Математика с дополнительной специальностью Информатика (стр. 8 )

20. Внутренняя геометрия поверхности.

Предмет внутренней геометрии поверхности. Теорема Гаусса. Понятие об изгибании поверхности. Геодезическая кривизна кривой. Геодезические линии. Теорема Гаусса-Бонне (без доказательств). Дефект геодезического треугольника. Реализация в малом геометрии Лобачевского на поверхности постоянной отрицательной кривизны.

Общая трудоемкость дисциплины: 398.

Составитель: , кандидат физико-математических наук, доцент; , кандидат физико-математических наук, доцент.

ДПП. Ф.7 Теория чисел

Целью преподавания учебной дисциплины «Теория чисел» является сообщить студентам основные сведения из элементарной теории чисел и содействовать формированию у будущего учителя глубоких арифметических представлений, без наличия которых невозможно правильное понимание развития многих других разделов математики и построение математики в целом.

Требования к уровню усвоения содержания дисциплины

В результате изучения дисциплины «Теория чисел» студент должен:

·  иметь представление об основных понятиях и методах теории чисел, ее классических задачах;

·  знать теорию сравнений и ее арифметические приложения, арифметические функции как аппарат теоретико-числовых исследований;

·  знать о возможности представления и приближения действительных чисел цепными дробями;

·  иметь навыки решения теоретико-числовых задач с использованием теории сравнений и цепных дробей;

·  расширить представление об арифметической природе числа.

Краткое содержание дисциплины

№	Тема или раздел	Содержание разделов и тем
1.	Делимость в кольце целых чисел и простые числа.	предмет теории чисел, краткая история развития теории чисел. Теорема о делении с остатком. Отношение делимости в кольце целых чисел. НОД и НОК целых чисел, их свойства. Алгоритм Евклида и его приложения. Свойства взаимно простых чисел. Простые и составные числа. Бесконечность множества простых чисел в натуральном ряду.
2.	Цепные дроби.	Цепная дробь, порядок цепной дроби, неполные частные цепной дроби, подходящие дроби, числители и знаменатели подходящих дробей, значение цепной дроби, полные частные цепной дроби. Свойства числителей и знаменателей подходящих дробей. Свойства подходящих дробей.
3.	Арифметические функции.	Сумма делителей s(n) и число делителей t(n). Функция Эйлера j(n). Мультипликативность и явные формулы. Тождество Гаусса для функции Эйлера.
4.	Теория сравнений. Арифметические приложения теории сравнений.	Отношение сравнимости в кольце целых чисел и его свойства. Классы целых чисел по данному модулю и их свойства. Кольцо классов вычетов.. Поле вычетов по простому модулю. Мультипликативная группа классов вычетов, взаимно простых с модулем. Полная и приведенная системы вычетов по данному модулю и их свойства. Теоремы о вычетах линейных форм. Теоремы Эйлера и Ферма. Сравнение и система сравнений с неизвестной величиной. Сравнения 1-ой степени. Теорема о числе решений сравнения 1-ой степени. Различные способы решения. Равносильные системы. Теорема о равносильности сравнения и системы сравнений. Сравнения по простому модулю. Теорема о равносильности сравнения по простому модулю приведенному сравнению. Теорема о понижении степени сравнения по простому модулю. Теорема о числе решений сравнения по простому модулю. Первообразные корни. Основное свойство первообразного корня. Теорема о существовании первообразного корня по простому модулю. Двучленные сравнения по простому модулю. Теорема о разрешимости двучленного сравнения. Квадратичные вычеты и невычеты. Число классов квадратичных вычетов и число классов квадратичных невычетов по простому модулю. Символ Лежандра. Критерий Эйлера для символа Лежандра. Свойства символа Лежандра. Проверка правильности выполнения арифметических операций. Нахождение остатков от деления степеней числа.
5.	Алгебраические и трансцендентные числа.	Определение алгебраического числа, минимального многочлена алгебраического числа, степени алгебраического числа, целого алгебраического числа, трансцендентного числа. Теорема Лиувилля.

Общая трудоемкость дисциплины: 84.

Составитель: , кандидат физико-математических наук, доцент

ДПП. Ф.8 Числовые системы

Целью преподавания данной дисциплины является систематизация знаний студентов о различных числовых системах и их свойствах, начиная с натуральных чисел и заканчивая алгебрами кватернионов;

Требования к уровню усвоения содержания дисциплины

·  иметь представление о формальных моделях числовых множеств, об аксиоматическом подходе к построению числовых систем и о требованиях к аксиоматическим теориям.

·  знать аксиоматические определения и основные свойства систем натуральных, целых, рациональных, действительных и комплексных чисел.

·  уметь доказывать простейшие свойства натуральных чисел методом математической индукции, применять данный метод к решению задач, доказывать рациональность или иррациональность чисел.

Краткое содержание дисциплины

№ п/п	Наименование темы (раздела)	СОДЕРЖАНИЕ
1. 2. 3. 4.	Аксиоматическая теория натуральных чисел Аксиоматическая теория целых чисел Аксиоматическая теория рациональных чисел Аксиоматическая теория действительных чисел	Аксиоматическая теория натуральных чисел. Требования, предъявляемые к системе аксиом. Формулировка аксиоматической теории натуральных чисел. Сложение и умножение натуральных чисел. Свойства. Неравенства на множестве натуральных чисел. Натуральные кратные и степени элементов полугруппы, их свойства. Категоричность аксиоматической теории натуральных чисел, независимость аксиомы индукции и её роль в арифметике. математической индукции Упорядоченные множества и системы. Аксиоматическая теория целых чисел. Свойства целых чисел, непротиворечивость, категоричность аксиоматической теории. Аксиоматическая теория рациональных чисел. Первичные термины и аксиомы. Свойства рациональных чисел. Плотность поля рациональных чисел, непротиворечивость, категоричность аксиоматической теории рациональных чисел. Последовательности в нормированных полях. Аксиоматическая теория действительных чисел. Действительное число как предел последовательности рациональных чисел. Существование корня натуральной степени из положительного действительного числа. Кватернионы. Линейные алгебры над полями. Алгебры конечного ранга. Теорема Фробениуса

Общая трудоемкость дисциплины: 84 часа.

Составитель: , доцент

ДПП. Ф.9 Математическая логика

Целью преподавания учебной дисциплины «Математическая логика» является формирование представлений о методах математической логики, о решении проблем оснований математики и знакомство с основными результатами в этой области.

Требования к уровню усвоения содержания дисциплины

·  иметь представление об основных понятиях математической логики; представление о проблемах оснований математики и основных результатах в математической логике;

·  знать и уметь доказывать основные теоремы курса математической логики;

·  уметь распознавать тождественные истины и общезначимые формулы; записывать на языке логики предикатов содержательные математические предложения; иллюстрировать примерами основные характеристики теории первого порядка; приводить примеры теорий первого порядка и их моделей;

·  владеть дедуктивным аппаратом изучаемых логических исчислений.

Краткое содержание дисциплины

№	Тема или раздел	Содержание
1.	Введение	Дедуктивный характер математики. Предмет математической логики, её роль в вопросах обоснования математики. Интенсивное развитие математической логики в настоящее время в связи с созданием и применением автоматических систем управления и распространением метода формализации при изучении различных теорий.
2.	Алгебра высказываний и ее аксиоматическое построение	Понятие высказывания. Логические операции над высказываниями. Формулы. Истинностные значения формул. Равносильность. Равносильные преобразования формул. Представление истинностных функций формулами. Полные и неполные системы функций. Тавтологии– законы логики высказываний. Законы контрапозиции, исключенного третьего, двойного отрицания, приведение к абсурду и др. Нормальные формы.
3.	Логика предикатов	Понятие предиката. Кванторы общности и существования. Формулы логики предикатов. Свободные и связные переменные. Истинностные значения формул. Равносильность. Основные равносильности. Равносильные преобразования формул. Предваренная нормальная форма. Общезначимость и выполнимость формул. Свойства. Примеры формулы, выполнимой в бесконечной области и невыполнимой ни в какой конечной области. Проблема разрешения для общезначимости и выполнимости, неразрешимость ее в общем случае (без доказательств
4.	Формализованные математические теории	Язык первого порядка. Термы и формулы. Логические и специальные аксиомы. Правила вывода. Примеры математических теорий из алгебры, анализа, геометрии. Доказательства в теории. Производные правила вывода. Доказуемость частных случаев тавтологий. Теорема дедукции. Проблемы непротиворечивости, полноты, разрешимости теорий. Непротиворечивость исчисления предикатов (теории без специальных аксиом). Интерпретация языка теории. Истинностные значения формул в интерпретации.

Общая трудоемкость дисциплины: 84 часа.

Составитель: , кандидат физико-математических наук, доцент.

ДПП. Ф.10 Теория алгоритмов

Целью изучения данного курса является формирование представления о понятиях алгоритма и вычислимой функции. Основные задачи курса состоят в усвоении основ теории вычислимости – дисциплины, пограничной между математикой и информатикой, подготовке студентов к восприятию ряда дисциплин теории информатики, усвоение характерных черт алгоритмов, а также формировании умения самостоятельного конструирования некоторых алгоритмов.

Краткое содержание дисциплины

·  Алгоритмы в математике. Происхождение и интуитивное определение понятия алгоритма. Основные группы алгоритмов. Необходимость уточнения понятия алгоритма. Различные формы уточнения. Понятие вычислимой функции, разрешимого и перечислимого множества. Свойства перечислимых множеств, связь между понятиями перечислимости и разрешимости. Существование перечислимого, но не разрешимого множества натуральных чисел. Числовые функции и алгоритмы их вычисления.

·  Простейшие функции. Операция суперпозиции, схема примитивной рекурсии, операция минимизации. Понятия примитивно рекурсивной и частично рекурсивной функции. Примеры. Связь между примитивно рекурсивными и частично рекурсивными функциями. Примитивно рекурсивные и частично рекурсивные множества. Оператор слабой минимизации. Рекурсивные функции. Связь между примитивно рекурсивными, частично рекурсивными и рекурсивными функциями. Вспомогательные операции над частично рекурсивными функциями. Рекурсивные предикаты, логические операции над ними. Ограниченные кванторы. Примитивно рекурсивные и рекурсивные предикаты, их свойства. Подстановка функций в предикат. Оператор условного перехода (кусочное задание функции). Универсальная функция. Теорема Клини.

·  Понятие машины Тьюринга, понятие слова и конфигурации машины Тьюринга. Вычислимые и частично вычислимые по Тьюрингу функции. Правильно вычислимые по Тьюрингу функции. Операции над машинами Тьюринга. Элементарные машины Тьюринга. Конструирование машин Тьюринга. Правильная вычислимость по Тьюрингу примитивно и частично рекурсивных функций. Тезис Тьюринга. Теорема о совпадении класса частично рекурсивных функций с классом функций, вычислимых по Тьюрингу. Тезис Черча. Функция Аккермана.

·  Неразрешимые алгоритмические проблемы. Алгоритмическая сводимость. Теорема Райса.

Общая трудоемкость дисциплины: 94 часа.

Составители: , ассистент; , кандидат физико-математических, доцент.

ДПП. Ф.11 Дискретная математика

“Дискретная математика” определяется ее взаимодействием с иными дисциплинами учебной программы. Целью преподавания данной дисциплины является подготовка студентов для успешного усвоения ими других разделов математики, информатики и программирования; формирование у студентов представлений о понятиях и методах в области исследования конечных математических структур и проблемах эффективности и сложности алгоритмов в таких структурах;

Требования к уровню усвоения содержания дисциплины

иметь представление о значении и областях применения данной дисциплины, о новейших достижениях в дискретной математике;

знать основные понятия разделов дискретной математики, основные положения и методы дискретной математики;

уметь составлять и решать простейшие рекуррентные соотношения, преобразовывать и вычислять конечные суммы, решать комбинаторные задачи, решать задачи теории графов.

Краткое содержание дисциплины

№ п/п	Тема/ раздел	Содержание
1	Суммы и рекуррентности.	Рекуррентные соотношения. Задачи, приводящие к рекуррентным соотношениям. Способы решения рекуррентных соотношений. Числа Фибоначчи. Суммы и рекуррентности. Преобразования сумм. Методы суммирования: метод приведения, метод производящих функций. Кратные суммы. Целочисленные функции , , . Введение в асимптотические методы. Символы ~,,. Основные правила использования этих символов. Асимптотические решения рекуррентных соотношений. Формула суммирования Эйлера.
2	Графы	Основные понятия теории графов ( псевдограф, мультиграф, граф и их ориентированные аналоги). Степень вершины графа. Теорема о сумме степеней вершин графа и её следствие. Подграф. Путь, цепь, простая цепь, цикл, простой цикл. Связные графы. Компоненты связности графа и их число. . Число различных графов с вершинами. Изоморфные графы. Операции над графами. Метрические характеристики графа. Эйлеровы и полуэйлеровы графы. Критерии эйлеровости и полуэйлеровости графов. Гамильтоновы и полугамильтоновы графы. Деревья. Код Прюфера. Ориентированные и корневые деревья. Паросочетания, независимые множества и клики. Двудольные графы. Укладка графа. Планарные графы. Плоские графы. Теорема Эйлера и ее следствия. Непланарность графов и . Раскраска вершин и ребер графа. Хроматическое число графа. Раскрашиваемость вершин планарного графа пятью красками. Гипотеза четырех красок.

Общая трудоемкость дисциплины: 68 часов.

Составитель: , ассистент, , к. ф.-м. н., доцент.

ДПП. Ф.12 Элементарная математика

Цель дисциплины – систематизировать, обобщить систему знаний будущего учителя математики школьного курса математики, а также пополнить эти знания новыми фактами. Данная дисциплина, является продолжением курса «Практикум решения задач элементарной математики»

Требования к уровню освоения содержания дисциплины.

В результате изучения дисциплины студенты должны:

- свободно владеть основными определениями, формулами и фактами элементарной

математики;

- знать основные понятия школьного курса математики, с точки зрения заложенных в них фундаментальных математических идей;

- уметь применять теоретические знания к решению задач элементарной математики;

- знать стандартные приемы и традиционные методы решения задач; иметь умения и навыки решения задач различного уровня сложности.

Краткое содержание дисциплины

1. Тригонометрия.

Преобразование тригонометрических выражений, доказательство тождеств. Интерпретация формул сложения. Тригонометрические тождества и неравенства для углов треугольника. Тригонометрические уравнения, неравенства и их системы.

Обратные тригонометрические функции: определения, свойства, графики.

Преобразование выражений с обратными тригонометрическими функциями, доказательство тождеств. Уравнения и неравенства с обратными тригонометрическими функциями.

2. Геометрия.

1) Планиметрия.

Аксиомы абсолютной геометрии и следствие из них. Основные планиметрические понятия. Треугольники. Метрические отношения в треугольнике. Площадь треугольника. Теоремы Стюарта, Чевы, Менелая.

Четырехугольники. Метрические отношения в четырехугольниках. Площади плоских фигур.

Окружность. Центральные, вписанные углы. Углы между хордами, секущимися и касательными.

Вписанные и описанные многоугольники. Теорема Птолемея.

Вневписанные окружности.

Геометрические построения на плоскости.

2)  Стереометрия.

Аксиомы стереометрии. Основные понятия стереометрии.

Взаимное расположение прямых и плоскостей. Параллельность прямых в пространстве. Параллельность прямой и плоскости. Параллельность плоскостей.

Перпендикулярность прямых в пространстве. Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей. Теорема о трех перпендикулярах. Скрещивающиеся прямые.

Многогранники, их свойства. Сечения выпуклых многогранников. Поверхности и объемы многогранников.

Тела вращения. Поверхности и объемы тел вращения.

Комбинации геометрических тел.

3. Уравнения и неравенства с параметрами.

Линейные, квадратные, с модулем, дробно-рациональные, иррациональные,

Трансцендентные уравнения и неравенства с параметрами. Различные способы решения задач с параметрами.

4. Построение графиков сложных функций.

Преобразования графиков функций. Различные приемы построения графиков функций.

5. Системы неравенств с двумя переменными.

Решение систем неравенств с двумя переменными. Различные способы решения.

Общая трудоемкость дисциплины: 188 часов.

Составитель: , кандидат педагогических наук, доцент.

ДПП. Ф.13 Информационные технологии в математике

Дисциплина имеет цель - формирование у выпускников знаний основ проведения аналитических и научных расчетов с помощью систем компьютерной математики, а также практических навыков их работы, изучение компьютерных средств, которые помогут интенсифицировать образовательный процесс, увеличить скорость восприятия, понимания и глубину усвоения огромных массивов знаний.

Требования к уровню усвоения дисциплины

В результате изучения дисциплины студент должен

иметь представление:

о тенденциях развития и применения современных информационных технологий в математике; о технологиях работы в редакторах MathCad, Maple ,MatLab, MikTex, Mathematica, SciLab, Мaxima ; о современных методах применения редакторов в школьном курсе математики и науке; об информационных системах; об информационных технологиях.

знать:

принципы построения и интерфейс изучаемых редакторов; основные понятия, определения и возможность применения редакторов для своей дальнейшей работы; двумерную и трехмерную графику редакторов, а также возможности анимации; основы программирования в изучаемых редакторах; возможности применения редакторов в дисциплинах "Математический анализ", "Геометрия", "Алгебра", "Численные методы"; информационные и телекоммуникационные системы.

уметь:

производить оценки основных результатов своей работы в данных редакторах; применять их в своей дальнейшей работе; работать с системами специализированного программирования; разрабатывать информационные системы и использовать их в науке и образовании.

Краткое содержание дисциплины

Этапы развития информационных систем. Процессы в информационных системах. Примеры и типы информационных систем. Структура и классификация информационных систем. Информационное программное обеспечение. Понятие информационной технологии.

Компьютеры. Модемы. Кабели. Вычислительные сети. Сетевое программное обеспечение. Электронные и электромеханические элементы, линии связи.

Работа с переменными. Простейшие вычисления. Аналитические расчеты. Производная и интеграл. Работа с матрицами.

Интерфейс редактора. Математический анализ. Численный анализ. Графическая визуализация вычислений системы. Построение, форматирование и средства управления двумерными и трехмерными изображениями. Специальные виды графиков – в логарифмическом и полулогарифмическом масштабе, объемные и плоские диаграммы и гистограммы, грфики дискретных величин, построение многоугольников, многогранников, цилиндров и сфер.

Системы специализированного программирования. Общий вид документа. Набор формул. Классы документов. Вставка чертежей. Создание таблиц и матриц.

Интерфейс редактора. Математический анализ. Численный анализ. Графическая визуализация вычислений системы. Построение, форматирование и средства управления двумерными и трехмерными изображениями.

Интерфейс редактора. Математический анализ. Численный анализ. Графическая визуализация вычислений системы. Построение, форматирование и средства управления двумерными и трехмерными изображениями.

Общая трудоемкость дисциплины: 90 часов.

Составитель: , кандидат физ.-мат. наук, доцент.

ДПП. Ф.14 История математики

Цель: познакомить студентов с основными периодами развития математики;

осветить значение различных цивилизаций в развитии математической науки;

В результате освоения дисциплины «История математики» обучающийся должен:

знать основные события, хронологию, движущие силы, закономерности развития математики, основных персонажей истории математики;

уметь работать с источниками, в том числе и с научными текстами, отбирать, систематизировать, оценивать соответствующую информацию; уметь проводить самостоятельные исследования по вопросам истории школьной математики, структурировать соответствующий материал; осознавать различные аспекты ценности математики и математического образования в современном мире;

стремиться к расширению математического кругозора.

Краткое содержание дисциплины

№	Тема или раздел	Содержание
1.	Введение в курс истории математики. Математика как наука.	Математика как наука. Предмет, задачи и методы истории математики, ее необходимость для школьного учителя. Роль практики в развитии математики. Периоды развития математики.
2.	Период зарождения математики.	Возникновение простейших математических понятий. Принципы образования нумерации. Математика древнего Египта. Математика Древнего Вавилона.
3.	Период элементарной математики.	Математика Древней Греции, древнего и средневекового Китая, древней и средневековой Индии, Арабского Востока, средневековой Европы и эпохи Возрождения.
4.	Период математики переменных величин.	Введение в математику движения, переменных величин. Создание интегрального и дифференциального исчислений. Обзор развития математики в 17-18 веках.
5.	Период современной математики.	Обзор развития математики в 19 веке. Обоснование математического анализа в 19 веке. Кризис в основаниях математики в 20 веке и попытки выхода из него. Обзор развития математики в 20 веке. Тенденции развития математики в 21 веке.
6.	История математики в России. Русская, советская математические школы.	Система счисления, система мер, нумерация. Система образования на Руси. Л. Магницкий. Создание академии наук. Л. Эйлер. Роль российских университетов в развитии математики. Русская и советская математические школы. Выдающиеся российские и советские математики, педагоги-математики, авторы школьных учебников. . Ульяновская математическая школа.

Общая трудоемкость дисциплины: 50 часов.