Формула Тейлора. Приложения дифференциального исчисления к исследованию функций на монотонность, выпуклость, экстремумы, точки перегиба. Экстремальные задачи для функций одной переменной. Неопределенный интеграл: свойства, интегрирование основных классов функций. Интеграл Римана как предел интегральных сумм, как разделяющее число сумм Дарбу, основные свойства Дарбу, основные свойства. Интеграл с переменным верхним пределом, формула Ньютона-Лейбница. Несобственные интегралы первого и второго рода. Некоторые геометрические и физические приложения определенного интеграла. Числовые ряды: основные понятия, признаки сходимости рядов с положительными членами. Знакопеременные числовые ряды: абсолютная и условная сходимость. Действия над числовыми рядами. Функциональные последовательности и ряды: поточечная и равномерная сходимость. Действия над функциональными рядами. Функциональные последовательности и ряды: поточечная и равномерная сходимость. Действия над функциональными рядами. Введение в анализ функций нескольких переменных: пространство Rn, сходимость последовательностей, пределы и непрерывность функций. Дифференцируемые функции нескольких переменных: частные производные и полный дифференциал, матрица Якоби, частные производные дифференциал, матрица Якоби, частные производные и дифференциалы высших порядков, неявные функции. Экстремумы функций нескольких переменных: необходимое условие экстремума, достаточные условия экстремума, условные экстремумы. Двойные и тройные интегралы, их свойства, сведение к повторным интегралам. Криволинейные интегралы первого и второго рода. Формула Грина. Полные дифференциалы и их интегрирование Поверхностные интегралы первого и второго рода. Формула Остроградского-Гаусса, формула Стокса. Элементы векторной теории поля. Геометрические и физические приложения кратных и криволинейных интегралов.

Общая трудоемкость дисциплины: 468.

Составитель: , кандидат физико-математических наук

ДПП. Ф.2 Теория функций действительного переменного

Целью преподавания учебной дисциплины «Теория функций действительного переменного» является введение студентов в систему базовых понятий, структур, методов математического анализа в широком смысле в его современной форме, формирование умения работать с математическими объектами высокого уровня абстракции, развитие соответствующего типа мышления.

В результате освоения дисциплины «Теория функций действительной переменной» обучающийся должен:

·  знать основные понятия и теоремы теории множеств (мощность множества, счетные множества, множества мощности континуум, теорема Кантора, Теорема Кантора-Бернштейна); определения и базовые свойства важнейших топологических структур (метрика, норма, скалярное произведение); определения основных понятий математического анализа (предел последовательности, фундаментальные последовательности, предел функции, непрерывность функции и др.) в абстрактном варианте, применительно к произвольным метрическим пространствам и их отображениям; основные результаты функционального анализа (теорема Банаха о сжимающих отображениях и др.); понятия меры Лебега, измеримой функции, интеграла Лебега; конструкции основных пространств функционального анализа, в том числе пространств суммируемых функций;

·  уметь проводить доказательства некоторых результатов теории множеств, функционального анализа, теории меры и интеграла Лебега, получать и объяснять результаты классического анализа как частные случаи теорем функционального анализа; проверять выполнение аксиом метрического, нормированного, евклидова пространства; вычислять меру Лебега числовых множеств, интеграл Лебега числовых функций в простейших случаях;

Краткое содержание дисциплины

Множество как неопределяемое понятие в теории Кантора. Равномощные множества. Мощность множества. Конечные множества. Счетные множества. Счетность множества рациональных чисел, множества алгебраических чисел. Несчетность отрезка [0;1]. Множества мощности континуум. Сравнение мощностей. Теорема Кантора-Бернштейна. Булеан множества. Теорема Кантора о сравнении мощности множества и мощности его булеана. Множества мощности гиперконтинуум. Бесконечность шкалы мощностей. Парадоксы теории множеств Кантора. Понятие о проблеме континуума. Представление об аксиоматической теории множеств.

Метрическое пространство, примеры метрических пространств. Предел последовательности точек метрического пространства. Открытые и замкнутые множества. Полные метрические пространства, компактные метрические пространства, связные метрические пространства. Непрерывные отображения метрических пространств. Сохранение компактности и связности при непрерывных отображениях. Сжимающие отображения метрических пространств. Теорема Банаха (принцип сжимающих отображений).

Общая трудоемкость дисциплины: 84 часа.

Составитель: , кандидат физико-математических наук

ДПП. Ф.3 Теория функций комплексного переменного

Целью преподавания учебной дисциплины «Теория функций комплексного переменного» является усвоение студентами базовых результатов комплексного анализа, типичных методов их получения, специфики объектов комплексного анализа по сравнению с вещественным анализом, завершение формирования таких фундаментальных понятий, как функция, ряд, производная, интеграл, осознание обучающимися единства математики.

Требования к уровню освоения содержания дисциплины

В результате освоения дисциплины «Теория функций комплексного переменного» обучающийся должен:

знать основные понятия, относящиеся к функциям комплексной переменной (различные определения аналитической функции; производная функции комплексной переменной, геометрический смысл ее модуля и аргумента; интеграл функции комплексной переменной вдоль кривой в комплексной плоскости; ряды Тейлора и Лорана, особые точки аналитической функции и вычеты в них; основные элементарные функции в комплексной плоскости и их свойства; многозначные функции и их однозначные ветви, римановы поверхности многозначных функций), а также фундаментальные результаты комплексного анализа (условия Коши-Римана дифференцируемости функции комплексной переменной; интегральная теорема Коши, формула Коши; равносильность различных определений аналитической функции, бесконечная дифференцируемость аналитической функции комплексной переменной; теорема о вычетах);

уметь применять методы теории функций комплексной переменной при решении типовых задач комплексного и действительного анализа (разложение функций в ряды; восстановление аналитической функции по ее действительной или мнимой части; выделение особых точек однозначного характера аналитической функции, определение их типов, вычисление вычетов в особых точках; вычисление интегралов комплекснозначных функций и интегралов от функций действительной переменной с использованием интегралов по комплексному контуру; нахождение образов и прообразов точек и простых областей и др.);

владеть навыками оперирования с комплексными числами и функциями комплексной переменной, языком комплексного анализа.

Краткое содержание дисциплины

Поле комплексных чисел

Комплексные числа и действия над ними. Модуль комплексного числа, метрика во множестве комплексных чисел. Окрестности. Расширенная комплексная плоскость. Сфера Римана. Стереографическая проекция. Линии и области в комплексной плоскости: параметрическое задание кривых; прямые и окружности; полуплоскость, круг, внешность круга.

Функции комплексного переменного

Комплекснозначные функции действительной переменной. Комплекснозначные функции комплексной переменной. Действительная и мнимая части функции комплексной переменной. Изображение преобразования комплексной плоскости, задаваемого функцией комплексной переменной.

Последовательности и ряды комплексных чисел, функциональные последовательности и ряды в комплексной области. Степенные ряды в комплексной области. Теорема Абеля. Круг и радиус сходимости степенного ряда. Примеры разложения функций комплексной переменной в степенные ряды (геометрическая прогрессия).

Дифференциальное исчисление функций комплексной переменной

Дифференцируемость и производная функции комплексной переменной. Условия Коши-Римана дифференцируемости функции комплексной переменной. Понятие аналитической функции как функции, дифференцируемой в области. Гармонические функции и их связь с аналитическими.

Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Конформное отображение. Области однолистности аналитической функции. Примеры.

Элементарные функции в комплексной области

Линейная и дробно-линейная функции. Круговое свойство дробно-линейной функции. Задание дробно-линейной функции тремя парами соответствующих точек расширенной комплексной плоскости.

Степенная функция и радикал. Многозначность радикала. Понятие римановой поверхности. Риманова поверхность радикала.

Показательная функция в комплексной плоскости как сумма степенного ряда. Сохранение свойств экспоненты при аналитическом продолжении с вещественной прямой на комплексную плоскость. Периодичность экспоненты в комплексной плоскости. Логарифмическая функция как обратная к показательной, ее многозначность. Риманова поверхность логарифмической функции. Степень с произвольным комплексным показателем.

Тригонометрические и обратные тригонометрические функции. Выражение обратных тригонометрических функций через логарифм. Гиперболические и обратные гиперболические функции. Выражение обратных гиперболических функций через логарифм. Связь между тригонометрическими и гиперболическими функциями.

Функция Жуковского и ее свойства.

Интегральное исчисление функций комплексной переменной

Интегрирование комплекснозначных функций действительной переменной. Интеграл от функции комплексного переменного по кусочно-гладкой кривой: определение в терминах предела интегральных сумм, сведение к криволинейному интегралу. Теорема Коши. Теорема Коши для случая составного контура.

Первообразная и интеграл. Интегральное определение логарифмической функции в комплексной области.

Интегральная формула Коши и ее следствия (дифференцируемость производной аналитической функции, интегральные формулы для коэффициентов степенного ряда, неравенства Коши для коэффициентов степенного ряда).

Разложение аналитической функции в степенной ряд. Ряд Лорана

Существование разложения в степенной ряд для функции, дифференцируемой в области. Второе определение аналитической функции (как функции, допускающей представление в виде суммы ряда). Вычисление коэффициентов ряда Тейлора. Целые функции. Теорема Лиувилля. Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел.

Ряд Лорана и его область сходимости. Существование разложения в ряд Лорана для функции, аналитической в кольце.

Особые точки однозначного характера и их классификация. Лорановское разложение функции в проколотой окрестности особой точки. Характеристика правильных точек, полюсов, существенно особых точек в терминах лорановского разложения. Кратность полюса.

Бесконечность как особая точка аналитической функции. Целые функции с полюсом в бесконечно удаленной точке, с существенно особой точкой на бесконечности.

Вычеты аналитической функции

Понятие вычета аналитической функции в изолированной особой точке однозначного характера. Вычисление вычетов. Теорема о вычетах. Вычет в бесконечно удаленной точке. Теорема о полной сумме вычетов. Применение теории вычетов к вычислению определенных и несобственных интегралов от функций действительной переменной.

Общая трудоемкость дисциплины: 86 часов.

Составитель: , кандидат физико-математических наук, доцент

ДПП. Ф.4 Дифференциальные уравнения и уравнения уравнения с частными производными

Целью преподавания учебной дисциплины «Обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными»является усвоение студентами базовых результатов теории дифференциальных уравнений, типичных методов их получения, особенностей применения математических методов для моделирования физических, биологических, экономических и иных процессов, осознание обучающимися единства «чистой» и прикладной математики.

Требования к уровню освоения содержания дисциплины

В результате освоения дисциплины «Обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными»обучающийся должен:

·  знать основные понятия, относящиеся к ОДУ и ДУЧП (порядок уравнения, решение уравнения, начальные условия, краевые условия, интегральные кривые и фазовые кривые системы ОДУ, характеристики ДУЧП, положения равновесия системы ОДУ, понятия, связанные с устойчивостью положений равновесия); основания классификации ОДУ и ДУЧП, фундаментальные результаты, касающиеся существования и единственности решений в линейном и нелинейном случае, а также их устойчивости;

·  уметьнаходить общие и частные решения изученных классов ОДУ первого порядка, некоторых ОДУ высших порядков, допускающих понижение порядка; решать линейные ОДУ высших порядков и нормальные системы линейных ОДУ с постоянными коэффициентами; исследовать устойчивость тривиального решения автономных нормальных систем ОДУ; находить характеристики линейных ДУЧП первого порядка и их решения с учетом начального условия;

·  владетьнавыками решения ОДУ и ДУЧП и построения интегральных и фазовых кривых с помощью пакетов компьютерной математики.

Краткое содержание дисциплины

Задачи, приводящие к обыкновенным дифференциальным уравнениям и уравнениям с частными производными. Основные понятия теории дифференциальных уравнений

Задача о радиоактивном распаде, задача о росте популяции при неограниченных ресурсах. Задача о колебаниях физического маятника, задача об электромагнитных колебаниях в контуре. Задача о колебаниях упругой струны. Геометрические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальное уравнение семейства кривых.

Дифференциальные уравнения у Ньютона, у Лейбница, логика развития теории дифференциальных уравнений.

Понятие дифференциального уравнения и некоторые его обобщения. Понятие решения дифференциального уравнения. ОДУ и ДУЧП. Порядок дифференциального уравнения и размерность многообразия его решений. Понятие общего решения ОДУ. Линейные и нелинейные дифференциальные уравнения. Постановка начальных и краевых задач.

ОДУ в нормальной форме; ОДУ в общей форме; ОДУ первого порядка в симметричной форме. Примеры решения дифференциальных уравнений.

Возможности изучения дифференциальных уравнений в школьном курсе математики.

Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка в нормальной форме

Геометрическая интерпретация ОДУ первого порядка, разрешенного относительно производной: поле направлений, изоклины, интегральные кривые. Задача Коши дляОДУ первого порядка в нормальной форме: теорема существования и единственности решения (без доказательства)[2].

Основные классы уравнений первого порядка, интегрируемых в квадратурах (уравнения с разделяющимися переменными, однородные ОДУ первого порядка, линейные ОДУ первого порядка и уравнения Бернулли, уравнения в полных дифференциалах). Понятие об интегрирующем множителе. Глобальное существование и единственность решения задачи Коши в случае линейного ОДУ первого порядка. Структура множества решений однородного и неоднородного линейного ОДУ первого порядка.

Существование ОДУ первого порядка, не разрешимых в квадратурах. Приближенное интегрирование уравнений первого порядка с помощью метода ломаных (замены дифференциального уравнения разностным).

Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной

Особенности постановки задачи Коши дляОДУ первого порядка, не разрешенного относительно производной. Теорема существования и единственности решения, особые точки и особые решения.

Случаи дифференциального уравнения первого порядка в общей форме, допускающего параметризацию. Уравнения Клеро и Лагранжа.

Задача об огибающей семейства кривых.

Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков в нормальной форме

Задача Коши для ОДУn-го порядка в нормальной форме. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Основные классы уравнений, допускающих понижение порядка. Приближенное интегрирование ОДУ высших порядков с помощью разностных схем.

Нормальные системы ОДУ, сведение уравнений высших порядков к нормальным системам. Сведение нормальной системы n ОДУ к уравнению n-го порядка (исключение неизвестных функций, рассмотрение на примерах). Двумерные системы ОДУ и их фазовые кривые.

Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков и нормальные системы линейных ОДУ

Линейные ОДУ высших порядков и их сведение к нормальным системам линейных ОДУ. Глобальный характер теоремы существования и единственности решения задачи Коши для системы линейных ОДУ; геометрическая интерпретация решения в случае двумерной системы. Множество решений однородной системы линейных ОДУ как векторное пространство. Фундаментальная матрица системы, определитель Вронского системы решений, теорема о свойствах вронскиана, размерность пространства решений. Построение фундаментальной матрицы длясистемы с постоянными коэффициентами матричным методам: характеристическое уравнение, случай простых корней, случай кратных корней, случай комплексно сопряженных (простых или кратных) корней.

Метод вариации произвольных постоянных в решении неоднородных систем линейных ОДУ. Метод подбора частного решения в случае правой части специального вида.

Решение линейных ОДУ высших порядков с постоянными коэффициентами. Фундаментальная система решений однородного уравнения. Случаи простых и кратных корней характеристического уравнения. Решение неоднородного уравнения: метод вариации произвольных постоянных, метод подбора частного решения в случае правой части специального вида. Свободные и вынужденные колебания, явление резонанса.

Введение тригонометрических функций как решений дифференциальных уравнений. Получение свойств синуса и косинуса на основе анализа уравнения и начальных условий.

Понятие о краевой задаче для ОДУ. Собственные значения и собственные функции краевой задачи. Понятие о линейных дифференциальных операторах. Примеры решения простейших краевых задач.

Устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений

Понятия устойчивости по Ляпунову и асимптотической устойчивости решения ОДУ. Случай линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами или системы уравнений: анализ условий устойчивости тривиального решения. Фазовые портреты двумерных автономных систем. Нелинейные ОДУ: стационарные решения (положения равновесия), линеаризация системы в окрестности положения равновесия, теорема Ляпунова.

Линейные и квазилинейные ДУЧП первого порядка

Понятие квазилинейного, линейного ДУЧП первого порядка, характеристической системы, характеристики квазилинейного ДУЧП первого порядка. Теоремы о связи между характеристиками квазилинейного ДУЧП первого порядка и его интегральными поверхностями. Постановка начальной задачи, примеры ее решения.

Линейные и квазилинейные ДУЧП второго порядка

Классификация ДУЧП второго порядка (эллиптические, гиперболические, параболические в данной области уравнения), приведение их к каноническому виду.

Волновое уравнение: начальная задача, формула Даламбера, краевая задача, понятие о методе Фурье

Общая трудоемкость дисциплины: 84 часа.

Составитель: , кандидат физико-математических наук

ДПП. Ф.5 Алгебра

Основные цели и задачи курса «Алгебра» состоит в следующем:

Ø  раскрыть студентам значение алгебры, углубить их представление о месте алгебры в изучении окружающего мира;

Ø  помочь будущему учителю математики понять смысл и значение разделов математики, относящихся к алгебре;

Ø  изучить основные виды алгебр и воспитать общую алгебраическую культуру, необходимую будущему учителю для понимания как основного курса математики, так и школьных факультативных курсов;

Ø  развивать умение самостоятельной работы с математической литературой;

Ø  курс «Алгебры» должен дать студентам знания, навыки и умения, необходимые для успешного изучения других разделов математики.

Краткое содержание дисциплины

В первом разделе «Элементы логики и теории множеств» даются понятия, необходимые для дальнейшего изучения курса алгебры и других математических дисциплин. Особенно важным является понятие «отношение эквивалентности», оно служит основой для введения новых понятий. Цель этого раздела – заложить основы современного математического языка, получить некоторые навыки работы с математическими понятиями.

Раздел «Основные алгебраические структуры» включает в себя изучение алгебры как множества с алгебраическими операциями, групп, колец, полей и их свойств. Рассматриваются их важнейшие примеры, как то: кольцо многочленов, кольца вычетов, поля действительных и комплексных чисел.

В следующих четырех разделах изучается линейная алгебра.

В теме «Векторные пространства» рассматриваются понятия векторного пространства над произвольным полем, подпространства, линейной зависимости, базиса и ранга системы векторов, базиса и размерности пространства.

В темах «Системы линейных уравнений», «Матрицы и определители» предусмотрено изучение систем линейных уравнений, матриц и определителей и их основных свойств.

В теме «Линейные преобразования» изучаются линейные отображения и евклидовы пространства. В двух следующих разделах изучаются элементы теории групп и теории колец. Рассматриваются циклические группы, нормальные делители, идеалы колец, фактор-объекты.

В следующих разделах изучаются кольца многочленов от одной и нескольких переменных над различными полями, в них изложены вопросы алгебры непосредственно примыкающие к школьному курсу алгебры.

Раздел «Элементы теории полей» содержит сведения об алгебраических числах и различных расширениях полей, необходимые для выяснения разрешимости задач на построение с помощью циркуля и линейки.

Изучение каждого раздела предполагает подробные доказательства приводимых результатов.

Материал курса алгебры имеет непосредственное отношение к математике средней школы. Некоторые разделы тесно связаны со школьной программой, остальные же являются основой факультативных курсов.

Требования к уровню усвоения содержания дисциплины

В результате изучения дисциплины «Алгебра» студент должен:

Знать:

- базовую терминологию, основные понятия и теоремы дисциплины;

- основные свойства важнейших алгебраических структур (групп, колец, полей);

- основные алгоритмы алгебры

Уметь:

- работать с подстановками, многочленами, матрицами;

- решать системы линейных уравнений;

- находить канонические формы линейных преобразований;

- применять основные понятия и теоремы дисциплины при решении как алгебраических задач, так и задач смежных дисциплин.

Общая трудоемкость дисциплины: 400.

Составители: Глухова., кандидат биологических наук, доцент; , кандидат физико-математических наук, доцент.

ДПП. Ф.6 Геометрия

Курс геометрии в педагогическом университете имеет основные цели:

- вооружить студентов обширными знаниями в области геометрии и обеспечить развитие широкого взгляда на геометрию;

- дать студенту высокую профессиональную подготовку, позволяющую преподавать геометрию в средней школе и квалифицированно вести спецкурс по геометрии.

Краткое содержание дисциплины

1. Векторы и операции над ними.

Скалярные и векторные величины в математике. Вектор. Длина и направление вектора. Коллинеарные и компланарные векторы. Равные векторы Линейные операции над векторами. Линейная зависимость векторов. Координаты вектора относительно данного базиса и их свойства Аксиомы векторного пространства Примеры векторных пространств. Скалярное произведение векторов и его свойства. Применение векторов к решению задач школьного курса геометрии.

2. Метод координат на плоскости.

Аффинная система координат на плоскости. Деление отрезка в данном отношении. Простое отношение трех точек прямой. Прямоугольная декартова система координат. Расстояние между двумя точками. Полярные координаты Переход от полярных координат к декартовым и обратно. Преобразование аффинной системы координат. Левые и правые системы координат. Ориентация плоскости. Преобразование прямоугольной декартовой системы координат. Геометрическое истолкование уравнений и неравенств между координатами. Примеры. Алгебраическая линия и ее порядок. Прямая линия. Различные способы задания прямой. Общее уравнение прямой. Геометрический смысл коэффициентов при текущих координатах в общем уравнении прямой. Геометрический смысл знака трехчлена Ах+Ву+С. Взаимное расположение двух прямых. Признаки параллельности и перпендикулярности двух прямых Расстояние от точки до прямой. Угол между двумя прямыми. Пучок прямых. Метод координат в решении задач школьного курса геометрии.

3. Линии второго порядка

Эллипс: определение, каноническое уравнение, свойства Гипербола: определение, каноническое уравнение, свойства. Асимптоты. Парабола: определение, каноническое уравнение, свойства Фокусы и директрисы линий второго порядка Уравнение линии второго порядка в полярных координатах. Общее уравнение линии второго порядка Приведение уравнения линии второго порядка к каноническому виду. Классификация линий второго порядка.

4. Преобразования плоскости.

Преобразования, примеры. Группа преобразований, подгруппа группы преобразований. Движение плоскости. Примеры. Аналитическое выражение движения. Осевая симметрия, разложение движений в произведение осевых симметрии. Классификация движений плоскости. Группа движений плоскости и ее подгруппы. Преобразования подобия. Аналитическое выражение. Гомотетия. Подобие как произведение гомотетии на движение. Группа преобразований подобия плоскости и ее подгруппы. Аффинные преобразования. Аналитическое выражение. Группа аффинных преобразований плоскости и ее подгруппы. Теоретико-групповой принцип построения геометрии. Приложение геометрических преобразований к решению задач.

5. Метод координат в пространстве.

Аффинная система координат в пространстве. Деление отрезка в данном отношении. Прямоугольная декартова система координат. Расстояние между двумя точками. Геометрическое истолкование уравнений и неравенств между координатами. Примеры. Векторное и смешанное произведение векторов. Вычисление площади треугольника и объема тетраэдра Условия коллинеарности двух векторов, компланарности трех векторов.

6. Прямые и плоскость в пространстве.

Различные способы задания плоскости. Общее уравнение плоскости. Геометрический смысл коэффициентов при текущих координатах в общем уравнении. Геометрический смысл знака многочлена Ах+Ву+Сz+-Д. Взаимное расположение двух, трех плоскостей. Признаки параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. Расстояние от точки до плоскости. Угол между двумя плоскостями. Различные способы задания прямой. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между двумя прямыми, угол между прямой и плоскостью. Связка прямых и плоскостей.

7. Поверхности второго порядка

Эллипсоид, гиперболоиды, параболоиды Определения, канонические уравнения, свойства. Цилиндр и конус второго порядка Конические сечения. Прямолинейные образующие поверхности второго порядка.

8. Аффинные и евклидовы n-мерные пространства

Аксиомы Вейля n-мерного аффинного вещественного пространства Аффинная система координат. Определение к-мерных плоскостей. Взаимное расположение двух плоскостей. Аффинные преобразования. Предмет аффинной геометрии. Аксиомы n-мерного евклидова пространства Расстояние между двумя точками, угол между векторами. Ортогональность. Ортонормированные системы координат. Движения, группа движений. Предмет евклидовой геометрии. Преобразование подобия. Группа подобий. Групповой подход к геометрии.

9. Квадратичные формы и квадрики.

Квадратичные формы Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Закон инерции. Квадрики в аффинном пространстве. Классификация квадрик. Приведение квадратичной формы к каноническому виду при помощи ортогонального преобразования. Квадрики в трехмерном евклидовом пространстве.

10. Проективные пространства и их модели.

Модели проективной плоскости и проективного пространства Аксиомы проективной плоскости. Проективные координаты. Уравнение прямой на проективной плоскости. Принцип двойственности. Формы первой ступени. Теорема Дезарга Проективные преобразования. Группа проективных преобразований. Предмет проективном геометрии.

11. Основные факты проективной геометрии.

Двойное (сложное) отношение и его инвариантность при проективных преобразованиях Гармоническая четверка точек. Построение четвертой гармонической. Проективные соответствия в формах первой ступени. Линии второго порядка на проективной плоскости. Канонические уравнения линий второго порядка в проективных координатах Проективная классификация линий второго порядка. Полюс и поляра Понятие о полярном соответствии. Конструктивные задачи. Приложения к решению задач школьного курса геометрии. Геометрия на проективной плоскости с фиксированной прямой. Евклидова геометрия с проективной точки зрения.

12. Изображения плоских и пространственных фигур при параллельном проектировании. Аксонометрия.

Параллельное проектирование. Изображение плоских и пространственных фигур параллельной проекции. Изображение окружности и сферы Понятие о методе Монжа. Аксонометрия. Теорема Польке-Шварца Изображение прямых и плоскостей. Полные и неполные изображения, их применение при изучении стереометрии. Позиционные и метрические задачи.

13. Общие вопросы аксиоматики.

Понятие об аксиоматическом методе. Понятие об интерпретации (модели) системы аксиом. Непротиворечивость, независимость и полнота системы аксиом проективной геометрии.

14. Исторический обзор обоснований геометрии. Начала «Евклида».

Геометрия до Евклида. «Начала» Евклида. Критика системы Евклида. Пятый постулат. Предложения, эквивалентные пятому постулату. Предшественники и творцы неевклидовой геометрии (Саккери, Ламберт, Лежандр, Гаусс, Больяи, Н И. Лобачевский).

15. Элементы геометрии Лобачевского. Неевклидовы пространства

Аксиома Лобачевского. Основные факты геометрии Лобачевского. Система аксиом Гильберта (обзор). Взаимное расположение прямых на плоскости Лобачевского. Параллельные прямые и их свойства. Сверхпараллельные прямые и их свойства Угол параллельности. Простейшие кривые на плоскости Лобачевского; окружность, эквидистанта, орицикл. Модели плоскости Лобачевского. Независимость аксиомы параллельных от остальных аксиом школьного курса геометрии. Элементы сферической геометрии. Модели плоскости Римана.

16 Системы аксиом Вейля евклидова пространства

Непротиворечивость и полнота системы аксиом Вейля трехмерного евклидова пространства. Определение прямых, плоскостей, лучей, отрезков, углов. Примеры доказательств некоторых теорем. Аксиоматика школьного курса геометрии.

17. Длина отрезка. Площадь многоугольника Теорема существования и единственности.

Длина отрезка, аксиомы. Теорема существования и единственности. Площадь многоугольника, аксиомы. Теорема существования и единственности. Равновеликость и равносоставленность. Теория объемов (обзор).

18. Элементы топологии.

Топологические пространства определение, примеры. Внутренние, внешние и граничные точки, границы множества. Замкнутые множества Топология, индуцируемая метрикой. Отделимость, связанность, компактность. Непрерывные отображения и их свойства Гомоморфизм. Предмет топологии. Топологические многообразия. Одномерные и двумерные многообразия. Понятие о клеточном разложении и эйлерова характеристика двумерного многообразия. Ориентируемые и неориентируемые двумерные многообразия. Топологические свойства листа Мебиуса и проективной плоскости. Теорема Эйлера для многогранников. Топологически и метрически правильные многогранники. Доказательство существования пяти типов правильных многогранников.

19. Понятие гладкой линии и гладкой поверхности. Первая и вторая квадратичные формы

Векторные функции одного и двух скалярного аргументов и их дифференцирование. Понятие линии и гладкой кривой в евклидовом пространстве, их параметризация с помощью вектор-функции. Касательная, длина кривой, кривизна и кручение кривой. Понятие о натуральных уравнениях кривой. Винтовые линии.

Понятие поверхности. Гладкие поверхности, их параметризация: с помощью вектор-функции. Касательная плоскость и нормаль. Первая квадратичная форма поверхности и ее приложения.

Кривизна кривой на поверхности. Вторая квадратичная форма поверхности. Главные кривизны Полная и средняя кривизны поверхности. Поверхности постоянной кривизны 21. Предмет внутренней геометрии поверхности. Теорема Гаусса. Понятие об изгибании поверхности. Геодезическая кривизна кривой. Геодезические линии. Теорема Гаусса-Бонне (без доказательства). Дефект геодезического треугольника. Реализация в малом геометрии Лобачевского на поверхности постоянной отрицательной кривизны