Математика с дополнительной специальностью Информатика (стр. 9 )

Составитель: , ассистент кафедры высшей математики; , кандидат физико-математических наук

ДПП. Р.1 Элементарные функции с точки зрения высшей математики

Цели преподавания учебной дисциплины «Элементарные функции с точки зрения высшей математики» таковы:

3)  актуализировать, систематизировать и углубить знания студентов по функциональной линии школьного курса математики;

4)  ввести аккуратные определения степенной, показательной и других основных элементарных функций на множестве действительных чисел, способствовать формированию прочных представлений обо всех основных элементарных функциях, включая обратные тригонометрические, их свойствах и графиках, типах зависимостей, моделями которых они могут служить; создать тем самым достаточно обширный банк примеров для иллюстрации теорем дифференциального исчисления;

5)  сформировать "функциональную интуицию" и навыки исследования свойств функций без применения средств дифференциального исчисления (в случаях, когда это возможно);

6)  выявить связи между алгебраическими и функциональными объектами, научить использовать функциональные методы для решения алгебраических задач.

Краткое содержание дисциплины

№	Тема или раздел	Содержание
1.	Общее понятие функции. Числовые функции	Общее понятие функции. Область определения, множество значений. Композиция функций. Обратимые функции. Функция, обратная данной. Числовые функции. График функции. Элементарные преобразования графиков функций. Монотонные функции. Ограниченные и неограниченные функции. Элементарные приемы исследования функций на монотонность и ограниченность. Применение монотонности и ограниченности функций при решении алгебраических задач. Четные и нечетные функции. Периодические функции. Основной период функции. Применение свойств симметрии функций при решении алгебраических задач. Числовые последовательности как функции натурального аргумента.
2.	Некоторые вспомогательные функции	Функция . Уравнения и неравенства, содержащие переменные под знаком модуля. Функция (знак числа). Функции (целая часть числа) и (дробная часть числа). *Уравнения и неравенства, содержащие переменные под знаком целой или дробной части.
3.	Степенные функции	Степенная функция с натуральным показателем. Степенная функция с целым отрицательным показателем. Радикал. Степенная функция с рациональным показателем и ее область определения.
4.	Показательные и логарифмические функции	Показательная функция: определение по непрерывности. Корректность определения. Степень с иррациональным показателем. Свойства показательной функции. Показательная функция как непрерывное решение функционального уравнения. Логарифмическая функция как функция, обратная к показательной. Свойства логарифмической функции. Логарифмическая функция как непрерывное решение функционального уравнения. Пределы, связанные с показательной и логарифмической функциями. Экспонента и натуральный логарифм. Производная показательной функции. Показательная функция как решение дифференциального уравнения, как модель процессов нелимитированного роста. Сложный банковский процент. Производная логарифмической функции
5.	Тригонометрические и обратные тригонометрические функции	Синус и косинус числового аргумента. Параметрическое задание окружности и эллипса. Непрерывность основных тригонометрических функций. Тангенс и котангенс. Тригонометрические уравнения и неравенства. Теоремы сложения как основные свойства тригонометрических функций и их следствия. Функциональные свойства синуса и косинуса, тангенса и котангенса.

Общая трудоемкость дисциплины: 52 часа.

Составитель: , кандидат физико-математических наук.

ДПП. Р.2 Прикладные вопросы линейной алгебры

. Цель данной дисциплины – показать применение некоторых вопросов линейной алгебры как при изложении определенных тем, как в самой математике, так и в других областях, в частности, в экономике.

В результате освоения дисциплины студент должен:

·  иметь представление о различных методах решения систем линейных уравнений и неравенств, об областях применимости линейной алгебры, о методах решения некоторых экономических задач

·  знать определение ортогональной проекции и ортогональной составляющей вектора на подпространство, методы решения систем линейных уравнений.

·  уметь решать системы линейных уравнений разными способами, графически решать системы уравнений с двумя неизвестными, находить ортогональные проекции, решать некоторые экономико-математические задачи.

Содержание разделов и тем.

№ п/п	Тема/ раздел	Содержание
	1	Системы линейных уравнений и неравенств и их применения	Системы линейных уравнений. Общее и частное решение. Равносильность систем. Теорема Кронекера-Капелли (критерий совместности систем). Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. Матричные уравнения. Обратная матрица. Применение матричного исчисления к решению некоторых экономических задач. Модель Леонтьева. Модель планирования производства и Модель планирования материальных затрат. Системы линейных неравенств и их применение к задачам оптимизации
	2	Приложения линейной алгебры к решению геометрических задач	Квадратичные формы. Применения квадратичных форм в экономике и геометрии. Применение вопросов линейной алгебры к решению геометрических задач. Линии второго порядка. Ортогональные проекции и ортогональные составляющие.

Общая трудоемкость дисциплины: 50 часов.

Составитель: , кандидат физико-математических наук, доцент

ДПП. Р.3 Геометрия линейчатых поверхностей

Курс имеет основные цели:

- вооружить студентов обширными знаниями в области геометрии и обеспечить развитие широкого взгляда на геометрию;

- дать студенту высокую профессиональную подготовку, позволяющую преподавать геометрию в средней школе и квалифицированно вести спецкурс по геометрии.

В данном курсе изучается однопараметрический геометрический образ, элементом которого является прямая. Это образ часто называют регумосом (или линейчатой поверхностью). При этом всюду будем ограничиваться локальным рассмотрением, т. е. рассматривать совокупность элементов регумоса, соответствующую тем значениям параметра, для которых функции, определяющие регумос, дифференцируемы.

Выпускник, успешно освоивший данный курс, должен:

- владеть основными определениями;

- иметь представление об основных кривых и поверхностях;

- уметь описывать основные свойства кривых;

- уметь самостоятельно работать с литературой;

- уметь грамотно пользоваться языком предметной области, уметь точно представить математические знания в устной и письменной форме;

Содержание разделов и тем

№ п\п	Наименование темы	Содержание
1	Поверхности касательных	Развертывающиеся поверхности. Цилиндрические и конические поверхности. Ребро возврата и его свойства.
2	Линейчатые поверхности	Свойство и признак цилиндрической поверхности. Косые линейчатые поверхности. Точка и ось сжатия. Примеры.
3	Огибающая однопараметрического семейства плоскостей.	Понятие огибающей. Примеры. Свойство точек ребра возврата.
4	Полярная поверхность	Понятие полярной поверхности. Полярная поверхность: 1) плоской кривой; 2) сферической линии.
5	Соприкасающаяся сфера	Ее уравнение и свойства.
6	Спрямляющая поверхность и геодезическая линия	Изгибание спрямляющей поверхности. Понятие геодезической линии ее свойства.
7	Эвомоты и эвольвенты пространственных кривых.	Определение, свойства. Полные (интегральные) кривизна и кручение.

Общая трудоемкость дисциплины: 30 часов.

Составители: , кандидат физико-математических наук, доцент, , кандидат физико-математических наук, доцент

ДПП. Р.4 Практикум решения задач элементарной математики

Целью данного практикума является подготовка квалифицированного учителя математики.

Важнейшей задачей курса является формирования умений и навыков решения задач различного уровня сложности, в том числе и повышенной. Для решения этой задачи на самостоятельную работу выносится большое количество задач по различным темам дисциплины.

Предлагаемая дисциплина должна подготовить студентов к квалифицированному проведению всех типов учебных занятий по математике в средних учебных заведениях, включая факультативные курсы и кружки.

Требования к уровню освоения содержания дисциплины

В результате изучения дисциплины студенты должны:

- свободно владеть основными определениями, формулами и фактами по темам курса;

- знать основные понятия школьного курса математики, с точи зрения заложенных в них фундаментальных математических идей;

- уметь применять теоретические знания к решению задач элементарной математики;

- знать стандартные приемы и традиционные методы решения задач и уметь применять их при решении задач различного уровня сложности.

Краткое содержание дисциплины

I.  Арифметика.

1.  Делимость.

Свойства делимости. Основная теорема арифметики. НОД и НОК, их свойства. Алгоритм Евклида и его приложения. Неопределенные уравнения.

2.  Систематические числа.

Целые систематические числа. Арифметические операции над целыми числами в различных системах счисления. Способы перевода из одной системы счисления в другую. Признаки делимости в различных системах счисления.

Систематические дроби. Определение q-ичной дроби. Представление рационального числа в виде q-ичной дроби. Перевод обыкновенных дробей в q-ичные и обратный перевод.

3.  Комбинаторика.

Метод математической индукции. Бином Ньютона. Сочетания, размещение и перестановки. Комбинаторные задачи на вычисление вероятности. Комбинаторные тождества.

II.  Алгебра.

1.  Элементарные функции и тождественные преобразования выражений.

Элементарные функции: определения, свойства, графики. Различные способы определения элементарных функций. Построение графиков сложных функций.

Тождественные преобразования рациональных, иррациональных, показательных и логарифмических выражений.

2.  Уравнения и неравенства.

Алгебраические, рациональные, иррациональные уравнения и неравенства.

Уравнения и неравенства, содержащие переменную под знаком модуля.

Показательные, логарифмические уравнения и неравенства. Классические неравенства и неравенства, связанные с ними

Общая трудоемкость дисциплины: 64 часа.

Разработчик : , кандидат педагогических наук, доцент.

ДПП. В1 Дисциплины по выбору

1 Элементы функционального анализа

Целью преподавания учебной дисциплины «Элементы функционального анализа» является усвоение студентами базовых результатов математического программирования, вариационного исчисления, теории принятия решений, типичных методов их получения, алгоритмов решения основных задач указанных дисциплин, особенностей применения методов математического анализа для моделирования физических, биологических, экономических и иных процессов.

Требования к уровню освоения содержания дисциплины

В результате освоения дисциплины «Элементы функционального анализа» обучающийся должен:

·  знать основные понятия теории экстремальных задач (математического программирования, вариационного исчисления, теории игр, теории многокритериальных задач оптимизации); типичные постановки задач исследования операций и теории принятия решений, в том числе варианты критериев оптимизации; формулировки фундаментальных теорем математического и функционального анализа, связанных с задачами оптимизации;

·  уметь иллюстрировать основные положения теории примерами и контрпримерами; решать типовые задачи исследования операций (задачи на экстремум функций одной и нескольких переменных, функционалов классического вариационного исчисления, задачи теории матричных игр, некоторые задачи дискретной оптимизации);

·  владеть языком, символикой и формальным аппаратом дифференциального исчисления, вариационного исчисления, исследования операций, теории принятия решений;

·  иметь представление о месте задач оптимизации в современной математике и ее приложениях, о специфике разных математических дисциплин, связанных с экстремальными задачами.

Содержание разделов и тем

№	Тема или раздел	Содержание
Элементы математического программирования
1.	Задачи оптимизации и их математические модели: дискретные и континуальные задачи, допустимое множество и целевая функция, задачи на условный и безусловный глобальный экстремум.	Задачи оптимизации, исследование операций, теория принятия решений как математические дисциплины, как междисциплинарные науки. Процедура математического моделирования и ее особенности применительно к оптимизационным проблемам. Отношение предпочтения, критерий оптимизации. Понятие о многокритериальных задачах. Целевая функция как частный случай формулировки критерия оптимизации.
2.	Задачи на наибольшее/наименьшее значение функции нескольких переменных в замкнутой области: решение средствами дифференциального исчисления. Случай задачи линейного программирования.	Существование наибольшего/наименьшего значения непрерывной функции нескольких переменных в замкнутой ограниченной области (на компакте). Наименьшее/наибольшее значение функции и точки экстремума. Достаточные условия максимума/ минимума/ седловой точки функции нескольких действительных переменных (в терминах второго дифференциала, в терминах гессиана; критерий Сильвестра знакоопределенности матрицы). Поиск наибольших/наименьших значений на границе области и задачи на условный экстремум. Алгоритм поиска наибольшего/наименьшего значения функции средствами дифференциального исчисления.
3.	Задачи на условный экстремум: метод множителей Лагранжа	Лагранжиан задачи на условный экстремум, необходимое условие условного экстремума. Проверка существования условного экстремума в стационарной точке лагранжиана. Примеры решения задач математического программирования с ограничениями-равенствами (условиями связи).
Основы классического вариационного исчисления
6.	Некоторые классические задачи вариационного исчисления. Функционалы. Задача об экстремуме функционала.	Задача о кратчайшей линии, соединяющей две точки поверхности. Задача о брахистохроне. Классическая изопериметрическая задача. Задачи о минимальных поверхностях. Функционалы, примеры функционалов. Основные функциональные пространства. Типичные функционалы классического вариационного исчисления. Задачи на слабый и сильный экстремум функционалов.
7.	Теорема Ферма для функционалов. Уравнения Эйлера для экстремалей в задаче вариационного исчисления с закрепленными концами.	Дифференцирование функционалов и операторов в банаховых пространствах: производная Фреше и производная Гато. Теорема Ферма. Вариация функционалов классического вариационного исчисления. Основная лемма вариационного исчисления. Уравнение Эйлера как необходимое условие экстремума функционала в задаче с закрепленными концами
8.	Некоторые обобщения простейшей задачи вариационного исчисления: задачи с подвижными концами, задачи с угловыми точками.	Задачи классического вариационного исчисления для функционала, зависящего от нескольких функций. Задачи классического вариационного исчисления для функционала, зависящего от производных высших порядков. Задачи с концами на заданных кривых. Задачи, допускающие критические точки у функций-аргументов функционала. Уравнения Эйлера-Лагранжа, условия трансверсальности.
Элементы теории оптимального управления и теории принятия решений
11.	Динамическое программирование в задачах оптимизации. Принцип оптимальности Беллмана	Дискретная динамическая система и пространство ее состояний. Многошаговое управление. Критерий оптимизации и оптимальное управление. Подход математического программирования и идея динамического программирования в случае аддитивного критерия оптимизации.
12.	Постановка задачи оптимального управления. Принцип оптимальности Понтрягина.	Динамическая система и пространство ее состояний (фазовое пространство). Управляемые системы, область управления, допустимые управления. Случай линейной управляемой системы, полная управляемость линейной системы. Целевой функционал. Задача оптимального управления и задача быстродействия. Принцип максимума.

Общая трудоемкость дисциплины: 276 часов.

Составитель: , кандидат физико-математических наук.

2  Экстремальные задачи в курсе математического анализа

Целью преподавания учебной дисциплины «Экстремальные задачи в курсе математического анализа является усвоение студентами базовых результатов математического программирования, вариационного исчисления, теории принятия решений, типичных методов их получения, алгоритмов решения основных задач указанных дисциплин, особенностей применения методов математического анализа для моделирования физических, биологических, экономических и иных процессов.

Требования к уровню освоения содержания дисциплины

В результате освоения дисциплины «Экстремальные задачи в курсе математического анализа обучающийся должен:

·  знать основные понятия теории экстремальных задач (математического программирования, вариационного исчисления, теории игр, теории многокритериальных задач оптимизации); типичные постановки задач исследования операций и теории принятия решений, в том числе варианты критериев оптимизации; формулировки фундаментальных теорем математического и функционального анализа, связанных с задачами оптимизации;

·  уметь иллюстрировать основные положения теории примерами и контрпримерами; решать типовые задачи исследования операций (задачи на экстремум функций одной и нескольких переменных, функционалов классического вариационного исчисления, задачи теории матричных игр, некоторые задачи дискретной оптимизации);

·  владеть языком, символикой и формальным аппаратом дифференциального исчисления, вариационного исчисления, исследования операций, теории принятия решений;

·  иметь представление о месте задач оптимизации в современной математике и ее приложениях, о специфике разных математических дисциплин, связанных с экстремальными задачами.

Краткое содержание дисциплины

1.  Задачи оптимизации и их математические модели: дискретные и континуальные задачи, допустимое множество и целевая функция, задачи на условный и безусловный глобальный экстремум.

2.  Задачи на наибольшее/наименьшее значение функции нескольких переменных в замкнутой области: решение средствами дифференциального исчисления. Случай задачи линейного программирования.

3.  Некоторые классические задачи вариационного исчисления. Функционалы. Задача об экстремуме функционала.

4.  Теорема Ферма для функционалов. Уравнения Эйлера для экстремалей в задаче вариационного исчисления с закрепленными концами

5.  Некоторые обобщения простейшей задачи вариационного исчисления: задачи с подвижными концами, задачи с угловыми точками.

6.  Динамическое программирование в задачах оптимизации. Принцип оптимальности Беллмана.

7.  Постановка задачи оптимального управления. Принцип оптимальности Понтрягина.

8.  Задача поиска оптимальной стратегии в теории антагонистических игр. Матричные игры: чистые и смешанные стратегии, цена игры, построение оптимальной смешанной стратегии методами линейного программирования. Игры с природой. Понятие о дифференциальных играх.

9.  Игры нескольких лиц. Бескоалиционные игры. Равновесие по Нэшу. Понятие о кооперативных играх.

Общая трудоемкость дисциплины: 276 часов.

Составитель: , кандидат физико-математических наук

3  Избранные вопросы элементарной математики

Цель дисциплины – развитие способностей к восприятию нестандартного материала и ориентации в нем.

Требования к уровню освоения содержания дисциплины.

В результате изучения дисциплины студенты должны:

- знать основные понятия элементарной математики с точки зрения заложенных в них фундаментальных математических идей;

- свободно владеть учебным материалом элементарной математики;

- знать приемы решения нестандартных задач и уметь их использовать;

- знать особенности учебного материала, предназначенного для классов различной профильной направленности.

Краткое содержание дисциплины

Делимость. Систематические числа. Нестандартные задачи.

Метод математической индукции и его применение к решению задач..

Алгебраические и трансцендентные уравнения, неравенства нестандартного типа и их системы. Задачи с параметрами. Построение графиков сложных функций. Классические неравенства. Средние величины. Среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее гармоническое и среднее квадратическое. Приложение неравенств к элементарному нахождению экстремумов. Числовые последовательности. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Числа Фибоначчи. Возвратные последовательности.